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Analysis: 3

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Bibliographische Detailangaben
Beteiligte Personen:	Amann, Herbert 1938- (VerfasserIn), Escher, Joachim 1962- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Basel ; Boston ; Berlin Birkhäuser Verlag 2008
Ausgabe:	2. Aufl.
Schriftenreihe:	Grundstudium Mathematik
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ISBN:	9783764388836 9783764388843

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adam_text	Inhaltsverzeichnis Vorwort...................................... v Kapitel IX Elemente der Maßtheorie 1 Meßbare Räume .............................. 3 er-Algebren.................................. 3 Die Boreische σ- Algebra.......................... 5 Das zweite Abzählbarkeitsaxiom...................... 6 Erzeugung der Boreischen σ- Algebra durch Intervalle.......... 8 Basen topologischer Räume ........................ 10 Die Produkttopologie............................ 11 Produkte Borelscher σ -Algebren ...................... 12 Die Meßbarkeit von Schnitten....................... 14 2 Maße..................................... 17 Mengenfunktionen.............................. 17 Maßräume.................................. 18 Eigenschaften von Maßen.......................... 18 Nullmengen................................. 20 3 Äußere Maße................................ 24 Die Konstruktion äußerer Maße...................... 24 Das Lebesguesche äußere Maß....................... 25 Lebesgue-Stieltjessche äußere Maße.................... 28 Hausdorffsche äußere Maße......................... 29 4 Meßbare Mengen.............................. 32 Motivation.................................. 32 Die σ- Algebra der д*-теВЬагеп Mengen................. 33 Lebesguesche und Hausdorffsche Maße.................. 35 Metrische Maße............................... 36 5 Das Lebesguesche Maß........................... 41 Der Lebesguesche Maßraum........................ 41 Die Regularität des Lebesgueschen Maßes ................ 42 viii Inhalt Eine Charakterisierung Lebesgue meßbarer Mengen........... 45 Bilder Lebesgue meßbarer Mengen .................... 46 Die Translationsinvarianz des Lebesgueschen Maßes........... 48 Eine Charakterisierung des Lebesgueschen Maßes............ 49 Die Bewegungsinvarianz des Lebesgueschen Maßes............ 51 Der spezielle Transformationssatz..................... 53 Nicht Lebesgue meßbare Mengen..................... 55 Kapitel X Integrationstheorie 1 Meßbare Punktionen............................ 64 Einfache und meßbare Funktionen..................... 64 Ein Meßbarkeitskriterium ......................... 66 Meßbare numerische Funktionen...................... 69 Der Verband der meßbaren numerischen Funktionen........... 71 Punktweise Grenzwerte meßbarer Funktionen.............. 75 Radonmaße................................. 76 2 Integrierbare Funktionen.......................... 83 Das Integral für einfache Funktionen................... 83 Die jCi-Seminorm.............................. 85 Das Bochner-Lebesguesche Integral.................... 87 Die Vollständigkeit von L ......................... 90 Elementare Eigenschaften des Integrals.................. 91 Konvergenz in C .............................. 95 3 Konvergenzsätze .............................. 100 Integration nichtnegativer numerischer Funktionen ........... 100 Der Satz über die monotone Konvergenz................. 103 Das Lemma von Fatou........................... 104 Integration numerischer Funktionen.................... 107 Der Satz von Lebesgue........................... 107 Parameterintegrale............................. 110 4 Die Lebesgueschen Räume......................... 114 Wesentlich beschränkte Funktionen.................... 114 Die Höldersche und die Minkowskische Ungleichung........... 115 Die Vollständigkeit der Lebesgueschen Räume.............. 118 Ip-Räume.................................. 121 Stetige Funktionen mit kompaktem Träger................ 123 Einbettungen................................ 125 Stetige Linearformen auf Lp........................ 127 Inhalt ix 5 Das n-dimensionale Bochner-Lebesguesche Integral........... 133 Lebesguesche Maßräume.......................... 133 Das Lebesguesche Integral für absolut integrierbare Funktionen .... 135 Eine Charakterisierung Riemann integrierbarer Funktionen....... 138 6 Der Satz von Fubini............................. 143 Fast-überall definierte Abbildungen.................... 143 Das Cavalierische Prinzip.......................... 144 Anwendungen des Cavalierischen Prinzips ................ 147 Der Satz von Tonelli............................ 150 Der Satz von Fubini für skalaře Funktionen ............... 151 Der Satz von Fubini für vektorwertige Funktionen............ 154 Die Minkowskische Ungleichung für Integrale............... 159 Eine Charakterisierung von Lv(Rm+n,E)................. 164 Ein Spursatz................................. 165 7 Die Faltung................................. 169 Die Definition der Faltung......................... 169 Translationsgruppen ............................ 172 Elementare Eigenschaften der Faltung .................. 175 Approximative Einheiten.......................... 177 Testfunktionen................................ 179 Glatte Zerlegungen der Eins........................ 181 Faltungen ¿ -wertiger Funktionen..................... 184 Distributionen................................ 184 Lineare Differentialoperatoren....................... 188 Schwache Ableitungen ........................... 192 8 Der Transformationssatz.......................... 198 Inverse Bilder des Lebesgueschen Maßes................. 198 Der allgemeine Transformationssatz.................... 202 Ebene Polarkoordinaten.......................... 204 n-dimensionale Polarkoordinaten..................... 205 Integration rotationssymmetrischer Funktionen ............. 209 Der Transformationssatz für vektorwertige Funktionen......... 210 9 Die Fouriertransformation......................... 213 Definition und elementare Eigenschaften................. 213 Der Raum der schnell fallenden Funktionen ............... 215 Die Faltungsalgebra <S ........................... 218 Rechenregeln................................. 219 Der Fouriersche Integralsatz........................ 223 Faltungen und Föuriertransformationen.................. 225 Fouriermultiplikationsoperatoren ..................... 228 Der Satz von Plancherei.......................... 231 x Inhalt Symmetrische Operatoren......................... 233 Die Heisenbergsche Unschärferelation................... 234 Kapitel XI Mannigfaltigkeiten und Differentialformen 1 Untermannigfaltigkeiten.......................... 243 Definitionen und elementare Eigenschaften................ 243 Submersionen................................ 250 Berandete Untermannigfaltigkeiten.................... 255 Lokale Karten................................ 258 Tangenten und Normalen.......................... 260 Der Satz vom regulären Wert ....................... 261 Eindimensionale Mannigfaltigkeiten.................... 265 Zerlegungen der Eins............................ 265 2 Multilineare Algebra............................ 269 Äußere Produkte.............................. 269 Rücktransformationen ........................... 276 Das Volumenelement............................ 278 Der Rieszsche Isomorphismus....................... 280 Der Hodgesche Sternoperator....................... 282 Indefinite innere Produkte......................... 286 Tensoren................................... 290 3 Die lokale Theorie der Differentialformen................. 294 Definitionen und Basisdarstellungen.................... 294 Rücktransformationen ........................... 298 Die äußere Ableitung............................ 302 Das Lemma von Poincaré .......................... 305 Tensoren................................... 309 4 Vektorfelder und Differentialformen.................... 314 Vektorfelder................................. 314 Lokale Basisdarstellungen ......................... 317 Differentialformen.............................. 318 Lokale Darstellungen............................ 321 Koordinatentransformationen....................... 327 Die äußere Ableitung............................ 329 Geschlossene und exakte Formen ..................... 332 Kontraktionen................................ 332 Orientierbarkeit............................... 335 Tensorfelder................................. 341 Inhalt xi 5 Riemannsche Metriken........................... 344 Das Volumenelement............................ 344 Riemannsche Mannigfaltigkeiten...................... 349 Der Sternoperator.............................. 360 Die Koableitung............................... 362 6 Vektoranalysis ................................ 370 Der Rieszsche Isomorphismus....................... 370 Der Gradient ................................ 373 Die Divergenz................................ 375 Der Laplace-Beltrami Operator...................... 379 Die Rotation................................. 384 Die Lie- Ableitung.............................. 387 Der Hodge-Laplace Operator........................ 392 Das Vektorprodukt und die Rotation................... 394 Kapitel XII Integration auf Mannigfaltigkeiten 1 Volumenmaße................................ 403 Die Lebesguesche σ- Algebra von M .................... 403 Die Definition des Volumenmaßes..................... 404 Eigenschaften................................ 409 Integrierbarkeit............................... 410 Berechnung einiger Volumina ....................... 413 2 Integration von Differentialformen .................... 419 Integrale von m-Formen.......................... 419 Restriktionen auf Untermannigfaltigkeiten................ 421 Der Transformationssatz.......................... 426 Der Satz von Fubini............................. 427 Berechnung einiger Integrale........................ 431 Flüsse von Vektorfeldern.......................... 434 Das Transporttheorem........................... 438 3 Der Satz von Stokes ............................ 442 Der Stokessche Satz für glatte Mannigfaltigkeiten............ 442 Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten................... 444 Der Stokessche Satz mit Singularitäten.................. 448 Ebene Gebiete................................ 452 Höherdimensionale Probleme........................ 454 Homotopieinvarianz und Anwendungen.................. 455 Der Gaußsche Integralsatz......................... 459 Die Greenschen Formeln.......................... 460 Der klassische Stokessche Satz....................... 462 Der Sternoperator und die Koableitung.................. 464 xii Inhalt Literaturverzeichnis...............................469 Index.......................................471
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Signatur:	0102 MAT 260f 2001 A 6077-3(2) Lageplan
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