Grundwissen Mathematikstudium: Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2013
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| Schriftenreihe: | Lehrbuch
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| Beschreibung: | Erg. u.d.T.: Arbeitsbuch Grundwissen Mathematikstudium / Tilo Arens ... |
| Umfang: | IX, 1172 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783827423085 |
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| adam_text | Titel: Grundwissen Mathematikstudium
Autor: Arens, Tilo
Jahr: 2013
Inhaltsverzeichnis
Vorwort.............................. V 5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur
der Lösung ........................... 180
1 Mathematik - eine Wissenschaft für sich 1 Zusammenfassung ..................... 185
1.1 Über Mathematik, Mathematiker und Aufgaben ............................ 186
dieses Lehrbuch ....................... 2 _ ,, .
1.2 Die didaktischen Elemente dieses 6 Vektorraume - von Basen
q und Dimensionen .................. 189
Buchs
1.3 Ratschläge zum Einstieg in die 6.1 Der Vektorraumbegriff ................. 190
Mathematik .......................... 10 6.2 Beispiele von Vektorräumen ............ 193
1.4 Eine kurze Geschichte der Mathematik ... 13 6.3 Untervektorräume ..................... 196
6.4 Basis und Dimension .................. 198
Logik, Mengen, Abbildungen - 6.5 Summe und Durchschnitt von Unter-
die Sprache der Mathematik ........ 27 vektorräumen ......................... 211
2.1 Junktoren und Quantoren .............. 28 Zusammenfassung ..................... 222
2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre ..... 34
2.3 Abbildungen .......................... 40
2.4 Relationen ........................... 49
Zusammenfassung ..................... 58
Aufgaben ............................ 60
Aufgaben ............................ 223
7 Analytische Geometrie -
Rechnen statt Zeichnen ............. 227
7.1 Punkte und Vektoren im
Anschauungsraum ..................... 228
Alqebraische Strukturen - ^.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum . 232
ein Blick hinter die Rechenregeln .... 63 7-3 Weitere Produkte von Vektoren im
Anschauungsraum ..................... 238
3.1 Gruppen ............................. 64
3.2 Homomorphismen ..................... 71
3.3 Körper ............................... 78
3.4 Ringe ................................ 85
Zusammenfassung ..................... 95
Aufgaben ............................ 97
7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden
und Ebenen .......................... 247
7.5 Wechsel zwischen kartesischen
Koordinatensystemen .................. 257
Zusammenfassung ..................... 268
Aufgaben ............................ 270
4 Zahlbereiche - Basis der gesamten 8 Fo|gen _ der Weg jns Unendliche .... 275
Mathematik ....................... 101 81 Der Begriff einer Folge ................. 276
4.1 Der Körper der reelle Zahlen ............ 102 g.2 Konvergenz ........................... 283
4.2 Anordnungsaxiome für die reellen Zahlen 106 8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen ..... 291
4.3 Ein Vollständigkeitsaxiom .............. 114 Zusammenfassung ..................... 299
4.4 Natürliche Zahlen und vollständige Aufgaben ............................ 300
Induktion ............................ 117
4.5 Ganze Zahlen und rationale Zahlen ...... 127 9 Funktionen und Stetigkeit -
4.6 Komplexe Zahlen ...................... 134 e trifft auf 5 ...................... 303
4.7 Vertiefung: Konstruktiver Aufbau 9.1 Grundlegendes zu Funktionen .......... 304
der reellen Zahlen ..................... 148 9.2 Beschränkte und monotone Funktionen .. 310
Zusammenfassung ..................... 155 9.3 Grenzwerte für Funktionen und die
Aufgaben ............................ 156 Stetigkeit ............................ 313
9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte
5 Lineare Gleichungssysteme - Mengen .............................. 322
ein Tor zur linearen Algebra ........ 165 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem
5.1 Erste Lösungsversuche ................. 166 Definitionsbereich, Zwischenwertsatz...... 330
5.2 Das Lösungsverfahren von Zusammenfassung ..................... 341
Gauß und Jordan ..................... 172 Aufgaben ............................ 342
VIII I Inhaltsverzeichnis
10 Reihen - Summieren bis zum Letzten . 347 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform
10.1 Motivation und Definition .............. 348 und Jordan-Basis ...................... 532
10.2 Kriterien für Konvergenz ............... 355 Zusammenfassung ..................... 544
10.3 Absolute Konvergenz .................. 363 Aufgaben ............................ 546
10.4 Kriterien für absolute Konvergenz ....... 368
Zusammenfassung ..................... 376 15 Differenzialrechnung -
Aufgaben ............................ 377 die Linearisierung von Funktionen ... 551
11 Potenzreihen - Alleskönner unter den
Funktionen ....................... 381
15.1 Die Ableitung ......................... 552
15.2 Differenziationsregeln .................. 560
15.3 Der Mittelwertsatz .................... 569
11.1 Definition und Grundlagen ............. 382 !5.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen ... 577
11.2 Die Darstellung von Funktionen durch y ^ Taylorreihen .......................... 583
Potenzreihen ......................... 389
11.3 Die Exponentialfunktion ................ 398
11.4 Trigonometrische Funktionen ........... 403
11.5 Der Logarithmus ...................... 409
Zusammenfassung ..................... 413
Aufgaben ............................ 414
Zusammenfassung ..................... 593
Aufgaben ............................ 594
16 Integrale - von lokal zu global ...... 599
16.1 Integration von Treppenfunktionen ...... 600
16.2 Das Lebesgue-Integral ................. 604
12 Lineare Abbildungen und Matrizen - 16.3 Stammfunktionen ..................... 613
Brücken zwischen Vektorräumen ..... 417 16.4 Integrationstechniken .................. 618
12.1 Definition und Beispiele ................ 418 16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle
12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen 422 oder Funktionen ...................... 622
12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel .... 425 16.6 Parameterabhängige Integrale .......... 633
12.4 Darstellungsmatrizen .................. 432 16.7 Weitere Integrationsbegriffe ............ 637
12.5 Das Produkt von Matrizen .............. 442 Zusammenfassung ..................... 649
12.6 Das Invertieren von Matrizen ........... 446 Aufgaben ............................ 650
12.7 Elementarmatrizen .................... 451
12.8 Basistransformation ................... 455 17 Euklidische und unitäre Vektorräume -
12.9 Der Dualraum ........................ 458 orthogonales Diagonalisieren ........ 655
Zusammenfassung ..................... 462 17.1 Euklidische Vektorräume ............... 656
Aufgaben ............................ 4ß4 17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität .. 662
13 Determinanten - Kenngrößen 173 Orthonormalbasen und orthogonale
von Matrizen ...................... 469 Komplemente ......................... 668
13.1 Die Definition der Determinante ......... 470
13.2 Determinanten von Endomorphismen ___ 475 ... r r ., , ,. _ , ,. rn.
,,, D , , _ x ._. 17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen ...... 691
13.3 Berechnung der Determinante .......... 476 _ .. . _ . ..
17.4 Unitäre Vektorräume .................. 678
17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 681
17.7 Normale Endomorphismen ............. 697
Zusammenfassung ..................... 705
13.4 Anwendungen der Determinante ........ 483
Zusammenfassung ..................... 492 A , , -,no
. , , a An. Aufgaben ............................ 708
Aufgaben ............................ 494
14 Normalformen - Diagonalisieren 18 Quadriken - vielseitig nutzbare
und Triangulieren .................. 497 Punktmengen ..................... 713
14.1 Diagonalisierbarkeit ................... 498 18.1 Symmetrische Bilinearformen ........... 714
14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren .......... 501 18.2 Hermitesche Sesquilinearformen ......... 724
14.3 Berechnung der Eigenwerte und 18.3 Quadriken und ihre Hauptachsen-
Eigenvektoren ........................ 503 transformation ........................ 728
14.4 Algebraische und geometrische 18.4 Die Singulärwertzerlegung .............. 741
Vielfachheit .......................... 510 18.5 Die Pseudoinverse einer linearen
14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen ___ 519 Abbildung ............................ 743
14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen .. 521 Zusammenfassung ..................... 753
14.7 Die Jordan-Normalform ................ 526 Aufgaben ............................ 754
Inhaltsverzeichnis I IX
19 Metrische Räume - Zusammenspiel 23 Vektoranalysis - im Zentrum steht
von Analysis und lineare Algebra .... 759 der Gauß sche Satz ................ 951
19.1 Metrische Räume und ihre Topologie .... 760 23.1 Kurven im U. ........................ 952
19.2 Konvergenz und Stetigkeit in 23.2 Das Kurvenintegral .................... 960
metrischen Räumen ................... 768 23.3 Flächen und Flächenintegrale ........... 968
19.3 Kompaktheit .......................... 783 23.4 Der Gauß sche Satz ................... 980
19.4 Zusammenhangsbegriffe ............... 792 Zusammenfassung .....................1002
19.5 Vollständigkeit ........................ 797 Aufgaben ............................1003
19.6 Banach- und Hilberträume .............. 803 . .
Zusammenfassung ..................... 817 24 Optimierung - aber mit
Aufgaben ............................ 819 Nebenbedingungen ................ 1007
24.1 Lineare Optimierung ...................1008
20 Differenzialgleichungen - 24.2 Das Simplex-Verfahren .................1017
Funktionen sind gesucht ............ 823 24-3 Dualitätstheorie .......................1026
20.1 Begriffsbildungen ..................... 824 2AA Differenzierbare Probleme ..............1035
Zusammenfassung .....................1042
Aufgaben ............................1043
20.2 Elementare analytische Techniken ....... 833
20.3 Existenz und Eindeutigkeit ............. 841
20.4 Grundlegende numerische Verfahren ..... 848 25 Elementare Zahlentheorie -
Zusammenfassung ..................... 854 Teiler und Vielfache ................ 1047
Aufgaben ............................ 855
25.1 Teilbarkeit ............................1048
21 Funktionen mehrerer Variablen - 25-2 Der euklidische Algorithmus ............1049
25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik .....1053
25.4 ggT und kgV .........................1054
25.5 Zahlentheoretische Funktionen ..........1057
25.6 Rechnen mit Kongruenzen ..............1063
Zusammenfassung .....................1070
Aufgaben ............................1071
Differenzieren im Raum ............ 859
21.1 Einführung ........................... 860
21.2 Differenzierbarkeitsbegriffe:
Totale und partielle Differenzierbarkeit ... 861
21.3 Differenziationsregeln .................. 875
21.4 Mittelwertsätze und Schrankensätze ..... 883
21.5 Höhere partielle Ableitungen und der 26 Elemente der diskreten Mathematik -
Vertauschungssatz von H. A. Schwarz ... 885 die Kunst des Zählens .............. 1075
21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema ....... 889 26.1 Einführung in die Graphentheorie .......1076
21.7 Der lokale Umkehrsatz ................. 895 26.2 Einführung in die Kombinatorik .........1090
21.8 Der Satz über implizite Funktionen ...... 901 26.3 Erzeugende Funktionen ................1097
Zusammenfassung ..................... 905 Zusammenfassung .....................1101
Aufgaben ............................ 908 Aufgaben ............................1103
22 Gebietsintegrale - das Ausmessen Hinweise zu den Aufgaben.............. 1107
von Mengen ...................... 913
22.1 Definition und Eigenschaften ........... 914 Lösungen zu den Aufgaben............. 1125
22.2 Die Berechnung von Gebietsintegralen ... 922 Bj|dnachwejs.......................... m}
22.3 Die Transformationsformel .............. 931
22.4 Wichtige Koordinatensysteme ........... 937 Symbolglossar deutsch/englisch.......... 1143
Zusammenfassung ..................... 945
Aufgaben ............................ 946 Index................................. 1161
Grundwissen Mathematikstudium
Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Studierende der Mathematik in Bachelor- und
Lehramtsstudiengängen. Es bietet in einem Band ein lebendiges Bild der mathematischen
Inhalte, die üblicherweise im ersten Studienjahr behandelt werden (und etliches mehr).
Mathematik-Studierende finden wichtige Begriffe, Sätze und Beweise ausführlich und mit
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Im Mittelpunkt stehen das Verständnis der mathematischen Zusammenhänge und des Aufbaus
der Theorie sowie die Strukturen und Ideen wichtiger Sätze und Beweise. Es wird nicht nur ein
in sich geschlossenes Theoriengebäude dargestellt, sondern auch verdeutlicht, wie es entsteht
und wozu die Inhalte später benötigt werden.
Herausragende Merkmale sind:
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und weiterführenden Themen her
• Zusammenfassungen zu jedem Kapitel sowie Übersichtsboxen
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• deutsch-englisches Symbol- und Begriffsglossar
Der inhaltliche Schwerpunkt liegt auf den Themen der Vorlesungen
Analysis
1 und 2 sowie
Linearer Algebra 1 und 2. Behandelt werden darüber hinaus Inhalte und Methodenkompe¬
tenzen, die vielerorts im ersten Studienjahr der Mathematikausbildung vermittelt werden. Auf
der Website zum Buch
www.matheweb.de
finden Sie:
• Hinweise, Lösungswege und Ergebnisse zu allen Aufgaben
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» die Möglichkeit, zu den Kapiteln Fragen zu stellen
Das Buch wird allen Studierenden der Mathematik vom Beginn des Studiums bis in höhere
Semester hinein ein verlässlicher Begleiter sein.
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Inhaltsverzeichnis
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Teilbibliothek Mathematik & Informatik
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Lageplan |
|---|---|
| Exemplar 1 | Nicht ausleihbar Am Standort |
Teilbibliothek Chemie, Lehrbuchsammlung
| Signatur: |
0303 MAT 001f 2012 L 1170
Lageplan |
|---|---|
| Exemplar 1 | Ausleihbar Ausgeliehen – Rückgabe bis: 28.03.2025 |
| Exemplar 2 | Ausleihbar Am Standort |
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| Exemplar 32 | Ausleihbar Am Standort |