Vertiefung Mathematik Primarstufe - Arithmetik/Zahlentheorie:
Gespeichert in:
| Beteiligte Personen: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Berlin ; Heidelberg
Springer Spektrum
2015
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| Ausgabe: | 2. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
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| Beschreibung: | 1. Aufl. u.d.T.: Padberg, Friedhelm: Zahlentheorie und Arithmetik |
| Umfang: | XV, 254 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783662459867 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einige spannende Probleme - ein Schnupperkurs......................... 1
1.1 Zahlen mit genau vier Teilern ֊ ein vollständiger Überblick......... 1
1.1.1 Zahlen mit genau vier Teilern ................................ 2
1.1.2 Struktur der Tcilermengen .................................... 2
1.1.3 Erstes Zwischenergebnis....................................... 3
1.1.4 Sonderfall 8 und 27 .......................................... 3
1.1.5 Zweites Zwischenergebnis...................................... 3
1.2 Primzahlen - zwei überraschende Entdeckungen........................ 5
1.2.1 Untersuchung gerader Zahlen .................................. 6
1.2.2 Goldbachschc Vermutung ....................................... 6
1.2.3 Eine weitere überraschende Entdeckung ........................ 6
1.3 Pharmazeniralnummer - Sicherheit in der Apotheke ................... 8
1.3.1 Aufbau der Pharmazentralnummer (PZN) ......................... 9
1.3.2 Verwechslung einer Ziffer bei der PZN ....................... 10
1.3.3 Drchfchlcr bei der PZN....................................... 10
1.3.4 Der Strichcodc bei der PZN .................................. 11
1.3.5 Sicherheit durch die PZN..................................... 12
1.4 Aufgaben........................................................... 12
2 Teüer, Vielfache, Reste 15
2.1 Einführung......................................................... 16
2.1.1 Rückgriff auf die Division .................................. 17
2.1.2 Rückgriff auf die Multiplikation ......................... 17
2.1.3 Ganze Zahlen................................................. 18
2.2 Teilbarkeit*- und Vielfachenrelaiion als Ordnungsrelationcn 19
2.2.1 Veranschaulichung durch Pfeildiagrammc ...................... 19
2.2.2 Überbrückungspfcile/Transitivität ......................... 21
2.2.3 Ordnungsrclation............................................. 22
2.3 Summen- und Produktregcln.......................................... 22
2.3.1 Summcnrcgel.................................................. 22
2.3.2 Diffcrcnzrcgcl............................................... 24
XI
Inhaltsverzeichnis
XII _________________________________________________________________
2.3.3 Produktregeln................................................
2.4 Division mit Rest..................................................
2.5 Die Restgleichheitsrelation........................................
2.5.1 Seitenweise Addition von Kongruenzen......................... 32
2.5.2 Seitenweise Multiplikation von Kongruenzen .................. 33
2.5.3 Einsatzgebiete der Kongruenzrelation......................... 35
2.6 Aufgaben........................................................... ^
3 Primzahlen................................................................. ^
3.1.1 Verschiedene Einführungswege.................................. 40
3.1.2 Unterschiedliche Gesichter der Primzahlen..................... 44
3.1.3 Unzerlegbarkeit bei Addition und Multiplikation .............. 45
3.2 Wie viele Primzahlen gibt es? ..................................... 45
3.2.1 Anzahl der Primzahlen ........................................ 46
3.2.2 Anzahl der Primzahlen - Beweisidee ........................... 47
3.2.3 Gewinnung einer neuen Primzahl - Beispiel..................... 47
3.2.4 Gewinnung einer neuen Primzahl - allgemein.................... 48
3.2.5 Weitere Verallgemeinerung .................................... 48
3.2.6 Jagd nach immer größeren Primzahlen .......................... 49
3.3 Sieb des Eratosthenes .............................................. 50
3.3.1 Anordnung der natürlichen Zahlen.............................. 51
3.3.2 Drei zentrale Verstftndnisftagen............................ 52
3.4 Verteilung der Primzahlen........................................... 55
3.4.1 Primzahlzwillinge ............................................ 55
3.4.2 Primzahldrillinge/Primzahlvierlinge........................... 56
3.4.3 Primzahllocken................................................ 56
3.5 Aufgaben............................................................ 59
4 PrtmtaMf - Bausteine der natfl fliehen Zahlen............................ 61
4.1 Multiplikative Zerlegungen natOrlicher Zahlen....................... 62
4.1.1 Zerkgungsbüume ............................................... 62
4.1.2 Problematisierung der eindeutigen Primfaktorzerlegung......... 63
4.2 Multiplikativer Aufbau der natürlichen Zahlen und Primzahlen........ 64
4.2.1 Zwei zentrale Fragen ......................................... 64
4-2-2 Primfaktorzerlegung - eine Verabredung........................ 65
4.23 Existenz der Primfaktorzerlegung .............................. 65
4.2.4 Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ........................ 67
43 Folgerungen......................................................... 59
43.1 Primzahlkriterium ............................................ 69
433 Lemma voo Euklid................................................ 71
433 Elemente und Elemcnlan/ahl von Tctlerroengcn.................... 71
Inhaltsverzeichnis
XIII
4.3.4 Weiterer Ausblick ............................................ 74
4.4 Aufgaben............................................................ 74
5 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches .... 77
5.1 GgT und Teilermengen ............................................... 78
5.2 GgT und Prim faktorzerlegung ....................................... 81
5.2.1 Ein Beispiel.................................................. 81
5.2.2 Allgemeine Vorgehensweise..................................... 82
5.3 GgT und Euklidischer Algorithmus.................................... 84
5.3.1 Ein Beispiel.................................................. 84
5.3.2 Verallgemeinerung der zentralen Beweisidec.................... 86
5.3.3 Euklidischer Algorithmus ..................................... 87
5.4 KgV und Vielfachenmengen ........................................... 89
5.5 KgV und Primfaktorzerlegung......................................... 92
5.6 Zusammenhang zwischen ggT und kgV ................................ 93
5.7 Linearkombinationen und lineare diophantische Gleichungen........... 95
5.8 Aufgaben............................................................101
6 TeUbarkeitsregeln .......................................................105
6.1 Stellenwcrtsysteme - einige Bemerkungen ............................106
6.1.1 Dezimales Stellenwcrtsystem ..................................106
6.1.2 Nichtdezimale Stcllenwcrtsyslcmc..............................106
6.1.3 Notation einer Zahl in verschiedenen Basen .................107
6.1.4 Basen und Anzahl der Ziffern .................................108
6.1.5 Mögliche Basen von Stellenwertsystemen .......................108
6.2 Ausgewählte Eigenschaften der Rcstglcichhcitsrclation ..............108
6.3 Tcilbarkeitsregeln I: Endstellenrcgcln..............................109
6.3.1 Dezimales Stellenwcrtsysicm ..................................109
6.3.2 Nichtdezimale Stellenwertsysicme..............................114
6.4 Teilbarkeitsregeln II: Quersummcnregcln ............................116
6.4.1 Dezimales Stellenwertsystcm ..................................116
6.4.2 Nichtdezimalc Stellenwcrtsysicme..............................118
6.5 Tcilbarkcitsregcln III: Alternierende Quersummenregeln..............120
6.5.1 Dezimales Siellcnwensystcm ...................................120
6.5.2 Nichtdezimalc Stellen wertsysicme.............................125
6.6 Vorteile des Zugangsweges über die Restgleichheit ..................127
6.7 Aufgaben............................................................1-8
7 Derimalbröcbe ...........................................................131
7.1 Unterschiedliche Darstellungen von Bruchzahlen .....................132
7.1.1 Erste einfache DarstcllungsWechsel ...........................133
Inhaltsverzeichnis
XIV
7.1.2 Fachliche und didaktische Herausforderungen: Wann sind zwei
Brüche gleich? ................................................^
7.1.3 Vorteile der unterschiedlichen Darstellungen.................137
7.2 Dezimalbruchentwicklungen als Erweiterung des Dezimalsystems .... 137
7.2.1 Systematische Erweiterung des Dezimalsystems
und des Divisionsalgorithmus.................................138
7.2.2 Erste Erkundungen...........................................144
7.2.3 Erste Systematisierungen....................................146
7.3 Endliche Dezimalbruchentwicklungen.................................147
7.4 Periodische Dezimalbruchentwicklungen ............................152
7.5 Ausblick: Andere Stellenweltsysteme - andere
Systembruchentwicklungen..........................................154
7.6 Aufgaben..........................................................156
Restklassenmengrn/algebraische Strukturen...............................157
8.1 Rechnen mit Resten ................................................158
8.1.1 Kontrolle von Ergebnissen...................................158
8.1.2 Reste beim Aufteilen ........................................160
8.1.3 Darstellung von Resten an der Uhr...........................161
8.2 Die Kongruenzrelation als Äquivalenzrelation ......................164
8.2.1 Die Kongruenzrelation ......................................165
8.2.2 Rechnen mit Kongruenzen......................................169
8.2.3 Probleme mit der Division bei Kongruenzen....................170
8.2.4 Eigenschaften der Kongruenzrelation modulo m ...............172
8.2.5 Erinnerung: Aquivalenzrelation...............................174
8.3 Restklassen modulo m als Äquivalenzklassen.........................174
8.3.1 Von der Kongruenzrelation modulo m zu Restklassen modulo m 175
8.3.2 Eigenschaften der Restklassenmengen modulo m.178
8.4 Verknüpfung von Restklassen/Rechnen mit Restklassen ...............179
8.4.1 Addition und Multiplikation von Restklassen .................179
8.4.2 Wbhldefiniertheit der Restklassenaddition
und der Restklassenmultiplikation ...........................184
8.4 3 Recbengeaetze für die Addition und Multiplikation
voo Restklassen ...............................................
8.4.4 Rcstklasaenglekhungen........................................187
8.45 Subtraktion und Division von Restklassen ....................191
83 Sprachebenen der Zahlen theorie........................................
8.6 Restklasaenmengen als Beispiele für algebraische Strukturen ! ! ! 195
8.6.1 Gleichungen als Ausgangspunkt ............................... 1%
8.63 Erste algebraische Begriffe und Strukturen...................198
8.63 Gruppen ................................................... 202
8.6.4 Ringe und Kfirper ............................................ w
Inhaltsverzeichnis
XV
8.7 Aufgaben.......................................................209
9 Praktische Anwendungen ~ PrüfzifTernverfahren......................213
9.1 GTIN und EAN ................................................213
9.1.1 Aufbau und Zielsetzung ..................................213
9.1.2 Die Prüfziffer...........................................216
9.1.3 Sicherheit des Prüfziffemsystems.........................217
9.1.4 Zusammenfassung..........................................223
9.2 Die Internationale Standardbuchnummer ISBN-13 224
9.2.1 Einige Bemerkungen zur Einführung .......................224
9.2.2 Aufbau der ISBN-13 224
9.2.3 Sicherheit des ISBN-13-Prüfziffemsy stems ...............225
9.2.4 Zusammenhang von ISBN-10 und ISBN-13 ....................225
9.3 Die Internationale Standardbuchnummer ISBN-10 225
9.3.1 Berechnung der ISBN-10-Prüf/.iffer ......................226
9.3.2 Sicherheit des ISBN-10-PrüfZiffern Verfahrens............226
9.3.3 Zusammenfassung..........................................231
9.4 Die Pharmazentralnummer PZN.................................. 232
9.4.1 Einige Bemerkungen zur Einführung .......................232
9.4.2 Berechnung der Prüfziffer ...............................232
9.4.3 Sicherheit ..............................................233
9.4.4 Zusammenfassung..........................................237
9.5 Aufgaben.......................................................238
Ufeungshinweise zu ausgewtfhlten Aufgaben...............................241
Liste der wichtigsten Symbole und Bezeichnungen 247
Literatur...............................................................249
Sachverzeichnis
25!
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| author | Padberg, Friedhelm 1940-2023 Büchter, Andreas 1972- |
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