Verfügbarkeit: Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen

Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: eine Einführung in die Theorie reeller Funktionen

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Bibliographische Detailangaben
Beteilige Person:	Appell, Jürgen 1952- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Berlin [u.a.] Springer 2009
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adam_text	Inhaltsverzeichnis Vorwort........................................ · ■ ·........... vu Einleitung.................................................... xv J Stetige Funktionen....................................... 3 1.1 Grenzwerte und Stetigkeit . ,............................. 1 1.2 Unstetigkeitsraengei]..................................... 18 1.3 Monotone Funktionen...........................,....... 24 1.4 Stetige Funktionen auf Intervallen........................ 43 1.5 Gleichmäßige Stetigkeit.............................. . . , 54 1.6 Aufgaben zu Kapitel 1.................................. 62 2 Differenzier bare Funktionen.............................. 73 2.1 Klassen differenzierbarer Funktionen...................... 73 2.2 Mittelwertsätze ........................................ 97 2.3 Taylor-Polynome und Taylor-Reiben...................... 123 2.4 Anfangswertprobleme................................... 132 2.5 Aufgaben zu Kapitel 2.................................. 143 3 Integrierbare Funktionen................................. 155 3.1 Das Riemann-· Integral................................... 155 3.2 Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung ................... 165 3.3 lntegrationutechniken ................................... .1.8 ! 3.4 integrier barkeit und Unstetigkeit ......................... 196 3.5 Uneigentliche Integrale.................................. 205 З.Сі Aufgaben zu Kapitel 3................................... 220 4 Merkwürdige FYmktk>.i.m:o....... . . ,....................... 233 4.1 Cantor-Mengen ........................................ 233 4.2 Nullmengen und magere Mengen......................., . 238 4.3 Die Cantor-Funktion.................................... 245 4.4 Absolutstetige Funktionen............................... 255 xiv Inhalts Verzeichnis 4.5 Weitere bemerkenswerte Funktionen......................268 4.6 Aufgaben zu Kapitel 4..................................284 5 Funktionen mehrerer Variabler...........................295 5.1 Stetige Funktionen mehrerer Variabler....................295 5.2 Differenzier bare Funktionen mehrerer Variabler.............303 5.3 Extrema und Sattelpunkte...............................318 5.4 Exkurs: Metrische Räume ...............................330 5.5 Zwei fundamentale Sätze................................344 5.6 Aufgaben zu Kapitel 5..................................356 6 Höherdimensionale Integrale..............................367 6.1 Doppelintegrale und iterierte Integrele ....................367 6.2 Vektorfelder und Kurvenintegrale.........................388 6.3 Der Greensche Satz.....................................408 6.4 Noch einmal: Anfangswertprobleme .,..........,......... . 413 6.5 Aufgaben zu Kapitel 6..................................420 Anhang: Einige Ergänzungen .........., . . ,......... . ,........429 A.l Abbildungen...........................................429 A.2 Induktion............................................. 434 A.3 Bmomialkoeffizieiiten...................................438 A.4 Zahlenfolgen........................................... 441 A.5 Zahlenreihen...........................................446 A.6 Normen...............................................451 A.7 Matrizen..............................................454 Literaturverzeichnis ..........................................459 Symbolverzeichnis............................................461 Sachverzeichnis............................................... 465 analysis in Beispielen und Gegenbeispielen Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand derer шап die Bedeutung mathematischer Sätze besonders gut erkennen kann. In den ersten drei Kapiteln werden die weseatiicheü Ergeb¬ nisse über stetige, differenzierbare und integrier bare Funk¬ tionen zusammengestellt Das vierte Kapitel geht etwas übe¿ den üblichen Analysisstoff hinaus und ist „merkwürdigen Teilmengen der reellen Achse mid zugehörigen Funktionen gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünf¬ ten und sechsten Kapitel behandelt. Zum Verständnis des Buches genügt die Kenntnis einiger Grundbegriffe der Elementarmathematik (Mengen, Aus- sagen, Relationen, Funktionen, Induktion), wie sie in vi l ielen Einführungskursen im ersten Semester vermittelt werden. Uber die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein wei¬ teres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungs¬ aufgaben am Ende jedes Kapitels. Es ist daher auch sehr gut als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet,
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