Verfügbarkeit: Graphentheorie | Technische Universität München

Graphentheorie: eine anwendungsorientierte Einführung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Beteilige Person:	Tittmann, Peter (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	München Hanser [2022]
Ausgabe:	4., aktualisierte und erweiterte Auflage
Schriftenreihe:	Mathematik-Studienhilfen
Schlagwörter:	Graphentheorie Aufgabensammlung Lehrbuch
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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS 1 GRAPHEN 12 1.1 DEFINITIONEN .................................................................................... 13 1.1.1 KNOTENGRADE .................................................................... 14 1.1.2 WEGE UND KREISE .............................................................. 16 1.1.3 ZUSAMMENHANG ................................................................. 16 1.2 OPERATIONEN MIT GRAPHEN ........................................................... 17 1.2.1 ENTFERNEN VON KNOTEN UND KANTEN ............................... 17 1.2.2 FUSION UND KONTRAKTION .................................................. 18 1.2.3 BRUECKEN UND ARTIKULATIONEN ........................................... 19 1.2.4 OPERATIONEN MIT GRAPHEN ............................................... 20 1.3 SPEZIELLE GRAPHEN ....................................................................... 21 1.3.1 DER VOLLSTAENDIGE GRAPH .................................................. 21 1.3.2 WEG UND KREIS ................................................................. 22 1.3.3 BAEUME ................................................................................. 22 1.3.4 BIPARTITE GRAPHEN ........................................................... 24 1.3.5 REGULAERE GRAPHEN ........................................................... 25 1.4 ISOMORPHE GRAPHEN .................................................................... 26 1.4.1 ISOMORPHIE ....................................................................... 27 1.4.2 GRADFOLGEN ....................................................................... 27 1.5 AUFGABEN ....................................................................................... 28 2 GRAPHEN UND MATRIZEN 30 2.1 DIE ADJAZENZMATRIX EINES GRAPHEN ........................................... 30 2.1.1 POTENZEN DER ADJAZENZMATRIX ........................................ 31 2.1.2 ZERLEGBARE MATRIZEN ........................................................ 32 2.2 DIE INZIDENZMATRIX ....................................................................... 33 2.3 DIE GRADMATRIX ............................................................................. 33 2.4 ABSTAENDE IN GRAPHEN ................................................................. 34 2.4.1 RADIUS, DURCHMESSER UND ZENTRUM ............................... 35 2.4.2 DIE ABSTANDSMATRIX ........................................................ 36 8 INHALTSVERZEICHNIS 2.5 SPANNBAEUME ................................................................................. 37 2.5.1 DIE ANZAHL DER SPANNBAEUME ......................................... 38 2.5.2 DIE LAPLACE-MATRIX UND DER SATZ VON KIRCHHOFF .... 40 2.6 AUFGABEN ....................................................................................... 41 3 PLANARE GRAPHEN - DIE EULERSCHE POLYEDERFORMEL 44 3.1 PLANARE EINBETTUNGEN ................................................................. 44 3.1.1 EBENE KURVEN UND EINBETTUNGEN ................................... 44 3.1.2 FLAECHEN EINES PLANAREN GRAPHEN .................................. 46 3.1.3 EINBETTUNGEN AUF DER KUGEL ............................................ 46 3.1.4 KREUZUNGSZAHL UND DICKE ............................................... 47 3.2 DIE EULERSCHE POLYEDERFORMEL ...................................................... 48 3.2.1 POLYEDER .............................................................................. 48 3.2.2 DIE POLYEDERFORMEL FUER ZUSAMMENHAENGENDE GRAPHEN . 49 3.2.3 DIE POLYEDERFORMEL FUER NICHT ZUSAMMENHAENGENDE GRAPHEN .............................................................................. 51 3.3 ANWENDUNGEN DER POLYEDERFORMEL ............................................... 51 3.3.1 NICHTPLANARE GRAPHEN ..................................................... 51 3.3.2 DER SATZ VON KURATOWSKI ............................................... 53 3.3.3 MAXIMALE KANTENZAHL PLANARER GRAPHEN ....................... 54 3.3.4 KNOTENGRADE IN PLANAREN GRAPHEN ............................... 54 3.3.5 PLATONISCHE KOERPER ........................................................... 55 3.4 DER DUALE GRAPH ........................................................................... 57 3.5 AUFGABEN ....................................................................................... 58 4 UNABHAENGIGE KNOTEN UND KANTENMENGEN 60 4.1 UNABHAENGIGE KNOTENMENGEN ..................................................... 61 4.1.1 DIE UNABHAENGIGKEITSZAHL .................................................. 61 4.1.2 CLIQUEN .............................................................................. 64 4.1.3 DIE UEBERDECKUNGSZAHL ..................................................... 65 4.2 MATCHINGS ....................................................................................... 66 4.2.1 ALTERNIERENDE WEGE - DER SATZ VON BERGE .................... 67 4.2.2 DER SATZ VON KOENIG ........................................................ 69 INHALTSVERZEICHNIS 9 4.3 DER KANTENGRAPH ........................................................................... 70 4.4 FAKTOREN .......................................................................................... 72 4.5 AUFGABEN ....................................................................................... 73 5 FAERBUNGEN VON GRAPHEN 75 5.1 GRUNDLAGEN .................................................................................... 75 5.1.1 ZULAESSIGE FAERBUNGEN ........................................................ 75 5.1.2 DIE CHROMATISCHE ZAHL ..................................................... 76 5.1.3 SCHRANKEN FUER DIE CHROMATISCHE ZAHL ............................ 77 5.2 FAERBUNGEN VON PLANAREN GRAPHEN ............................................... 79 5.3 DAS CHROMATISCHE POLYNOM ........................................................ 81 5.3.1 DER VOLLSTAENDIGE GRAPH .................................................. 82 5.3.2 DER BAUM ........................................................................... 82 5.3.3 DIE DEKOMPOSITIONSGLEICHUNG ........................................ 82 5.3.4 DER KREIS .......................................................................... 84 5.3.5 CHROMATISCHES POLYNOM UND CHROMATISCHE ZAHL .... 85 5.3.6 PARTITIONEN DER KNOTENMENGE ........................................ 86 5.4 EINE ANWENDUNG .......................................................................... 87 5.5 AUFGABEN ....................................................................................... 90 6 DER ZUSAMMENHANG VON GRAPHEN 92 6.1 DER KNOTENZUSAMMENHANG ........................................................ 92 6.2 DER KANTENZUSAMMENHANG ........................................................ 95 6.2.1 SCHNITTMENGEN ................................................................. 95 6.2.2 SCHNITTE .............................................................................. 96 6.2.3 DIE KANTENZUSAMMENHANGSZAHL ..................................... 97 6.2.4 KNOTENZUSAMMENHANG UND KANTENZUSAMMENHANG . . 97 6.3 TRENNENDE KNOTENMENGEN ........................................................... 98 6.3.1 ANWENDUNG ZUR BERECHNUNG DER UNABHAENGIGKEITSZAHL 98 6.3.2 EIN BERECHNUNGSBEISPIEL .................................................. 99 6.3.3 DIE BERECHNUNG DES CHROMATISCHEN POLYNOMS ............ 100 10 INHALTSVERZEICHNIS 6.4 PARTIELLE K-BAEUME ........................................................................ 102 6.4.1 FC-BAEUME ........................................................................... 102 6.4.2 PARTIELLE K-BAEUME ........................................................... 103 6.4.3 SERIEN-PARALLEL-GRAPHEN .................................................. 104 6.5 AUFGABEN ....................................................................................... 106 7 BAEUME 107 7.1 EIGENSCHAFTEN VON BAEUMEN ......................................................... 107 7.1.1 DIE ANZAHL DER BAEUME ..................................................... 108 7.1.2 DER PRUEFERCODE UND DER SATZ VON CAYLEY ....................... 109 7.1.3 ISOMORPHIEKLASSEN VON BAEUMEN ....................................... 111 7.2 WURZELBAEUME ................................................................................. 111 7.3 BINAERE BAEUME ................................................................................. 114 7.4 AUFGABEN ....................................................................................... 116 8 KREISE 118 8.1 KREISE IN GRAPHEN ........................................................................ 118 8.1.1 TAILLE UND UMFANG ........................................................... 119 8.1.2 BASISKREISE ....................................................................... 120 8.2 HAMILTONKREISE .............................................................................. 121 8.3 EULERKREISE .................................................................................... 124 8.4 AUFGABEN ....................................................................................... 126 9 GERICHTETE GRAPHEN 128 9.1 DEFINITIONEN UND EIGENSCHAFTEN GERICHTETER GRAPHEN .............. 128 9.1.1 WEGE UND ERREICHBARKEIT .................................................. 129 9.1.2 ZUSAMMENHANG UND STARKER ZUSAMMENHANG ................ 129 9.1.3 ORIENTIERUNGEN ................................................................. 130 9.1.4 INNEN UND AUSSENGRAD ..................................................... 131 9.1.5 QUELLEN UND SENKEN ........................................................ 132 9.1.6 VEKTORRAEUME .................................................................... 133 9.1.7 KOZYKLEN .......................................................................... 134 9.1.8 ZYKLEN UND KOZYKLENRAEUME ........................................... 135 INHALTSVERZEICHNIS 11 9.2 TURNIERE .......................................................................................... 139 9.3 FLUESSE IN GRAPHEN ....................................................................... 142 9.4 AUFGABEN ....................................................................................... 146 10 GRAPHENALGORITHMEN 147 10.1 DFS: TIEFENSUCHE IN GRAPHEN ..................................................... 148 10.1.1 TEST AUF ZUSAMMENHANG .................................................. 151 10.1.2 EIN MODIFIZIERTER DFS-ALGORITHMUS ............................... 152 10.1.3 BRUECKEN UND ARTIKULATIONEN ........................................... 153 10.2 BFS: BREITENSUCHE IN GRAPHEN .................................................. 158 10.2.1 ABSTAENDE IN GRAPHEN ..................................................... 158 10.2.2 KUERZESTE WEGE ................................................................. 160 10.2.3 DIE ANZAHL DER KUERZESTEN WEGE ..................................... 160 10.2.4 DIE STRESS-ZENTRALITAET ..................................................... 163 10.3 SCHNITTE UND KANTENZUSAMMENHANG ........................................ 166 10.3.1 DER LOKALE KANTENZUSAMMENHANG .................................. 166 10.3.2 DIE KANTENZUSAMMENHANGSZAHL ..................................... 170 10.4 PROJEKTE .......................................................................................... 172 LOESUNGEN 175 LITERATURVERZEICHNIS 187 SYMBOLVERZEICHNIS 190 SACHWORTVERZEICHNIS 191
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