Verfügbarkeit: Mathematik für Studierende technischer Fachbereiche

Mathematik für Studierende technischer Fachbereiche: ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Beteilige Person:	Wilde, Peter (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Aachen Shaker Verlag 2018
Ausgabe:	2. überarbeitete Auflage
Schriftenreihe:	Mathematik
Schlagwörter:	Mathematik Fachhochschul-/Hochschulausbildung Differentialrechnung Eigenwertaufgaben bei Matrizen Funktionen Gewöhnliche Differentialgleichungen Integralrechnung Komplexe Zahlen Kurven Lineare Gleichungssysteme Numerische Integration Oberflächenintegrale Parameterdarstellung von Funktionen und deren Ableitungen Reihen Spezielle Funktionen Vektorfelder Vektorrechnung Zahlenfolgen das bestimmte Integral Lehrbuch
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Umfang:	ii, 356 Seiten Diagramme 21 cm, 540 g
ISBN:	9783844062069 3844062068

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS 0 V ORWORT I 1 K URZE W IEDERHOLUNG VON G RUNDLAGEN AUS DER S CHULMATHEMATIK 12 1.1 R ECHNEN MIT B RUECHEN .................................................................. 12 1.2 A NORDNUNG DER REELLEN Z AHLEN , B ETRAEGE , U NGLEICHUNGEN . . 13 1.2.1 B EISPIELE .......................................................................... 15 1.3 R ECHNEN MIT P OTE N ZE N ............................................................... 15 1.3.1 B EISPIELE .......................................................................... 16 1.4 R ECHNEN MIT L OGARITHMEN ....................................................... 17 1.4.1 B EISPIELE .......................................................................... 17 2 K OMPLEXE Z AHLEN 19 2.1 D IE G AUSSSCHE Z A H LE N E B E N E ..................................................... 19 2.1.1 B EISPIELE .............................................................................21 2.2 D ARSTELLUNGSFORMEN KOMPLEXER Z AHLEN .................................... 23 2.2.1 B EISPIELE .............................................................................26 3 V EKTORRECHNUNG 30 3.1 D ER N-DIMENSIONALE R AUM RN ........................................................30 3.2 D AS S KALARPRODUKT IN RN ............................................................. 34 3.2.1 B EISPIELE .............................................................................36 3.3 D AS V EKTORPRODUKT IN R3 ............................................................. 38 3.3.1 B EISPIELE .............................................................................40 4 L INEARE G LEICHUNGSSYSTEME 45 4.1 Z WEI EINFUEHRENDE B EISPIELE .......................................................... 45 4.2 M ATRIZEN .......................................................................................... 50 4.2.1 E INFACHE O PERATIONEN MIT M ATRIZEN ...................................51 4.2.2 D ER R ANG EINER M ATR IX ........................................................ 54 4.2.3 W EITERE SPEZIELLE M ATRIZEN ................................................56 4.2.4 D ETERMINANTEN .....................................................................58 4.3 D AS E LIMINATIONSVERFAHREN VON G AU B ........................................62 4.4 D IE LR-Z ERLEGUNG ..........................................................................69 4.5 B EISPIELE ......................................................................................... 71 5 Z AHLENFOLGEN 73 5.1 D EFINITIONEN UND B EISPIELE .......................................................... 73 5.2 R ECHNEN MIT G R ENZW ERTEN .......................................................... 77 5.3 P OTENZEN (MIT REELLEN E XPONENTEN) .................................................. 80 5.4 L OG AR ITH M EN .............................................................................. 81 6 F UNKTIONEN 84 6.1 F UNKTIONEN EINER REELLEN V ERAENDERLICHEN ................................ 84 6.1.1 M OTIVATION , D EFINITION , V ERANSCHAULICHUNG VON F UNK TIONEN ..................................................................................64 6.1.2 G RENZWERTE VON F UNKTIONEN ............................................. 66 6.1.3 S TETIGKEIT VON F UN KTIO N EN ................................................89 6.1.4 A RITHMETISCHE O PERATIONEN MIT STETIGEN F UNKTIONEN . 91 6.1.5 B ESCHRAENKTHEIT , M AX -M IN -P RINZIP , Z WISCHENWERTSATZ . 93 6.1.6 M ONOTONE F UNKTIONEN , U MKEHRFUNKTIONEN ......................94 6.2 F UNKTIONEN MIT MEHREREN REELLEN V ARIABLEN ............................. 97 6.2.1 M OTIVATION ............................................................................ 97 6.2.2 F UNKTIONEN IM RN ..................................................................96 6.2.3 S TETIGKEIT VON F UNKTIONEN MIT MEHREREN V ARIABLEN . . 99 7 D IFFERENTIALRECHNUNG 101 7.1 D IE A BLEITUNG VON F UNKTIONEN EINER REELLEN V ERAENDERLICHEN 101 7.1.1 M OTIVATION ZUM B EGRIFF A BLEITUNG EINER F UNKTION . . 101 7.1.2 A BLEITUNG EINER F UNKTION , B E IS P IE L E ...............................102 7.1.3 A BLEITUNGSREGELN .............................................................. 104 7.1.4 D IE A BLEITUNGEN DER F UNKTIONEN LNX, EX UND XA ...............106 7.1.5 D IE GEOMETRISCHE B EDEUTUNG DER A BLEITUNG , DER S ATZ VON R OLLE , DER M ITTELWERTSATZ .......................................109 7.1.6 E XTREMSTELLEN DIFFERENZIERBARER F UNKTIONEN ............ 111 7.1.7 D IE R EGELN VON DE L*H OESPITAL ............................................113 7.1.8 K URVENDISKUSSION ........................................................... 115 7.1.9 A NW ENDUNGSBEISPIELE ...................................................... 118 7.2 D IFFERENTIATION VON F UNKTIONEN MEHRERER REELLER V ERAEN DERLICHER .............................................................................. 124 7.2.1 P ARTIELLE A BLEITUNGEN ...................................................... 124 7.2.2 A BLEITUNGSREGELN ........................................................... 124 7.2.3 P ARTIELLE A BLEITUNGEN HOEHERER O RDNUNG ................... 126 7.2.4 N OTWENDIGE UND H INREICHENDE B EDINGUNGEN FUER E X TREMSTELLEN 127 7.2.5 A NWENDUNGSBEISPIELE : A USGLEICH VON M E B FEHLERN , M E THODE DER KLEINSTEN QUADRATE ......................................... 130 7.3 I MPLIZITE D IFFERENTIATION VON F UNKTIONEN ................................. 132 7.3.1 I MPLIZIT DEFINIERTE F UNKTIONEN ......................................... 132 7.3.2 B EISPIELE ........................................................................... 133 8 V EKTORFELDER 134 6.1 V EKTORWERTIGE F UNKTIONEN (V EKTORFELDER ) ............................ 134 8.2 D IE D IFFERENTIALOPERATOREN G RADIENT , D IVERGENZ UND R OTA TION .............................................................. 134 6.3 A NWENDUNGSBEISPIELE ................................................................ 137 9 P ARAMETERDARSTELLUNG VON F UNKTIONEN UND DEREN A BLEITUNGEN 143 9.1 P ARAMETERDARSTELLUNG VON F UNKTIONEN ................................. 143 9.2 A BLEITUNG VON F UNKTIONEN , DIE IN P ARAMETERDARSTELLUNG GE GEBEN SIND ...................................................................................145 9.3 B EISPIELE ..................................................................................... 146 10 S PEZIELLE F UNKTIONEN 149 10.1 L OGARITHMUSFUNKTION UND E XPONENTIALFUNKTION .................... 149 10.2 H YPERBOLISCHE F UNKTIONEN UND DEREN U MKEHRFUNKTIONEN . . 151 10.3 T RIGONOMETRISCHE F UNKTIONEN UND DEREN U MKEHR - FUNKTIONEN 154 10.4 B EISPIELE ......................................................................................159 11 E IGENWERTAUFGABEN BEI M ATRIZEN 160 11.1 A UFGABENSTELLUNG UND B E IS P IE L E .............................................. 160 11.2 A BSCHAETZUNGEN DER E IGENWERTE ................................................. 163 11.3 V ERFAHREN ZUM L OESEN VON E IGENWERTAUFGABEN ..........................165 11.3.1 D AS H ESSENBERG -V E R FA H R E N ............................................166 11.3.2 D AS Q B-V ERFAHREN ........................................................... 171 11.4 B EISPIELE ........................................................................................ 177 12 I NTEGRALRECHNUNG FUER F UNKTIONEN EINER REELLEN V ERAENDERLICHEN ! 79 12.1 D IE ZUR D IFFERENTIATION INVERSE A UFGABENSTELLUNG ............... 179 12.2 B ERECHNUNG DER F LAECHE UNTER EINER K URVE ............................ 179 12.3 B ERECHNUNG DER B OGENLAENGE EINER K U R V E ...............................180 13 D AS BESTIMMTE I NTEGRAL 182 13.1 D EFINITION DES BESTIMMTEN I NTEGRALS ......................................... 182 13.2 E LEMENTARE E IGENSCHAFTEN DES BESTIMMTEN I NTEGRALS ............ 167 13.3 D ER M ITTELWERTSATZ ......................................................................166 13.4 D ER Z USAMMENHANG ZWISCHEN I NTEGRAL - UND D IFFERENTIALRECH NUNG ............................................................................................. 169 14 B ERECHNUNG BESTIMMTER I NTEGRALE 192 14.1 I NTEGRATION DURCH S UBSTITUTION .......................................... .193 14.2 H AEUFIG ANWENDBARE S UBSTITUTIONEN ............................................194 14.3 P ARTIELLE I NTEGRATION .................................................................196 14.4 I NTEGRATION GEBROCHEN RATIONALER F UNKTIONEN (PARTIALBRUCH ZERLEGUNG) ........................................................................................ 199 14.5 I NTEGRATIONSSCHEMA ................................................................... 208 15 U NEIGENTLICHE I NTEGRALE 212 16 N UMERISCHE I NTEGRATION (Q UADRATUR ) 215 16.1 E INFUEHRUNG UND P ROBLEMSTELLUNG ........................................... 215 16.2 I NTERPOLATORISCHE Q UADRATURFORMELN ...................................... 216 16.2.1 D IE N EWTON -C OTES -F ORMELN ........................................... 217 16.3 GAUSSSCHE Q UADRATURFORMELN ................................................... 220 16.3.1 G AU B-L EGENDRE -Q UADRATURFORMELN .............................. 222 16.3.2 G AU B-T SCHEBYSCHEFF -Q UADRATURFORMELN .......................224 16.4 Q UADRATUR UNEIGENTLICHER I NTEGRALE ...................................... 228 17 I NTEGRATION VON F UNKTIONEN ZWEIER V ERAENDERLICHER 233 17.1 B ERECHNUNG 2- DIMENSIONALER I NTEGRALE ....................................233 17.2 D IE S UBSTITUTIONSREGEL FUER 2- DIMENSIONALE I NTEGRALE .... 238 18 I NTEGRATION VON F UNKTIONEN DREIER V ERAENDERLICHER 243 16.1 B ERECHNUNG 3- DIMENSIONALER I NTEGRALE ....................................243 16.2 D IE S UBSTITUTIONSREGEL FUER 3- DIMENSIONALE I NTEGRALE .... 246 19 A NWENDUNGSBEISPIEL BEI 3- DIMENSIONALEN I NTEGRALEN 250 19.1 S CHWERPUNKTE 3- DIMENSIONALER M ENGEN ....................................251 19.2 T RAEGHEITSMOMENTE 3- DIMENSIONALER M EN G E N ............................252 20 K URVEN IM R 3 254 20.1 B OGENLAENGE VON K URVEN IM R 3 ................................................... 256 20.2 K URVENINTEGRALE BEZUEGLICH S KALARFELDER IM R 3 .......................257 20.3 K URVENINTEGRALE BEZUEGLICH V EKTORFELDER IM R 3 .......................256 20.4 W EGUNABHAENGIGKEIT VON K URVENINTEGRALEN .............................. 259 21 O BERFLAECHENINTEGRALE 262 21.1 F LAECHEN IM R 3 ................................................................................262 21.2 I NTEGRALSAETZE ............................................................................. 265 22 G EWOEHNLICHE D IFFERENTIALGLEICHUNGEN 269 22.1 E INLEITUNG UND G RUNDBEGRIFFE ................................................. 269 22.2 E XPLIZITE D IFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER O RDNUNG ............... 279 22.2.1 E LEMENTAR INTEGRIERBARE F AE L L E .....................................279 22.3 L INEARE UND VERWANDTE D IFFERENTIALGLEICHUNGEN .................... 287 22.4 L INEARE D IFFERENTIALGLEICHUNGEN ZWEITER O RDNUNG MIT KON STANTEN K OEFFIZIENTEN ................................................................ 294 22.5 L APLACE -T RANSFORMATION ........................................................... 304 22.6 R UNGE -K UTTA -V ERFAHREN ..............................................................316 23 R EIHEN 319 23.1 E INLEITUNG UND G RUNDBEGRIFFE ................................................... 319 23.2 K RITERIEN FUER DIE K ONVERGENZ VON R EIHEN ................................. 321 23.3 P OTENZREIHEN ................................................................................ 323 23.4 E IGENSCHAFTEN VON P OTENZREIHEN .............................................. 324 23.5 T AYLOR -R E IH E N ..............................................................................326 23.6 F OURIER -R EIHEN ...........................................................................331 23.7 A PPROXIMATION DURCH TRIGONOMETRISCHE F UNKTIONEN ............... 337 23.8 D IE KOMPLEXE S CHREIBWEISE VON F OURIER -R EIHEN .......................339 23.9 D IE SCHNELLE F OURIER -T RANSFORMATION ...................................... 340 24 ANHANG 343 INDEX 351
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