Verfügbarkeit: L' isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld

L' isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld:

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Beteiligte Personen:	Fargues, Laurent (VerfasserIn), Genestier, Alain (VerfasserIn), Lafforgue, Vincent (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Französisch
Veröffentlicht:	Basel [u.a.] Birkhäuser 2008
Schriftenreihe:	Progress in mathematics 262
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adam_text	Table des matières Préambule .................................... xv Bibliographie ................................. xxi I L isomorphisme entre les tours de Lubin- Tate et de Drinfeld et applications cohomologiques par Laurent Fargues Introduction ................................... 3 I Décomposition cellulaire de la tour de Lubin- Tate 1.1 Hypothèses et notations ........................ 10 1.1.1 Espaces ............................ 11 1.1.2 Action ............................. 12 1.1.3 Scindage de l espace de Rapoport-Zink ........... 12 1.1.4 Donnée de descente de Rapoport-Zink ........... 12 1.1.5 Polygone de Newton des points de torsion ......... 13 1.2 Application des périodes ....................... 15 1.2.1 Définition ........................... 15 1.2.2 Interprétation en termes du cristal 0-extension vectorielle universelle ..................... 17 1.2.3 La donnée de descente sur l espace des périodes ...... 18 1.2.4 Formules explicites pour l application des périodes et applications ........................ 18 1.3 Domaine fondamental de Laf aille/ Gross-Hopkins.......... 21 1.3.1 Lien entre le domaine fondamental et les points CM ... 26 1.4 Généralisation d un théorème de Gross-Hopkins.......... 26 1.5 L espace des paramètres de la décomposition cellulaire ...... 30 1.6 Les cellules rigides en niveau fini ................... 31 1.6.1 Digression philosophique ................... 31 1.6.2 Structures de niveau ..................... 31 vi Table des matières 1.6.3 Fonctorialité de Hecke des Μα,κ ............. 32 1.6.4 Les cellules .......................... 34 1.6.5 Bord des cellules ....................... 35 1.6.6 Donnée de recollement .................... 36 1.6.7 Réécriture en termes des arrêtes orientées de l immeuble . 37 1.7 Décomposition cellulaire des espaces rigides en niveau fini ..... 37 1.8 Modèles entiers des cellules ...................... 39 1.8.1 Niveau fini .......................... 39 1.8.2 Niveau infini ......................... 44 1.8.3 Donnée de descente ..................... 45 1.9 Le schéma formel recollé en niveau fini ............... 45 1.10 Le schéma formel en niveau infini .................. 46 1.11 Décomposition cellulaire écrasée en niveau fini ........... 47 1.12 Une autre décomposition cellulaire .................. 48 A Normalisé d un schéma formel dans une extension de sa fibre générique A.l Généralités sur les espaces rigides .................. 49 A. 2 Schémas formels normaux ...................... 51 A.3 Normalisé dans une extension de la fibre générique ......... 52 В Modules de Dieudonné et cristaux des O-modules тг -divisibles B.l Un lemme sur les F-cristaux O-équivariants............ 54 B.2 Structure du cristal de Messing d un O-module π -divisible .... 56 B.3 О -extension vectorielle universelle d un O-module тг -divisible ... 56 B.4 Cristal de Messing généralisé et théorie de la déformation ..... 59 B.5 Exponentielle тг -adique ........................ 60 B.5.1 O-puissances divisées ([17] section 10, [11] section 7) . . 60 B.5.2 Logarithme .......................... 61 B.5.3 Exponentielle ......................... 63 B.6 Extension du cristal de Messing généralisé aux О -puissances divisées ......................... 66 B.7 Théorie de la déformation des O-modules π -divisibles ....... 69 B.8 Théorie de Dieudonné classique des О -modules TT-divisibles ........................ 69 Bibliographie ................................... 71 Table des matières vii II L isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau des points ILI Suite de Hodge-Tate des groupes p-divisibles dans le cas infiniment ramifié ................................. 77 II. 1.1 Décomposition de Hodge-Tate d un O-module π -divisible ........................... 80 11.2 Propriétés particulières de l application de Hodge-Tate pour les groupes p-ái visibles formels de dimension 1............. 81 11.2.1 Les périodes de Hodge-Tate vivent dans l espace de Drinfeld .......................... 81 11.2.2 Raffinement, d après Faltings ................ 82 11. 2.3 Formule exacte ........................ 84 11.3 Notations concernant les espaces de Lubin-Tate et de Drinfeld . . 85 11.3.1 Modules de Dieudonné .................... 86 11.3.2 Notations concernant les espaces de Lubin-Tate ...... 86 11.3.3 Notations concernant les espaces de Drinfeld ....... 87 11.3.4 Quelques rappels sur Drinfeld classique .......... 88 11.4 Description de M.^ (K) / ^ en termes de modules filtrés ..... 90 11.5 Description de M.Vr(K)/~ en termes de module filtré ....... 91 11.6 Prolongement des isogénies ...................... 92 11.6.1 Prolongement ......................... 92 11.6.2 Définition de l action de GLn{F) sur М£?(К) ...... 92 11.7 Diverses descriptions des points de la tour de Lubin-Tate en niveau infini ............................ 93 11.7.1 Description de M^{K) en termes de modules filtrés rigidifiés ........................ 93 11.7.2 Description de M%f{K) uniquement en termes du module de Tate ...................... 94 11.7.3 Description de Л4^(К) en termes d algèbre linéaire ... 95 11.8 Diverses descriptions des points de la tour de Drinfeld en niveau infini ............................ 96 11.8.1 Description de M^T(K) en termes de modules filtrés rigidifiés ........................ 96 11.8.2 Description de M^{K) uniquement en termes du module de Tate ...................... 97 11.8.3 Description de M^{K) en termes d algèbre linéaire ... 98 11. 9 La bijection au niveau des points .................. 98 11.9.1 L application M^{K) —► M%?{K) ........... 100 11.9.2 L application M%f(K) —-> Mgr(K) ........... 101 11.9.3 Les deux applications sont inverses l une de l autre .... 103 11.9.4 Retraçage des actions .................... 103 viii Table des matières II. 9.5 Bijection entre les points des espaces de Berkovich associés .................... 103 11.10 Traduction en termes de matrices de périodes ........... 104 11.11 Ľisomorphisme conserve le degré .................. 107 11.12 Un point de vue différent sur la bijection .............. 109 11.12.1 Identification de Kn -» Kn/FilH avec l application de Hodge-Tate de GD .................... 110 11.12.2 Identification de Kn -» Кп/¥і а avec l application de Hodge-Tate de HD .................... 111 11.12.3 L application M^{K) —> M%f(K) ........... 112 11.12.4 L application M%?(K) —> M^{K) ........... 115 11.12.5 Les deux applications sont inverses l une de l autre .... 116 С Périodes entières des groupes p-divisibles Cl Groupes p-divisibles sur les anneaux d entiers de corps non-archimédiens ........................... 118 C.2 Théorèmes de comparaison ...................... 119 C.2.1 Le déterminant des périodes divisé par 2ίπ est une unité p-adique ...................... 121 Bibliographie ................................... 130 III L isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld : démonstration du résultat principal 111.1 La bestiole du côté Drinfeld ^ ..................... 139 111. 2 Construction du morphisme X^, —> Ω............... 142 ΙΠ.2.1 Définition de l application de Hodge-Tate sur une cellule de Sioo .................... 142 111. 2.2 Rappels de quelques résultats de [9] sur l application de Hodge-Tate dans le cas d un point ........... 144 111. 2.3 Quelques rappels sur le schéma formel de Deligne-Drinfeld ...................... 145 111. 2.4 Sur le conoyau de l application de Hodge-Tate ...... 150 111. 2.5 Éclatement de la cellule et construction du morphisme de la cellule éclatée vers Ω .................. 151 111. 2.6 Recollement des morphismes sur les cellules ........ 153 111. 3 Construction du morphisme X^ —> Уса .............. 157 111. 3.1 Etude des normalisés de Ω dans la tour de Drinfeld .... 157 111. 3.2 Définition modulaire de У^ ................. 160 111. 3.3 Sur la suite de Hodge-Tate en niveau infini ........ 161 111. 3.4 Construction d éléments dans le module de Tate^ du 0£>-module formel spécial tiré en arrière sur Хж . . . 163 111. 3.5 Construction du morphisme ................. 166 Table des matières ix 111. 3.6 Un remède au canular .................... 168 111. 3.7 Construction du morphisme ................. 170 ΙΠ.4 Construction du morphisme Уоо —> Ρ 1 ............. 171 ΙΠ.4.1 Applications de Hodge-Tate ................. 172 111. 4.2 Éclatements et conoyau de l application de Hodge-Tate . 173 111.4.3 Construction du morphisme Уоо —> P(D(H)) ....... 175 111. 5 Relèvement du morphisme Уоо —► P™~1 vers une cellule de l espace de Lub in-Tate ................ 177 111. 5.1 Eclatement équivariant de l espace projectif formel .... 177 111. 5.2 Tiré en arrière de l éclatement de l espace projectif vers Уоо ............................ 178 Ш.5.3 Relèvement vers la cellule .................. 179 111. 6 Construction du morphisme Уоо —> ЗЄоо.............. 179 111. 6.1 Caractérisation modulaire de Xx .............. 179 111.6.2 Sur la suite de Hodge-Tate en niveau infini ........ 181 111. 6.3 Construction d éléments dans le module de Tate du groupe de Lubin- Tate universel tiré en arrière sur Ух, ...... 181 111. 6.4 Construction du morphisme de ýoo vers ЗЄоо ....... 184 111. 7 Construction de l isomorphisme ................... 185 111. 7.1 De nouveaux éclatements .................. 186 111. 7.2 Retour aux suites de Hodge-Tate en niveau infini ..... 188 III. 7.3 Démonstration du théorème principal ........... 190 D Compléments sur les schémas formels Tr-adiques D.l Quelques lemmes d algèbre тг -adique ................. 193 D.2 Rappels sur les schémas formels тг -adiques ............. 194 D.3 Morphismes affines .......................... 194 D.4 Limite projective dans la catégorie des schémas formels тг -adiques 195 D.5 Normalisation dans la fibre générique ................ 195 D.6 Commutation de la normalisation dans la fibre générique et du passage à la limite projective ............ 197 D. 7 Eclatements formels admissibles ................... 198 D.7.1 Définition et premières propriétés .............. 198 D.7.2 Adhérence schématique de la fibre générique ...... 199 D.7.3 Transformée stricte ...................... 200 D.7.4 Commutation à la limite projective ............. 201 Bibliographie ................................... 201 x Table des matières IV Comparaison de la cohomologie des deux tours IV. 1 Schémas formels Tr-adiques ...................... 211 IV. 1.1 Rappels sur les schémas formels Tr-adiques ......... 212 IV. 1.2 Morphismes topologiquement de type fini ......... 212 IV.1.3 Morphismes topologiquement de présentation finie .... 213 IV. 1.4 Morphismes affines ...................... 213 IV. 1.5 Morphismes finis ....................... 214 IV. 1.6 Morphismes topologiquement plats ............. 214 IV. 1.7 Limite projective dans la catégorie des schémas formels Tr-adiques ....................... 215 IV.1.8 Adhérence schématique de la fibre générique ...... 215 IV. 1.9 Eclatements formels admissibles .............. 217 IV. 2 La topologie des ouverts admissibles ................. 220 IV. 2.1 La catégorie des ouverts admissibles ............ 220 IV.2.2 La topologie et le topos admissible ............. 221 IV.2.3 Le topos admissible ..................... 222 IV.2.4 Topos limite projective contre topos total ......... 223 IV. 2.5 Fonctorialité de la topologie et du topos admissible .... 225 IV. 2.6 Commutation des topos admissibles à la limite projective ....................... 226 IV. 3 Le point de vue spectral sur la topologie admissible ........ 231 IV.3.1 Rappels sur les espaces spectraux .............. 231 IV.3.2 Prétopologie quasicompacte sur les espaces spectraux et passage à la limite projective ............... 231 IV.3.3 Application au topos admissible .............. 233 IV. 3.4 Description de l espace ΧτΐΒ comme espace de Zariski- Riemann : le point de vue de Huber et Fujiwara ..... 233 IV. 3.5 Ouverts surconvergents et espace analytique deBerkovich ......................... 238 IV.4 Étude des morphismes finis localement libres ............ 239 IV.4.1 Morphismes finis localement libres ............. 239 IV.4.2 Morphismes finis localement libres rig-étales ........ 241 IV.4.3 Rigidité ............................ 243 IV. 4.4 Décomplétion des schémas formels finis localement libres rig-étales ........................ 246 IV. 5 Étude d une certaine catégorie de morphismes rig-étales ...... 249 IV.5.1 Définitions .......................... 249 IV. 5.2 Les morphismes de type (£) engendrent la topologie étale des espaces rigides usuels ............... 250 IV.5.3 Rigidité ............................ 251 IV.5.4 Décomplétion ......................... 251 Table des matières x¡ IV.6 Le topos rig-étale d un schéma formel π -adique quasicompact . . . 252 IV. 6.1 Sur un point concernant les topologies de Grothendieck ....................... 252 IV.6. 2 Définitions .......................... 253 IV.6.3 Lien entre les sites Xg_rig_ét et jtr¡g_ét pour X admissible ...................... 254 IV. 6.4 Le théorème principal sur la décomplétion des topos rig-étales ...................... 255 IV. 7 Le topos rig-étale d un schéma formel тг -adique non-quasicompact ........................... 257 IV.7.1 Le topos ............................ 257 IV.7.2 Cycles evanescente ...................... 259 IV. 7.3 Cohomologie à support compact .............. 259 IV. 8 Le formalisme des faisceaux èqui variants lisses ........... 259 IV.8.1 Hypothèses .......................... 259 IV.8.2 G-faisceaux lisses ....................... 260 IV. 8.3 Les différentes opérations reliant G-faisceaux, G-faisceaux lisses et faisceaux ................ 261 IV.8.4 Les G-faisceaux lisses forment un topos .......... 266 IV. 8.5 Le théorème d acyclicité ................... 266 IV.8.6 Faisceaux lisses sur une tour formée par un pro-torseur .......................... 270 IV.9 Cohomologie à support compact équivariante-lisse des espaces analytiques de Berkovich ................... 274 IV.9.1 Rappels sur les faisceaux mous sur le site étale ...... 274 IV.9. 2 Les quatre suites spectrales de cohomologie de Cech per¬ mettant de calculer la cohomologie à support compact . . 276 IV.9.3 Ouverts distingués ...................... 278 IV.9.4 Les sites quasi-étales, quasi-étales compacts et étales . . . 281 IV.9.5 Faisceaux équivariants lisses ................. 282 IV.9. 6 Résolutions molles de Godement-Berkovich ........ 285 IV.9. 7 Le complexe de cohomologie à support compact équivariant lisse ....................... 287 IV. 9.8 Le complexe de cohomologie équivariant lisse à support dans un domaine analytique compact ........... 287 IV. 9.9 Les opérations d induction/restriction pour les faisceaux équivariants lisses ...................... 289 IV.9. 10 Les quatre résolutions/suites spectrales permettant de calculer la cohomologie à support compact équivariante lisse ....................... 293 xii Table des matières IV. 10 Cohomologie à support compact équivariante-lisse des espaces rigides généralisés .................... 295 IV. 11 Cohomologie à support compact équivariante- lisse des tours d espaces analytiques ................. 301 IV. 11.1 Hypothèses et notations ................... 301 IV. 11.2 Faisceaux de Hecke sur la tour ............... 302 IV. 11.3 Le complexe de cohomologie à support compact de la tour ........................... 305 IV. 11.4 Objets cartésiens sur la tour et domaine fondamental pour l action des correspondances de Hecke........ 306 IV. 11.5 Faisceaux cartésiens sur la tour et espaces de périodes . . 312 IV. 11.6 Résolution de Cech de la cohomologie de la tour par la cohomologie des cellules ............... 315 IV. 11.7 Rajout d une donnée de descente .............. 315 IV. 12 Faisceaux de Hecke cartésiens et faisceaux rigides équivariants en niveau infini ............................ 316 IV. 12.1 Faisceaux lisses sur une tour ................ 316 IV.12.2 Principaux résultats ..................... 317 IV.13 Application aux tours de Lubin- Tate et de Drinfeld ........ 319 IV. 13.1 La correspondance de Jacquet-Langlands locale géométrique ...................... 319 IV. 13.2 Comparaison des complexes de cohomologie des deux tours ........................ 320 Bibliographie ................................... 321 Index ....................................... 323 II L isomorphisme des deux tours Une autre approche en égales caractéristiques par Alain Genestier et Vincent Lafforgue Introduction ...................................329 I Rappels sur les deux tours et énoncé du théorème 1.1 Notations ................................ 331 1.2 О et ÖD-modules formels ....................... 332 1.3 Tour de Lubin-Tate .......................... 333 1.4 Tour de Drinfeld ............................ 335 1.5 Enoncé du théorème .......................... 337 Table des matières xiii II Théorèmes de représentabilité explicites 11. 1 Modules de coordonnées ....................... 341 11.2 Côté Lubin-Tate ............................ 343 11.2.1 Structures de niveau ..................... 345 11.2.2 Action du groupe GLd(K) χ Dx et de la donnée de descente .......................... 346 11.3 CôtéDrinfeld ............................. 348 11.3.1 Structures de niveau ..................... 359 11. 3.2 Action du groupe GL<j(iT) x Dx et de la donnée de descente .......................... 361 11.3.3 Le recouvrement mentionné en 1.5, associé aux Simplexes de l immeuble de Bruhat-Tits de FGLd(K) ........ 363 III Tour de Lubin-Tate et domaines fondamentaux III. 1 Décomposition cellulaire de la tour ................. 365 III. 2 Le domaine fondamental ....................... 369 IV Réduction aux domaines fondamentaux IV. 1 Enoncé du théorème .......................... 371 IV.2 Unicité de ψρ -tQd et de ses localisés, équivariance et recollement ............................. 373 V Démonstration du théorème IV. 1.1 V.l L anneau intermédiaire ........................ 379 V.l.l Etude de Aim ........................ 380 V.1.2 Intermède : le déterminant de Moore............ 381 V.1.3 Fin de l étude de AXnt .................... 382 V.2 Produit ................................. 383 V.2.1 Le produit côté Lubin-Tate ................. 383 V.2.2 Le produit côté Drinfeld ................... 385 V.3 Décomposition ............................. 387 V.3.1 Lemmes techniques ...................... 390 V.3. 2 Décomposition côté Lubin-Tate ............... 394 V.3.3 Décomposition côté Drinfeld ................ 399 V.4 Déterminants et structure de Õ-algèbre sur AInt .......... 403 V.5 Démonstration de IV.l. 1.2...................... 405 Bibliographie ................................... 405
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Signatur:	0102 MAT 144f 2012 A 4658 Lageplan
Exemplar 1	Ausleihbar Am Standort