Analysis: 1
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2013
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| Ausgabe: | 2., verb. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Lehrbuch
Mathematik für das Lehramt |
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| Umfang: | 490 S. graph. Darst. |
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| adam_text | Inhalt
Vorwort .....................................................7
Zum Lehramtsstudium..................................... 13
Die Themen des Buches.................................... 16
Erster Abschnitt : Reelle und komplexe Zahlen........19
1.1 Warum die rationalen Zahlen nicht genügen.............. . 21
Die Entdeckung der alten Griechen....................... 21
Der Satz von Gauß.................................... 23
Algebraische Zahlen ................................... 25
Weitere Beweise der Irrationalität von v2 ................. 26
Ausblick: V2 hoch V2 ................................ 27
1.2 Die Überabzählbarkeit von
U
.............................29
Das Hilbertsche Hotel ................................. 29
Abzählbare Mengen ................................... 30
Das Diagonalverfahren................................. 32
Ausblick: Elementare Mächtigkeitstheorie................. 35
1.3 Algebraische Eigenschaften von
IR
........................39
Die Körperaxiome..................................... 39
Subtraktion und Division ............................... 40
„Minus mal Minus gleich Plus und die Sonderrolle der Null ... 41
Summen und Produkte................................. 42
Ausblick: Endliche Körper.............................. 43
1.4 Ordnungseigenschaften von
IR
............................45
Die Ordnungsaxiome.................................. 45
Verbindung zwischen Arithmetik und Ordnung ............. 47
Supremum und Infimum................................ 49
Das Vollständigkeitsaxiom .............................. 51
Die Axiome für die reellen Zahlen ........................ 55
Ausblick: Konstruktion und Charakterisierung von M. ........ 56
1.5 Die komplexen Zahlen..................................61
Eine Multiplikation für die Ebene ........................ 61
Die komplexen Zahlen
С
............................... 62
Die imaginäre Einheit.................................. 64
Real- und Imaginärteil ................................. 65
Der Betrag einer komplexen Zahl......................... 66
Komplexe Quadratwurzeln.............................. 67
Ausblick: Quaternionen und Oktaven ..................... 68
1.6 Algebraische Gleichungen...............................71
Das Abspalten von Nullstellen ........................... 71
Lösen quadratischer Gleichungen ........................ 73
Bestimmung der dritten Einheitswurzeln................... 75
Zum Fundamentalsatz der Algebra........................ 76
Ausblick: Lösungsformeln für Gleichungen höheren Grades ... 79
Zweiter Abschnitt : Folgen und Reihen.................83
2.1 Konvergente Folgen....................................85
Folgen .............................................. 85
Der Grenzwertbegriff.................................. 88
Die allgemeine Grenzwertdefinition ...................... 92
Die Eindeutigkeit des Grenzwerts ........................ 97
Die Limesregeln ...................................... 99
Wurzeln und rationale Exponenten...................... 101
Teilfolgen und Häufungspunkte......................... 103
Der Satz von
Bolzano-
Weierstraß ....................... 105
Häufungspunkte für Mengen ........................... 107
Die Sprechweisen „unendlich oft und „schließlich ......... 108
Konvergenz in
С
..................................... 109
Die Unendlichkeitssymbole ............................ 110
Ausblick: Kettenbrüche ............................... 112
2.2 Cauchy-Folgen........................................ 117
Der Konvergenzsatz .................................. 118
Limes Inferior und
Superior
............................ 119
Ausblick: Varianten der Axiomatisierung der reellen Zahlen ... 122
2.3 Unendliche Reihen .................................... 125
Partialsummen und Reihen............................. 125
Limesregeln für Reihen................................ 128
Elementare Bestimmung von unendlichen Summen......... 129
Die geometrischen Reihen ............................. 131
Die harmonische Reihe................................ 133
Unendliche Produkte ................................. 136
Ausblick:
Cesàro-Summen
............................. 137
2.4 Konvergenzkriterien
för
Reihen......................... 141
Alternierende Reihen ................................. 142
Absolute und bedingte Konvergenz...................... 143
Das Majorantenkriterium.............................. 144
Geometrische Reihen als
Majoranten
..................... 145
Abelsche
Summation
.................................. 148
Reihen komplexer Zahlen.............................. 150
Ausblick: Das Baseler Problem und die Zeta-Funktion....... 151
2.5 Umordnungen und Produkte............................ 155
Unendliche Umordnungen............................. 155
Produkte von Reihen.................................. 159
Cauchy- und Rechteck-Produkt......................... 161
Ausblick: Allgemeine Doppelsummen.................... 163
2.6 Die Exponentialreihe .................................. 167
Exponentialfunktion und Eulersche Zahl.................. 168
Das Additionstheorem ................................ 169
Die komplexe Exponentialfunktion ...................... 171
Ausblick: Die binomischen Reihen ...................... 172
Dritter Abschnitt : Stetige Funktionen................177
3.1 Die Limesstetigkeit.................................... 179
Der anschauliche Stetigkeitsbegriff...................... 179
Die Limesstetigkeit................................... 180
Die Stetigkeit der Exponentialfunktion................... 185
Der Identitätssatz für stetige Funktionen.................. 186
Stetige Fortsetzungen................................. 187
Grenzwerte für Funktionen ............................ 189
Klassifikation der Unstetigkeit.......................... 192
Die Stetigkeit in
С
.................................... 192
Ausblick: Limes
Superior
und Inferior für Funktionen....... 193
3.2 Die Umgebungsstetigkeit............................... 197
Die Epsilon-Deka-Bedingung .......................... 197
Der Äquivalenzsatz................................... 198
Die Stetigkeit der Umkehrfunktion ...................... 199
Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit........... 201
Die Umgebungsstetigkeit in
С
.......................... 203
Ausblick: Feinanalyse der gleichmäßigen Stetigkeit ......... 204
3.3 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen.............207
Kompakte Intervalle .................................. 207
Der Zwischenwertsatz von
Bolzano-
Cauchy............... 207
Der Extremwertsatz von Weierstraß ..................... 210
Der Satz von Heine über gleichmäßige Stetigkeit........... 212
Ausblick: Folgenkompakte Mengen reeller Zahlen.......... 213
3.4 Die reelle Exponentialfunktion..........................215
Der natürliche Logarithmus............................ 216
Die Limesdarstelhmg der Exponentialfunktion............. 218
Die allgemeine Exponentialfunktion ..................... 220
Der Logarithmus zu einer positiven Basis ................. 222
Potenzfunktionen mit reellem Exponenten................ 223
Ausblick: Funktionalgleichungen........................ 225
3.5 Die komplexe Exponentialfunktion ......................229
Die Kreisaufwicklung ................................. 229
Sinus und Kosinus.................................... 232
Bilder der komplexen Exponentialfunktion................ 238
Polarkoordinaten und Argument ........................ 239
Einheitswurzeln und Berechnung des Kreisumfangs......... 240
Tangens und Kotangens ............................... 243
Die Arkusfunktionen.................................. 245
Sekans und Kosekans.................................. 247
Ausblick: Die Hyperbelfunktionen ...................... 249
3.6 Konvergente Funktionenfolgen .........................253
Punktweise Konvergenz............................... 253
Gleichmäßige Konvergenz............................. 255
Die Supremumsnorm ................................. 256
Bedingungen für gleichmäßige Konvergenz ............... 258
Gleichmäßige Approximation durch Polynome............. 260
Funktionenfolgen in
С
................................ 265
Ausblick: Der Satz von
Dini
............................ 266
Vierter Abschnitt : Differentiation....................269
4.1 Differentialquotienten .................................271
Die Ableitung einer Funktion........................... 272
Lineare Approximation................................ 275
Differenzierbarkeit in allen Punkten ..................... 277
Grundlegende Ableitungen............................. 278
Ausblick: Stetige nirgends differenzierbare Funktionen...... 283
4.2 Ableitungsregeln......................................287
Die Linearität ....................................... 287
Die Produktregel..................................... 288
Die Kettenregel...................................... 289
Die Quotientenregel.................................. 291
Die Ableitung der Umkehrfunktion...................... 2 92
Die logarithmische Ableitung........................... 294
Ableitung der elementaren Funktionen................... 295
Mehrfache Differenzierbarkeit.......................... 296
Ausblick: Komplexe Differentiation...................... 299
4.3 Der Mittelwertsatz ....................................303
Kritische Punkte und der Satz von Darboux ............... 303
Der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz ................ 306
Lokale
Extrema
und Monotonieverhalten................. 308
Hinreichende Bedingungen für lokale
Extrema
............. 311
Die Lösungen der Differentialgleichung
f
=
f
............. 314
Lipschitz-Stetigkeit differenzierbarer Funktionen........... 316
Die Regeln von l Hospital.............................. 317
Ausblick: Irreguläre lokale Extremwerte.................. 321
4.4 Die Krümmung.......................................323
Konvexe und konkave Funktionen....................... 323
Kriterien der Konvexität............................... 324
Analytische Bestimmung der Krümmung ................. 327
Wendepunkte ....................................... 328
Krümmungskreise.................................... 330
Schmiegeparabeln.................................... 333
Das Newton-Verfahren................................ 335
Kurvendiskussion .................................... 339
Ausblick: Die
λ
-Formulienmg
der Konvexität ............. 340
4.5 Die Taylor-Entwicklung................................343
Die Taylor-Polynome................................. 344
Der allgemeine Approximationssatz...................... 346
Visualisierungen von Taylor-Polynomen.................. 346
Der Satz von Taylor................................... 350
Taylor-Reihen....................................... 354
Konvergenzergebnisse................................ 358
Ausblick: Die Polynom-Interpolation .................... 360
4.6 Potenzreihen........................................ . 367
Potenzreihen und ihre Konvergenzbereiche ............... 367
Konvergenzradien.................................... 369
Gliedweises Differenzieren............................. 372
Die Logarithmus- und Arkustangensreihe................. 374
Der Abelsche Grenzwertsatz............................ 378
Potenzreihen in
С
.................................... 381
Ausblick: Der Satz von Peano-Borel ..................... 383
Ergänzungen .............................................387
El Irrationale Verhältnisse in geometrischen Figuren...... 388
E2 Die Dezimaldarstellung reeller Zahlen,
I
............. 391
E3 Die geometrische Deutung der Multiplikation in
С
...... 395
E4 Aneignung des Grenzwertbegriffs................... 398
E5 Die Dezimaldarstellung reeller Zahlen,
II
............. 400
E6 Untersuchung spezieller Reihen .................... 403
E7 Visualisierungen stetiger Funktionen,
I
............... 404
E8 Visualisierungen stetiger Funktionen,
II
.............. 406
E9 Die elementaren Funktionen in Natur und Geometrie . . . 408
ЕЮ
Zur Bedeutung der Ableitung....................... 410
Eil Zum bCrümmungsbegriff und Newton-Verfahren....... 412
E12 Taylor-Entwicklungen ............................ 414
Übungen..................................................417
Anhänge ..................................................467
AI Voraussetzungen und Notationen ...................469
A2 Bezüge zur Schulmathematik........................473
Rationale Zahlen..................................... 473
Funktionsbegriff..................................... 473
Reelle Zahlen........................................ 474
Die trigonometrischen Funktionen ...................... 475
Die Kreiszahl
π
...................................... 475
Exponentialfunktionen und Logarithmen ................. 475
Grenzwertbegriff und Limesnotation..................... 476
Stetigkeit........................................... 477
Differentialquotienten und Ableitongsregeln............... 477
Anwendungen der Differentiation ....................... 478
Die Eulersche Zahl
e
.................................. 478
A3 Literatur ...........................................479
A4 Notationen .........................................483
A5 Index...............................................486
Analysis
1
Das Buch, das nun in verbesserter und erweiterter Auflage vorliegt, gibt eine systematische
und verständliche Einführung in die folgenden Themen der mathematischen
Analysis:
Reelle und komplexe Zahlen, Folgen und Reihen, Stetige Funktionen, Differentiation.
Einen Schwerpunkt bilden dabei die aus der reellen und komplexen Exponentialfunk¬
tion gewonnenen elementaren Funktionen. Ziel ist, das aus der Schule bekannte Wissen
über die reelle Differentialrechnung zu fundieren und zu erweitern, um ein formal und
anschaulich vertieftes Begriffsverständnis und eine Einsicht in die beweisende Natur
der Mathematik zu erlangen.
Der Text wendet sich speziell an Studierende des Lehramts Mathematik an Gymnasien
sowie an Lehrerinnen und Lehrer. Etwa 200 Übungsaufgaben stehen zwölf Ergänzungs¬
sektionen zur Seite, die zwischen Schule und Universität vermitteln und die Entwicklung
von Anschauungen fördern. Der
Anschluss an
das Fachstudium bleibt durch ein hohes
Maß an mathematischer Genauigkeit und durch vollständige Beweise gewahrt.
In einem zweiten Band werden neben einer ausführlichen Darstellung der Integration,
topologisch
er Grundbegriffe und der mehrdimensionalen Differentiation auch
Fourier-
Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration
im Überblick vorgestellt.
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