Elementare lineare Algebra: linearisieren und koordinatisieren
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| Sprache: | Deutsch |
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Heidelberg
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2011
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT V
1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1
1.1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN 2
1.1.1 LOESUNGSMENGEN LINEARER GLEICHUNGEN MIT ZWEI VARIABLEN . . .. 2
1.1.2 LOESUNGSMENGEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN MIT ZWEI VARIABLEN 5 1.1.3
LOESUNGSVERFAHREN 8
1.1.4 SACHSITUATIONEN, DIE AUF LGS MIT ZWEI VARIABLEN FUEHREN . . .. 12
1.1.5 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 1.1 13
1.2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT DREI VARIABLEN 15
1.2.1 LOESUNGSMENGEN LINEARER GLEICHUNGEN UND GLEICHUNGSSYSTE- ME MIT
DREI VARIABLEN 15
1.2.2 DER GAUSS-ALGORITHMUS 22
1.2.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 1.2 28
1.3 VERALLGEMEINERUNGEN UND EINIGE BEGRIFFE 29
1.3.1 DER GAUSS-ALGORITHMUS IN MATRIXSCHREIBWEISE 29
1.3.2 RAENGE DER EINFACHEN UND ERWEITERTEN KOEFFIZIENTENMATRIX . .. 32
1.3.3 EIN LOESBARKEITSKRITERIUM FUER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 34 1.3.4
HOMOGENE UND INHOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 37 1.3.5 AUFGABEN ZU
ABSCHNITT 1.3 39
1.4 EINIGE ANWENDUNGEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 40
1.4.1 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 1.4 43
1.5 LOESEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME MITHILFE DES COMPUTERS 44
2 KOORDINATENGEOMETRIE 49
2.1 GERADEN IN DER EBENE 50
2.1.1 KOORDINATENGLEICHUNGEN VON GERADEN 50
2.1.2 WINKEL ZWISCHEN GERADEN IN DER EBENE 53
2.1.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 2.1 54
2.2 ABSTAENDE VON PUNKTEN; KREISGLEICHUNGEN 55
2.2.1 ABSTAENDE VON PUNKTEN IN DER EBENE UND IM RAUM 55
2.2.2 KREISE 58
2.2.3 LAGEBEZIEHUNGEN VON KREISEN UND GERADEN 61
2.2.4 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 2.2 65
2.3 KUGELN UND KEGEL 67
2.3.1 KUGELGLEICHUNGEN 67
2.3.2 KEGEL 69
2.3.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 2.3 71
2.4 KURVEN ZWEITER ORDNUNG: ELLIPSEN, HYPERBELN UND PARABELN 72 2.4.1
ORTSDEFINITIONEN VON ELLIPSEN, HYPERBELN UND PARABELN 72 2.4.2
GLEICHUNGEN VON ELLIPSEN, HYPERBELN UND PARABELN 76 2.4.3 TANGENTEN AN
ELLIPSEN, HYPERBELN UND PARABELN 81
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/1009408879
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
VIII INHALTSVERZEICHNIS
2.4.4 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 2.4 82
3 VEKTOREN 85
3.1 VEKTOREN IN PHYSIKALISCHEN UND GEOMETRISCHEN KONTEXTEN 86 3.1.1
KRAEFTE, GESCHWINDIGKEITEN UND VERSCHIEBUNGEN 86 3.1.2 PFEILKLASSEN 89
3.1.3 ADDITION UND SKALARE MULTIPLIKATION VON PFEILKLASSEN 91 3.1.4
AUFGABEN ZU ABSCHNITT 3.1 99
3.2 VEKTOREN IN ARITHMETISCHEN KONTEXTEN 100
3.2.1 STUECKLISTEN, FARBEN 100
3.2.2 N-TUPEL 103
3.2.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 3.2 105
3.3 ZUSAMMENHAENGE ZWISCHEN PFEILKLASSEN UND N-TUPELN - VEKTOREN .. 106
3.3.1 PFEILKLASSEN IM KOORDINATENSYSTEM 106
3.3.2 DIE ISOMORPHIE ZWISCHEN DER MENGE DER PFEILKLASSEN DER EBENE BZW.
DES RAUMES UND R 2 BZW. K 3 109
3.3.3 VEKTOREN 110
3.3.4 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 3.3 112
3.4 LINEARKOMBINATIONEN VON VEKTOREN 113
3.4.1 LINEARKOMBINATIONEN 113
3.4.2 KOLLINEARE UND KOMPLANARE VEKTOREN 116
3.4.3 ANWENDUNGEN VON LINEARKOMBINATIONEN IN DER GEOMETRIE .. 118 3.4.4
AUFGABEN ZU ABSCHNITT 3.4 121
3.5 DAS SKALARPRODUKT ZWEIER VEKTOREN 122
3.5.1 ARITHMETISCHE EINFUEHRUNG DES SKALARPRODUKTS 122
3.5.2 GEOMETRISCHE DEUTUNG DES SKALARPRODUKTS 124
3.5.3 ANWENDUNGEN DES SKALARPRODUKTS IN GEOMETRIE UND PHYSIK . 130 3.5.4
AUFGABEN ZU ABSCHNITT 3.5 131
3.6 VEKTOR- UND SPATPRODUKT 133
3.6.1 DAS VEKTORPRODUKT 133
3.6.2 DAS SPATPRODUKT - BERECHNUNG VON VOLUMINA 136
3.6.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 3.6 137
3.7 VEKTORRECHNUNG UND -DARSTELLUNG MITHILFE DES COMPUTERS 137
4 VEKTORIELLE RAUMGEOMETRIE 139
4.1 PARAMETERDARSTELLUNGEN VON GERADEN UND KURVEN 140
4.1.1 BESCHREIBUNG VON GERADEN DURCH PARAMETERGLEICHUNGEN . . .. 140
4.1.2 PARAMETER- UND KOORDINATENGLEICHUNGEN BZW. LGS 142 4.1.3
LAGEBEZIEHUNGEN UND SCHNITTPUNKTE VON GERADEN 144 4.1.4
PARAMETERDARSTELLUNGEN ALS FUNKTIONEN, BESCHREIBUNG VON
BEWEGUNGEN 146
4.1.5 EXKURS: PARAMETERDARSTELLUNGEN EINIGER KURVEN 147 4.1.6 AUFGABEN
ZU ABSCHNITT 4.1 149
4.2 EBENEN 151
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS IX
4.2.1 PARAMETER- UND KOORDINATENGLEICHUNGEN VON EBENEN 151 4.2.2
LAGEBEZIEHUNGEN UND SCHNITTPUNKTE VON GERADEN UND EBE- NEN SOWIE VON
EBENEN UND EBENEN 152
4.2.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 4.2 155
4.3 METRISCHE GEOMETRIE VON GERADEN UND EBENEN 156
4.3.1 NORMALENGLEICHUNGEN VON GERADEN UND EBENEN 156 4.3.2 SCHNITTWINKEL
ZWISCHEN GERADEN UND EBENEN 159
4.3.3 DIE HESSESCHE NORMALFORM VON GERADEN- UND EBENENGLEI- CHUNGEN;
ABSTANDSBERECHNUNGEN 161
4.3.4 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 4.3 165
5 VEKTORRAEUME 167
5.1 DER BEGRIFF DES VEKTORRAUMES, BEISPIELE 168
5.1.1 DEFINITION DES BEGRIFFS VEKTORRAUM 168
5.1.2 BEISPIELE FUER VEKTORRAEUME 169
5.1.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 5.1 171
5.2 UNTERVEKTORRAEUME 172
5.2.1 DEFINITION, UNTERRAUMKRITERIUM UND BEISPIELE 172 5.2.2 DER
DURCHSCHNITT UND DIE SUMME ZWEIER UNTERRAEUME 176 5.2.3 AUFGABEN ZU
ABSCHNITT 5.2 177
5.3 LINEARE HUELLEN, ERZEUGENDENSYSTEME, LINEARE ABHAENGIGKEIT 178 5.3.1
LINEARE HUELLEN VON VEKTORMENGEN 178
5.3.2 ERZEUGENDENSYSTEME 179
5.3.3 LINEARE ABHAENGIGKEIT UND UNABHAENGIGKEIT 182
5.3.4 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 5.3 186
5.4 BASIS UND DIMENSION 187
5.4.1 DER BEGRIFF DER BASIS 187
5.4.2 KOORDINATEN VON VEKTOREN BEZUEGLICH BASEN 188
5.4.3 WEITERE BEISPIELE FUER BASEN 189
5.4.4 SAETZE UEBER BASEN VON VEKTORRAEUMEN 191
5.4.5 DER BEGRIFF DER DIMENSION 197
5.4.6 DIE DIMENSIONSFORMEL FUER LINEARE UNTERRAEUME 199
5.4.7 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 5.4 201
5.5 AFFINE PUNKTRAEUME 203
5.5.1 DER BEGRIFF DES AFFINEN RAUMES 203
5.5.2 KOORDINATENSYSTEME 205
5.5.3 AFFINE UNTERRAEUME UND IHRE LAGEBEZIEHUNGEN 210
5.5.4 ANWENDUNG AUF DIE THEORIE DER LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEME . 214
5.5.5 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 5.5 * 218
5.6 EUKLIDISCHE VEKTOR- UND PUNKTRAEUME 219
5.6.1 POSITIV DEFINITE SYMMETRISCHE BILINEARFORMEN 219
5.6.2 BETRAEGE VON VEKTOREN, ORTHOGONALITAET UND WINKEL 222 5.6.3
ORTHONORMALBASEN UND KARTESISCHE KOORDINATENSYSTEME . . .. 224
IMAGE 4
X INHALTSVERZEICHNIS
5.6.4 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 5.6 226
6 MATRIZEN 227
6.1 BEGRIFFSBESTIMMUNG, RAENGE VON MATRIZEN 228
6.1.1 ZEILEN- UND SPALTENVEKTOREN, TRANSPONIERTE MATRIZEN 228 6.1.2
ZEILENRANG UND SPALTENRANG EINER MATRIX 229
6.1.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 6.1 234
6.2 MATRIZENMULTIPLIKATION UND -INVERSION 235
6.2.1 EINFUEHRUNGSBEISPIEL: MATERIALVERFLECHTUNG 235
6.2.2 MATRIZENMULTIPLIKATION - DEFINITION UND RECHENREGELN 238 6.2.3
ANWENDUNGSBEISPIELE ZUR MATRIZENMULTIPLIKATION 241 6.2.4 INVERSE
MATRIZEN 245
6.2.5 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 6.2 249
6.3 EIN AUSBLICK AUF DETERMINANTEN 251
6.3.1 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 6.3 255
6.4 MATRIZENRECHNUNG MITHILFE DES COMPUTERS 256
7 LINEARE UND AFFINE ABBILDUNGEN 257
7.1 ABBILDUNGEN: DEFINITION UND EINIGE BEISPIELE 258
7.1.1 DER BEGRIFF *ABBILDUNG , EIGENSCHAFTEN VON ABBILDUNGEN . . . 258
7.1.2 KOORDINATENBESCHREIBUNGEN GEOMETRISCHER ABBILDUNGEN . . .. 259
7.1.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 7.1 263
7.2 LINEARE ABBILDUNGEN 264
7.2.1 DEFINITION UND EINIGE BEISPIELE 264
7.2.2 EINIGE EIGENSCHAFTEN LINEARER ABBILDUNGEN 267
7.2.3 MATRIZIELLE DARSTELLUNG LINEARER ABBILDUNGEN 270
7.2.4 NACHEINANDERAUSFUEHRUNG LINEARER ABBILDUNGEN 273 7.2.5
ISOMORPHISMEN 274
7.2.6 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 7.2 277
7.3 AFFINE ABBILDUNGEN 279
7.3.1 DEFINITION UND BEISPIELE 279
7.3.2 EINIGE EIGENSCHAFTEN AFFINER ABBILDUNGEN 284
7.3.3 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 7.3 286
7.4 KONGRUENZ- UND AEHNLICHKEITSABBILDUNGEN 287
7.4.1 ISOMETRIEN 287
7.4.2 KONGRUENZABBILDUNGEN 292
7.4.3 AEHNLICHKEITSABBILDUNGEN 294
7.4.4 AUFGABEN ZU ABSCHNITT 7.4 296
LITERATURVERZEICHNIS 297
INDEX 298
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