Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Band 2 Lineare Algebra und Optimierung
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2019]
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| Ausgabe: | 3. Auflage |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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| Umfang: | XIV, 588 Seiten Illustrationen, Diagramme (überwiegend farbig) |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis IV Lineare Algebra 18 Matrizen 18.1 Vorbemerkung........................................................................ 18.2 Ökonomische Problembeispiele............................................. 18.2.1 “Windig’s” Baustofflager............................................. 18.2.2 Bäckerei”..................................................................... 18.2.3 Volkswirtschaftliche Leistungsbilanz” ..................... 18.3 Grundbegriffe ........................................................................ 18.3.1 Begriffe und Bezeichnungen....................................... 18.3.2 Spezielle Matrizen...................................................... 18.4 Einfache Rechenoperationen................................................ 18.4.1 Motivation .................................................................. 18.4.2 Addition von Matrizen................................................ 18.4.3 Multiplikation mit einem Skalar................................. 18.4.4 Methodische Anmerkungen....................................... 18.4.5 Rechenregeln............................................................... 18.4.6 Transposition............................................................... 18.4.7 Weitere Rechenregeln ................................................ 18.5 Multiplikation von Matrizen................................................ 18.5.1 Ökonomischer Hintergrund....................................... 18.5.2 Formale Definition...................................................... 18.5.3 Einige
Rechenregeln................................................... 18.6 Das Rechnen mit Matrizen................................................... 18.6.1 Division” von Matrizen............................................. 18.7 Kleine Ergänzungen* ............................................................ 18.8 Vergleich von Matrizen......................................................... 18.8.1 Die Ungleichung “ ”................................................... 18.8.2 Die Relation ......................................................... 18.8.3 Die Ungleichung “ ” zwischen “ ” und “ C”............ 1 3 3 4 4 8 11 14 14 22 28 28 28 29 30 31 32 32 33 33 35 38 53 61 69 72 74 75 76
x INHALTSVERZEICHNIS 18.8.4 Unvergleichbarkeit...................................................... 18.9 Aufgaben................................................................................. 77 81 19 Modellierungs- und Problembeispiele 19.1 Was ist mathematische Modellierung?................................ 85 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 Verflechtungsmodelle ............................................................ Das 1-Schritt- Verflechtungsmodell ....................................... Einfache Mehrschrittmodelle................................................ Mehrschrittmodelle mit Sprüngen....................................... Komplexe Verflechtungsmodelle .......................................... Probleme mit Rückflüssen ................................................... Aufgaben................................................................................. 20 Vektoren 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 Grundlagen.............................................................................. 20.1.1 Motivation .................................................................. 20.1.2 Interpretationsmöglichkeiten .................................... 20.1.3 Geometrische Deutung von Rechenoperationen . . . Die “Länge” von Vektoren...................................................... Geradengleichungen............................................................... 20.3.1 Parameterdarstellung einer Geraden........................ 20.3.2 Funktionsdarstellungen: Vier Grundsituationen . . . 20.3.3 Normalenform der Geradengleichung.......................
20.3.4 Spezialfall: Abschnittsform ...................................... 20.3.5 Spezialfall: Hessesche Normalform.......................... 20.3.6 Strahlen, Strecken, Ganzzahligkeit.......................... 20.3.7 Ökonomischer “Nutzen” von Geradengleichungen . . Ebenengleichungen ............................................................... 20.4.1 Parameterdarstellungen für Ebenen ....................... 20.4.2 Funktionsdarstellungen von Ebenen ....................... 20.4.3 Normalenform der Ebenengleichung imR3.............. 20.4.4 Spezialfall: Abschnittsform ...................................... 20.4.5 Spezialfall: Hessesche Normalform.......................... Skalarprodukt und Orthogonalprojektion ........................... 20.5.1 Motivation ................................................................. 20.5.2 Definition und grundlegende Eigenschaften........... 20.5.3 Orthogonalität und Orthogonalprojektion .............. 20.5.4 Gleichungen in Normalenform................................... Nützliche Ungleichungen...................................................... 20.6.1 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung..................... 20.6.2 Die Minkowski-Ungleichung .................................... Aufgaben................................................................................. 85 86 87 93 101 105 113 119 125 125 125 126 131 133 134 134 139 141 142 143 144 146 147 147 151 152 153 153 154 154 156 157 162 168 168 170 171
INHALTSVERZEICHNIS 21 Lineare Räume 21.1 Vorbemerkung......................................................................... 21.2 Der Begriff des linearen Raumes.......................................... 21.2.1 Motivation.................................................................. 21.2.2 Definition..................................................................... 21.2.3 Weitere Beispiele......................................................... 21.2.4 Nützliche Grundaussagen.......................................... 21.3 Linearkombinationen und Basen.......................................... 21.3.1 Motivation.................................................................. 21.3.2 Erinnerung: der Fall zweier Vektoren........................ 21.3.3 Linearkombinationen................................................... 21.3.4 Lineare Unabhängigkeit ............................................. 21.3.5 Charakterisierung der linearen Unabhängigkeit . . . 21.3.6 Schnelltests auf lineare (Un-)Abhängigkeit............... 21.3.7 Unabhängigkeit von Subvektoren imť.................. 21.3.8 Die Dimension eines linearen Raumes..................... 21.3.9 Der Begriff der Basis................................................... 21.3.10 Der “Adressensatz”.................................... 21.4 Basiswechsel und Austauschverfahren................................. 21.4.1 Zwei Basen im R2 ...................................................... 21.4.2 Basiswechsel und invertierbare Matrizen.................. 21.4.3 Rechnerische Matrixinversion....................................
21.4.4 Allgemeine Formulierung der Tauschregeln ............ 21.4.5 Charakterisierung der Invertierbarkeit..................... 21.4.6 Probespalten............................................................... 21.4.7 Wechsel von Koordinatendarstellungen..................... 21.5 Lineare Teilräume.................................................................. 21.5.1 Motivation.................................................................. 21.5.2 Definition: Linearer Teilraum.................................... 21.5.3 Überprüfung der Teilraumeigenschaft ..................... 21.5.4 Operationen mit linearen Teilräumen........................ 21.6 Erzeugendensysteme, lineare Hülle....................................... 21.6.1 Motivation.................................................................. 21.6.2 Definition und Formalisierung.................................... 21.7 Basisergänzung und Austauschsatz....................................... 21.8 Euklidische Räume und Orthogonalprojektion.................. 21.9 Lineare Abbildungen ............................................................ 21.10 Ausblick: Normierte Räume und Erweiterungen............... 21.11 Aufgaben................................................................................. 22 Lineare Gleichungssysteme 22.1 Begriffe.................................................................................... XI 177 177 177 177 178 179 181 182 182 182 183 184 189 193 194 197 199 200 204 205 207 208 217 219 221 222 224 224 225 226 230 231 231 231 246 247 256 259 261 269 269
XII INHALTSVERZEICHNIS 22.1.1 Motivation.................................................................. 22.1.2 Definition und Darstellungsformell........................... 22.1.3 Lösungsbegriffe und Fragestellungen ........................ 22.2 Eine geometrische Interpretation.......................................... 22.3 Zur Lösbarkeit........................................................................ 22.4 Struktur der Lösungsmenge................................................... 22.5 Dimensionsaussagen............................................................... 22.6 Zusammenfassung.................................................................. 22.7 Praktische Lösung mit dem Austauschverfahren............... 22.8 Andere Lösungsverfahren...................................................... 22.9 Nichtnegative und ganzzahlige Lösungen........................... 22.10 Aufgaben................................................................................. 23 Konvexe Mengen und lineare Ungleichungen 23.1 Motivation.............................................................................. 23.2 Konvexe Mengen und verwandte Begriffe........................... 23.2.1 Konvexe Mengen........................................................ 23.2.2 Konvexe Linearkombinationen ................................ 23.2.3 Konvexe Hülle ........................................................... 23.2.4 Extremalpunkte konvexer Mengen.......................... 23.2.5 Spezielle konvexe Mengen......................................... 23.2.6 Operationen mit konvexen
Mengen.......................... 23.2.7 Vielfache .................................................................... 23.2.8 Summen....................................................................... 23.3 Lineare Ungleichungen ......................................................... 23.3.1 Motivation und Begriffe............................................. 23.3.2 Lösungssituationen...................................................... 23.4 Systeme linearer Ungleichungen.......................................... 23.4.1 Motivation und Begriffe............................................. 23.4.2 Vereinheitlichte Formen............................................. 23.4.3 Die Lösungsmenge...................................................... 23.4.4 Grafische Lösung bei zwei Unbekannten.................. 23.4.5 Grafische Interpretation bei drei Unbekannten .... 23.4.6 Eine Strukturaussage ................................................ 23.5 Aufgaben................................................................................. 24 Einfache lineare Optimierung 24.1 Vorbemerkung........................................................................ 24.2 Grafisch lösbare Probleme ................................................... 24.2.1 Ganzzahligkeitsbedingungen....................................... 24.2.2 Weitere Beispiele für ökonomische” Restriktionen . 24.2.3 Ein Beispiel im R3...................................................... 269 270 273 274 278 286 291 291 297 312 319 324 329 329 330 330 334 337 348 349 353 353 354 355 355 357 359 359 361 362 363 366 367 367
373 373 373 388 391 393
INHALTSVERZEICHNIS 24.3 Allgemeines über LO-Probleme............................................. 24.3.1 Eine vergleichende Betrachtung ............................. 24.3.2 Lösbarkeitsaussagen........................................... 397 24.3.3 Standardprobleme.............................................. 400 24.4 Das Simplexverfahren für Standardprobleme..................... 24.4.1 Vorbemerkung.................................................... 401 24.4.2 Ausgangspunkt: Eckentausch mittels ATV....... 402 24.4.3 Vom Austausch- zum Simplexverfahren.......... 405 24.4.4 Das Simplexverfahren ֊ generelles Ablaufschema . . 24.4.5 Phase 0 bei Standardmaximumproblemen....... 407 24.4.6 “Lesen von Simplextableaus ................................... 24.4.7 Die Schritte des Simplexalgorithmus................ 413 24.4.8 Lösungsbeispiele für Standardmaximumprobleme . . 24.4.9 Grafische Interpretation des Simplexalgorithmus . . 24.4.10 Etwas Begründung ................................................... 24.4.11 Kleine Ergänzungen................................................... 24.4.12 Behandlung von Standardminimumproblemen . . . 24.4.13 Formalisiertes Ablaufschema.................................... 24.5 Dualität ................................................................................. 24.6 Aufgaben................................................................................. 25 Determinanten und Anwendungen XIII 394 394 401 406 410 421 426 429 436 438 444 444 451 457 25.1 Motivation und Definition ................................................... 25.2 Einfache
Berechnungsbeispiele............................................ 25.3 Eine allgemeine Berechnungsformel................................... 25.4 Determinantenberechnung nach Laplace............................. 25.5 Berechnung nach dem Austauschverfahren ....................... 25.6 Weitere Eigenschaften und Rechenregeln.......................... 25.7 Die Cramersche Regel........................................................... 25.8 Matrixinversion.................................................................... 25.9 Eigenwerte............................................................................. 25.9.1 Definitionen und Eigenschaften................................. 25.9.2 Zur Eigenwertbestimmung.......................................... 25.9.3 Rechenregeln............................................................... 25.10 Eigenvektoren........................................................................ 25.11 Diagonalisierung von Matrizen............................................. 25.12 Aufgaben................................................................................. 457 460 465 467 471 478 483 486 487 487 491 493 497 501 506 26 Quadratische Formen und Definitheit 26.1 Motivation und Definition ................................................... 511 26.2 Definitheit symmetrischer Matrizen.................................... 26.3 Definitheitsprüfung mittels Hesse-Determinanten............... 511 512 522
XIV INHALTSVERZEICHNIS 26.4 Prüfung auf Semidefinit heit................................................... 26.5 Nützliche Ergänzungen und ”Schnelltests”........................... 26.6 Aufgaben................................................................................. 529 534 536 Anhang I: Begründungen 539 Anhang II: Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben 555 Literaturverzeichnis 577 Symbolverzeichnis 579 Abkürzungsverzeichnis 581 Stichwortverzeichnis 583
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