Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Band 3 Mehrdimensionale Analysis und nichtlineare Optimierung
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2022]
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| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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| Umfang: | XV, 482 Seiten Illustrationen, Diagramme (farbig) |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis Vorwort V Reelle Funktionen mehrerer Veränderlicher 27 Einführung 27.1 Ökonomische Motivation...................................................... 27.2 Vorgehensweise........................................................................ 27.3 Bezeichnungen und Definitionsbereiche.............................. 27.3.1 Bezeichnungsweisen ................................................... 27.3.2 Was sind “Variablen”?................................................ 27.3.3 Bezeichnung von Variablen....................................... 27.3.4 Natürliche Definitionsbereiche.................................... 27.3.5 Definitionsbereiche vektorwertiger Funktionen .... 27.3.6 “Ökonomische” Definitionsbereiche........................... 27.4 Das Baukastenprinzip............................................................ 27.4.1 Die Bausteine............................................................ 27.4.2 Die “Bau-Operationen”............................................. 27.4.3 Direkte Summen und Separation.............................. 27.5 Grundbeispiele ökonomischer Funktionen........................... 27.6 Aufgaben................................................................................. 28 Wissenswertes über Rn 28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 Übersicht............................................. Die Elemente des R” ............................................................ Die natürliche Ordnung des Rn............................................. Intervalle................................................................................. Rn als
metrischer Raum......................................................... 28.5.1 Metrik und Norm...................................................... 28.5.2 Umgebungen............................................................... 28.5.3 Innere, äußere und Randpunkte einer Menge .... V 1 3 3 6 7 7 7 8 9 12 13 14 14 15 16 17 21 23 23 25 25 27 29 29 30 31
x INHALTSVERZEICHNIS 28.6 28.7 28.8 Beschränkte Mengen............................................................... Zulässige Richtungen und relativ innere Punkte*.............. Konvergenzbegriffe .............................................................. 28.8.1 Konvergenz von Folgen ............................................ 28.8.2 Cauchy-Folgen ........................................................... 28.8.3 Konvergenz von Teilfolgen......................................... 28.8.4 Kompakte Mengen..................................................... 28.9 Aufgaben.................................................................................. 41 42 43 44 45 46 47 49 29 Vertikalschnitte 29.1 Einführung............................................................................... 29.2 Veranschaulichung im Fall n = 2 29.3 Achsenparallele Vertikalschnitte................................. . . . 29.4 Beliebige eindimensionale Vertikalschnitte........................... 29.4.1 Definition und Beispiele............................................. 29.4.2 Spezialfall: Achsenparallelität* ................................. 29.4.3 Spezialfall: Radialschnitte.......................................... 29.4.4 Vereinfachte Parametrisierung.................................... 29.4.5 Ökonomische Interpretation von Radialschnitten: . . 29.5 Aufgaben.................................................................................. 51 51 52 52 57 57 58 59 60 61 61 30 Niveaumengen und Höhenlinien 30.1
Einführung............................................................................... 30.2 Veranschaulichung im Fall zweier Veränderlicher............... 30.3 Definition und erste Beispiele................................................ 30.4 Ökonomische Interpretation und Bedeutung........................ 30.5 Weitere Berechnungsbeispiele................................................ 30.6 Konturmengen......................................................................... 30.7 Höherdimensionale Niveau- und Konturmengen .................. 30.8 Aufgaben........................ ....................................................... 65 65 65 66 70 72 79 81 83 31 Beschränkte Funktionen 31.1 Zum Begriff........................................................................... 31.2 Erhaltungseigenschaften......................................................... 31.3 Separation.............................................................................. 31.4 Mehr zum Thema Beschränktheit...................................... 31.5 Beschränktheit vektorwertiger Funktionen*....................... 31.6 Räume beschränkter Funktionen*....................................... 31.7 Aufgaben................................................................................. 85 85 86 86 87 88 88 89 32 Stetige Funktionen 32.1 Stetigkeitsdefinition 91 91 ................................................................
INHALTSVERZEICHNIS 32.2 Stetigkeitsnachweis ............................................................... 32.3 Nützliche Konsequenzen........................................................ 32.4 Ein “metrischer” Blick auf die Stetigkeit*........................... 32.5 Stetigkeit vektorwertiger Funktionen*................................ 32.6 Aufgaben................................................................................ 33 Ableitungsbegriffe 33.1 Übersicht................................................................................ 33.2 Partielle Ableitungen............................................................ 33.2.1 Definition.................................................................... 33.2.2 Zur Technik des partiellen Differenzierens.............. 33.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung.............................. 33.4 Richtungsableitungen............................................................ 33.4.1 Definition.................................................................... 33.4.2 Geometrische Deutung............................................... 33.4.3 Einseitige Richtungsableitungen*............................. 33.5 Totale Differenzierbarkeit und totales Differential ............ 33.5.1 Totale Differenzierbarkeit......................................... 33.5.2 Totale Differenzierbarkeit und Stetigkeit................. 33.5.3 Totale vs. partielle Differenzierbarkeit.................... 33.5.4 Das totale Differential............................................... 33.6 Differenzierbare Funktionen und
Ableitungsregeln............ 33.6.1 Differenzierbare Funktionen....................................... 33.6.2 Der Katalog differenzierbarer Grundfunktionen . . . 33.6.3 Erhaltungseigenschaften und Ableitungsregeln . . . 33.6.4 C1-Funktionen........................................................... 33.6.5 Richtungsableitungen differenzierbarer Funktionen . 33.6.6 Spezielle Anstiegsrichtungen...................................... 33.6.7 Zwischenbilanz zum Thema “Gradient”.................... 33.7 Randprobleme* ...................................................................... 33.8 Implizite Funktionen undimpliziteDifferentiation .............. 33.8.1 Das Problem der Implizitheit.................................... 33.8.2 Herleitung von Auflösbarkeitsbedingungen............... 33.8.3 Der Satz über implizite Funktionen........................... 33.9 Partielle Elastizitäten............................................................ 33.9.1 Motivation ................................................................. 33.9.2 Definition.................................................................... 33.9.3 Praktische Bestimmung............................................ 33.9.4 Beispiele und Interpretation...................................... 33.9.5 Rechenregeln für Elastizitäten................................... 33.9.6 Sprechweisen.............................................................. 33.10 Differentialrechnung vektorwertiger Funktionen.................. XI 93 97 98 99 100 101 101 104 104 113 116 121 122 123 124 125 125 130 131 131 136 136 136 137 139 139 141
144 144 145 145 148 149 152 152 153 154 154 156 158 158
XII INHALTSVERZEICHNIS 33.10.1 Partielle Differenzierbarkeit undFunktionalmatrix . 33.10.2 Die Kettenregel......................................................... 33.10.3 Implizite Funktionen ................................................ 33.11 Höhere Ableitungen, Taylorsche Formel.............................. 33.11.1 Höhere Ableitungen skalarer Funktionen............... 33.11.2 Ableitungen als abbildungswertigeFunktionen . . . 33.11.3 Taylorsche Formel...................................................... 33.12 Aufgaben.................................................................................. 159 160 161 164 164 164 165 170 34 Monotone Funktionen 34.1 Motivation.............................................................................. 34.2 Definition und Beispiele........................................................ 34.3 Monotonieprüfung................................................................. 34.4 Monotonieabschluss.............................................................. 34.5 Erhaltungssätze..................................................................... 34.6 Monotonie und Ableitung..................................................... 34.7 Monotonie ökonomischer Funktionen ................................ 34.8 Einige Konsequenzen der Monotonie................................... 34.9 Aufgaben................................................................................. 177 177 177 184 187 188 189 190 191 193 35 Konvexe Funktionen 35.1 Motivation und Übersicht..................................................... 35.2
Definition................................................................................. 35.3 Alternative Charakterisierungender Konvexität............... 35.3.1 Vertikalschnitte............................................................ 35.3.2 Stützebenen und Epigraphen.................................... 35.4 Nützliche Eigenschaften konvexer Funktionen..................... 35.4.1 Stetigkeit..................................................................... 35.4.2 Konturmengen............................................................ 35.5 Konvexität und Ableitungen................................................ 35.5.1 Motivation.................................................................. 35.5.2 Globale Konvexitätsaussagen.................................... 35.5.3 Lokale Konvexitätsaussagen....................................... 35.6 Konvexitätsabschluss............................................................. 35.7 Konvexitätserhaltung ............................................................ 35.7.1 Vorbemerkung............................................................ 35.7.2 Summen, Vielfache, Maxima undGrenzwerte .... 35.7.3 Komposition ............................................................... 35.7.4 Zusammenfassung...................................................... 35.8 Quasi-Konvexität................................................................... 35.8.1 Definition und Beispiele............................................. 35.8.2 Alternative Charakterisierung.................................... 195 195 197 201 201 203 205 205 205
207 207 208 212 212 217 217 217 221 223 223 223 225
INHALTSVERZEICHNIS XIII 35.8.3 Mehr über Konvexität vs Quasikonvexität............... 35.8.4 Erhaltungseigenschaften ............................................. 35.8.5 Weiterführende Fragen................................................ 35.9 Aufgaben................................................................................ 226 227 229 230 36 Homogene Funktionen 36.1 Vorbemerkung....................................................................... 36.2 Definition homogener Funktionen ...................................... 36.3 Beispiele................................................................................ 235 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8 36.9 36.10 Ökonomische Interpretation der Homogenität.................... Homogenität ökonomischer Funktionen............................. Erhaltungsaussagen.............................................................. Radialschnitte homogener Funktionen................................ Geometrie der Höhenlinien.................................................. Homogenität und Elastizitäten ............................................ Aufgaben................................................................................ 37 Extremwerte 37.1 Begriffe..................................................................................... 37.1.1 Motivation .................................................................. 37.1.2 Voraussetzungen aus Band 1 .................................... 37.1.3 Eine alternative Beschreibung globaler Extremalität 37.2 Existenz globaler
Extrema...................................................... 37.3 Extremwertabschluss............................................................... 37.4 Methodologie der Extremwertbestimmung........................... 37.5 Stationäre Punkte und lokale Extrema................................. 37.5.1 Notwendige Bedingungen.......................................... 37.5.2 Bestimmung stationärer Punkte .............................. 37.5.3 Hinreichende Bedingungen für lokale Extremalität . 37.6 Globale Extremwertanalyse................................................... 37.6.1 Übersicht..................................................................... 37.6.2 Kandidatenvergleich................................................... 37.7 Extrema konvexer Funktionen................................................ 37.7.1 Minima konvexer Funktionen.................................... 37.7.2 Maxima konvexer Funktionen.................................... 37.7.3 Stationäre Punkte konvexer Funktionen.................. 37.8 Aufgaben.................................................................................. 38 Extremwerte unter Nebenbedingungen 38.1 Motivation ............................................................................... 38.2 Definitionen.............................................................................. 38.3 Substitutionsmethode ............................................................ 235 236 237 240 243 245 247 251 257 260 263 263 263 263 267 267 268 269 270 270 273 276 280 280 281 287 287 289 289 291 295 295 299 300
XIV INHALTSVERZEICHNIS 38.4 Grafische Lösung im R2................................................................ 38.4.1 Die Idee................................................................................ 38.4.2 Einige Beobachtungen...................................................... 38.5 Die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren................. 38.6 Lokale Bewertung von Lagrange-Punkten.............................. 38.7 Globale Aussagen unter Konvexitätsannahmen.................... 38.7.1 Eine generelle Aussage...................................................... 38.8 Zur Rolle des Lagrangeschen Multiplikators ........................... 38.9 Vereinfachungen............................................................................. 38.9.1 Monotone Transformation der Zielfunktion .............. 38.9.2 Transformationen der Nebenbedingung........................ 38.10 Mehrere Gleichungsnebenbedingungen..................................... 38.11 Mehrere Ungleichungsnebenbedingungen.............................. 38.11.1 Zwei Beispiele................................................................... 38.11.2 Allgemeine Problemformulierung.................................. 38.11.3 Zulässiger Bereich............................................................. 38.11.4 Die Bedingungen von Kuhnund Tucker...................... 38.11.5 Beispiele............................................................................. 38.11.6 Ergänzende Anmerkungen............................................ 38.12
Aufgaben......................................................................................... VI Dynamik 302 302 304 306 319 321 321 325 327 327 329 331 336 337 338 338 340 342 346 353 357 39 Differenzengleichungen 39.1 Motivation...................................................................................... 39.2 Begriffe........................................................................................... 39.3 Lineare Differenzengleichungen................................................... 39.4 Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten................. 39.4.1 Gleichungen erster Ordnung............................................ 39.4.2 Gleichungen zweiter Ordnung........................................ 39.4.3 Gleichungen beliebiger Ordnung .................................. 39.5 Einfache ökonomische Anwendungen......................................... 39.5.1 Verzinsung von Zahlungsströmen.................................. 39.5.2 Cobweb Theorem................................................................ 39.6 Ausblick auf weitere Fragestellungen......................................... 39.7 Überleitung zu Differentialgleichungen..................................... 39.8 Aufgaben........................................................................................ 359 40 Gewöhnliche Differentialgleichungen 40.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen......................................... 40.2 Einführung..................................................................................... 383 359 360 361 363 364 366 373 376 376 377 379 380 381 383
383
INHALTSVERZEICHNIS Begriffe................................................................................... Lineare DGL.......................................................................... DGL mit trennbaren Variablen............................................ Elementare Anwendungen in der Ökonomie....................... 40.6.1 Preisdynamik eines einzelnen Gutes ........................ 40.6.2 Das Solow-Modell ...................................................... 40.7 Aufgaben................................................................................ 40.3 40.4 40.5 40.6 XV 384 388 395 400 400 401 403 Anhang I: Beweise 405 Anhang II: Lösungen von Übungsaufgaben 413 Literaturverzeichnis 475 Symbolverzeichnis 477 Stichwortverzeichnis 479
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