Statistische Genauigkeit bei der simultanen Schätzung von Abhängigkeitsstrukturen und Ausfallwahrscheinlichkeiten in Kreditportfolios:
Gespeichert in:
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| Format: | Hochschulschrift/Dissertation Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Aachen
Shaker Verl.
2007
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| Schriftenreihe: | Berichte aus der Statistik
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Datensatz im Suchindex
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort und Danksagung v
Abbildungsverzeichnis xi
Tabellenverzeichnis xiii
Abkttrzungs- und Symbolverzeichnis xv
1 Einleitung 1
1.1 Zielsetzung und Abgrenzung.......................... 1
1.2 Aufbau ..................................... 3
2 Verteilung des Kreditportfolioverlustes 5
2.1 Definition des Kreditportfolioverlustes..................... 5
2.1.1 Definition des Ausfallereignisses.................... 8
2.1.2 Forderungshöhe bei Ausfall...................... 9
2.1.3 Verlustquote bei Ausfall........................ 9
2.1.4 Multivariate Verteilung der Ausfallvariablen.............. 10
2.2 Ausfallwahrscheinlichkeit ........................... 11
2.3 Korrelation der Ausfallindikatoren....................... 14
2.3.1 Korrelationskoeffizient und Alternativen................ 14
2.3.2 Ausfallkorrelation ........................... 16
2.4 Eigenschaften und Maßzahlen der Verlustverteilung.............. 18
2.5 Einfluss der Abhängigkeitsstruktur auf die Verlustverteilung......... 23
2.5.1 Stochastische Unabhängigkeit..................... 24
2.5.2 Abhängigkeit im Querschnitt...................... 26
2.5.3 Abhängigkeit im Quer- und Längsschnitt............... 28
3 BernoulH-Mischungsmodell 31
3.1 Allgemeines BernoulH-Mischungsmodell mit einer Bonitätsklasse...... 34
Inhaltsverzeichnis
3.1.1 Verteilung der Ausfallindikatoren................... 35
3.1.2 Abhängigkeitsstruktur der Ausfallindikatoren............. 36
3.1.3 Verteilung der Anzahl der Ausfälle................... 37
3.1.4 Verlustverteilung............................ 38
3.2 Allgemeines Bernoulli-Mischungsmodell mit mehreren Bonitätsklassen ... 39
3.2.1 Verteilung der Ausfallindikatoren................... 40
3.2.2 Abhängigkeitsstruktur der Ausfallindikatoren............. 40
3.2.3 Verteilung der Anzahl der Ausfälle in den Bonitätsklassen...... 42
3.2.4 Verlustverteilung............................ 44
3.3 Beta-Binomialmodell für homogene Portfolios................. 45
3.3.1 Modellannahmen............................ 46
3.3.2 Bedingte und unbedingte Ausfallkorrelation.............. 46
3.3.3 Beta-Binomialverteilung........................ 49
3.4 Multivariates Probit-Normalmodell für inhomogene Portfolios........ 51
3.4.1 Definition und Eigenschaften der Probit-Normalverteilung...... 51
3.4.2 Exkurs: Die Copula........................... 52
3.4.3 Multivariate Probit-Normalverteilung mit Normal-Copula...... 54
3.4.4 Korrelationen im multivariaten Probit-Normalmodell......... 59
3.5 Faktormodell als Spezialfall des allgemeinen Bernoulli-Mischungsmodells . . 61
4 Simultane Parameterschätzung im allgemeinen Bernoulli-Mischungsmodell 65
4.1 Begriffsdefinitionen und Annahmen...................... 65
4.1.1 Begriffsdefinitionen .......................... 66
4.1.2 Annahmen............................... 69
4.2 Parameterschätzung für eine Bonitätsklasse.................. 7I
4.2.1 Punkt-und Intervallschätzer nach der Momentenmethode....... 71
4.2.2 Punkt- und Intervallschätzer nach der Maximum-Likelihood-Methode 84
4.3 Parameterschätzung im Portfoliomodell mit mehreren Bonitätsklassen .... 89
4.3.1 Punkt-und Intervallschätzer nach der Momentenmethode....... 90
4.3.2 Punkt-und Intervallschätzer nach der Maximum-Likelihood-Methode 124
4.4 Implikationen für die Messung von Kreditrisiken............... 133
4.4.1 Vergleich der Punktschätzer...................... 133
4.4.2 Diskussion der Intervallschätzer.................... 136
4.4.3 Punkt- und Intervallschätzer der Eigenkapitalanforderung nach Basel II 140
vm
Inhaltsverzeichnis
5 Parameterschätzung im Beta-Binomialmodell 147
5.1 Schätzer nach der Momentenmethode..................... 147
5.2 Schätzer nach der Maximum-Likelihood-Methode............... 149
5.2.1 Log-Likelihood-Funktion ....................... 149
5.2.2 Informationsmatrix für eine Beobachtung............... 150
5.3 Vergleich der Schätzmethoden am Datensatz.................. 152
5.3.1 Verteilungen der Punktschätzer..................... 154
5.3.2 Güteeigenschaften der Punktschätzer ................. 158
5.3.3 Vergleich der Konfidenzintervalle und -regionen ........... 160
5.3.4 Varianzen der asymptotischen Normalverteilungen.......... 167
5.3.5 Asymptotische relative Effizienz.................... 170
5.3.6 Punkt- und Intervallschätzer der Eigenkapitalanforderung nach Basel II 171
5.3.7 Auswirkungen der Schätzfehler auf ökonomisches Kapital und Expec-
tedShortfall............................... 173
6 Parameterschätzung im multivariaten Probit-Normalmodell 179
6.1 Schätzer nach der Momentenmethode..................... 180
6.1.1 Punktschätzer.............................. 180
6.1.2 Asymptotische Konfidenzintervalle und-regionen........... 181
6.2 Punkt-und Intervallschätzer nach der Maximum-Likelihood-Methode .... 184
6.2.1 Approximation der Log-Likelihood-Funktion............. 185
6.2.2 IFM-Methode.............................. 188
6.2.3 Transformationsmethode........................ 194
6.3 Vergleich der Schätzmethoden am Datensatz.................. 199
6.3.1 Simuliertes synthetisches Portfolio................... 199
6.3.2 Verlustverteilung und Verteilung der Ausfallquote........... 202
6.3.3 Betrachtete Schätzmethoden...................... 205
6.3.4 Verteilungen der Punktschätzer..................... 206
6.3.5 Relative Quadratwurzelfehler der Punktschätzer............ 211
6.3.6 Vergleich der Konfidenzintervalle und-regionen ........... 213
7 Zusammenfassung und Ausblick 225
7.1 Modell...................................... 225
7.2 Ergebnisse und Anwendungen......................... 226
7.3 Verifikation durch Simulation.......................... 227
Inhaltsverzeichnis
7.3.1 Beta-Binomialmodell für homogene Portfolios............ 227
7.3.2 Multivariates Probit-Normalmodell für inhomogene Portfolios .... 228
7.4 Erweiterungen und Ausblick.......................... 230
Literaturverzeichnis 233
Abbildungsverzeichnis
2.1 Schranken für die Korrelation Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen...... 18
2.2 Verlustverteilung bei stochastischer Unabhängigkeit.............. 25
2.3 Verlustverteilung im Ein-Faktormodell bei Unabhängigkeit im Längsschnitt . 27
2.4 Verteilung des durchschnittlichen Verlustes im Ein-Faktormodell bei Abhängig-
keit im Längsschnitt............................... 29
3.1 Bedingte Ausfallkorrelation und -Wahrscheinlichkeit im Beta-Binomialmodell 48
3.2 Innerklassen-Ausfallkorrelation im multivariaten Probit-Normalmodell .... 57
3.3 Interklassen-Ausfallkorrelation im multivariaten Probit-Normalmodell .... 60
4.1 Schätzintervalle für Bonitätskorrelation und Eigenkapitalanforderung nach Ba-
sel II ....................................... 145
5.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen ausgewählter Beta-Binomialverteilungen . . . 153
5.2 Verteilungen der Ml-Schätzer im Beta-Binomialmodell............ 155
5.3 Vergleich der Schätzwerte nach ML- und Momentenmethode im Beta-Bino-
mialmodell ................................... 156
5.4 Normal-P-P-Diagramme für die Verteilungen der Schätzer im Beta-Binomi-
almodell ..................................... 159
5.5 Vergleich der Schätzintervalle für p im Beta-Binomialmodell......... 161
5.6 Vergleich der Schätzintervalle für g im Beta-Binomialmodell......... 162
5.7 Relative Überdeckungshäufigkeit der auf den Ml-Schätzern beruhenden Schätz-
regionen im Beta-Binomialmodell ....................... 165
5.8 Relative Überdeckungshäufigkeit der auf den ML-Schätzern beruhenden Schätz-
regionen im Beta-Binomialmodell....................... 166
5.9 Relative Überdeckungshäufigkeit der auf dem LV beruhenden Schätzregionen
im Beta-Binomialmodell............................ 166
5.10 Verteilungen der geschätzten Varianzen der asymptotischen Normal Verteilun-
gen im Beta-Binomialmodell.......................... 169
Abbildungsverzeichnis
5.11 Asymptotische relative Effizienz der Ml- bzgl. der ML-Schätzer im Beta-
BinomiahnodeH................................. 170
5.12 Schätzintervalle für die Eigenkapitalanforderung nach Basel II im Beta-Bino-
mialmodell ................................... 172
5.13 Verteilungen der Schätzer für ökonomisches Kapital und Expected Shortfall
im Beta-Binomialmodell............................ 175
6.1 Dichtefunktionen der stochastischen Ausfallwahrscheinlichkeiten im multiva-
riaten Probit-Normalmodell........................... 201
6.2 Simulierte Verteilung der Ausfallquote und Approximation durch eine Probit-
Normalverteilung ................................ 204
6.3 Approximationsgüte der Probit-Normalverteilung...............205
6.4 Verteilungen der M3- und IFM-Schätzer für p3 und 73 im multivariaten Probit-
Normalmodell ..................................207
6.5 Verteilungen der Schätzer für qcu und $j7 nach M3- und TF-Methode im mul-
tivariaten Probit-Normalmodell.........................208
6.6 Quantile der Verteilungen der Schätzer für q s mit s = 1,2,..., R im multi-
variaten Probit-Normalmodell .........................209
6.7 Relative Quantile der Verteilungen der Schätzer für pr und yr im multivariaten
Probit-Normalmodell.............................. 210
6.8 Geschätzte relative Quadratwurzelfehler der Schätzer für pT und -yr im multi-
variaten Probit-Normalmodell .........................212
6.9 Auf den Momentenschätzern beruhende Schätzintervalle für p3 im multivaria-
ten Probit-Normalmodell............................ 214
6.10 Normal-P-P-Diagramme für die Verteilungen der Momentenschätzer für pr im
multivariaten Probit-Normalmodell.......................217
6.11 Simulierte bivariate Verteilungen der Momentenschätzer der erwarteten Aus-
fallwahrscheinlichkeiten im multivariaten Probit-Normalmodell .......218
6.12 Relative Überdeckungshäufigkeit der auf den Ml-Schätzern beruhenden Schätz-
regionen für (pb,76) im multivariaten Probit-Normalmodell.......... 220
6.13 Relative Überdeckungshäufigkeit der auf den Transformationsschätzern beru-
henden Schätzregionen für (p3,73) im multivariaten Probit-Normalmodell . . 220
6.14 Auf den Transformationsschätzern beruhende Schätzintervalle für 73 im mul-
tivariaten Probit-Normalmodell.........................222
Tabellenverzeichnis
2.1 Zweidimensionale Verteilung Bernoulli-verteilter Ausfallvariablen...... 16
2.2 Maßzahlen der Verlustverteilungen und deren approximierender Normalver-
teilungen in drei Abhängigkeitsszenarien.................... 26
4.1 Vergleich der Güteeigenschaften der Punktschätzer im allgemeinen Bernoulli-
Mischungsmodell................................ 134
5.1 Ausgewählte Quantile der Verteilungen der ML- und Momentenschätzer im
Beta-Binomialmodell.............................. 157
5.2 Geschätzte relative Quadratwurzelfehler der Schätzer im Beta-Binomialmodell 159
5.3 Werte der Lilliefors-Teststatistiken für die Verteilungen der Schätzer im Beta-
Binomialmodell ................................. 160
5.4 Relative Überdeckungshäufigkeit der Schätzintervalle im Beta-Binomialmodell 163
5.5 Mittlere Breite der Schätzintervalle im Beta-Binomialmodell......... 164
5.6 Relative Überdeckungshäufigkeit des Punktes (p, g) durch die Schätzregionen
im Beta-Binomialmodell............................ 167
5.7 Asymptotische Normalverteilungen im Beta-Binomialmodell......... 168
5.8 Relative Überdeckungshäufigkeit und mittlere Breite der Schätzintervalle für
die Eigenkapitalanforderung nach Basel II im Beta-Binomialmodell..... 173
5.9 Ausgewählte Quantile der Verteilungen der Schätzer für ökonomisches Kapi-
tal und Expected Shortfall im Beta-Binomialmodell .............. 176
5.10 Geschätzte relative Quadratwurzelfehler der Schätzer für ökonomisches Ka-
pital und Expected Shortfall im Beta-Binomialmodell............. 177
6.1 Parameter im simulierten multivariaten Probit-Normalmodeil......... 200
6.2 Ausfallkorrelationen im multivariaten Probit-Normalmodell ......... 202
6.3 Auf der Matrixnorm basierende geschätzte relative Quadratwurzelfehler der
Schätzer für Rc im multivariaten Probit-Normalmodell............ 214
xui
Tabellenverzeichnis
6.4 Mittlere Breite der auf den Momentenschätzern beruhenden Schätzintervalle
für pr im multivariaten Probit-Normalmodell .................215
6.5 Relative Überdeckungshäufigkeit der auf den Momentenschätzern beruhenden
Schätzintervalle für pr im multivariaten Probit-Normalmodell.........216
6.6 Relative Überdeckungshäufigkeit der auf den Momentenschätzern beruhenden
Schätzregionen für p im multivariaten Probit-Norrnalmodell.........219
6.7 Relative Überdeckungshäufigkeit der auf den Transformationsschätzern beru-
henden Schätzregionen für (pr,7r) im multivariaten Probit-Normalmodell . . 221
6.8 Mittlere Breite der auf den Transformationsschätzern beruhenden Schätzinter-
valle für 7r im multivariaten Probit-Normalmodell...............223
6.9 Relative Überdeckungshäufigkeit der auf den Transformationsschätzern beru-
henden Schätzintervalle für 7r im multivariaten Probit-Normalmodell .... 223
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