Transzendente Funktionen: mit 1 Tabelle
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Akad. Verl.-Ges. Geest & Portig
1963
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| Schriftenreihe: | Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik
Reihe A ; 28 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
§ 1. Die B und die F Funktion 1
1.1. Rechenregeln über Paktorielle 1
1.2. Uneigentliche bestimmte Integrale 2
1.2.1. a1 + a2 = v ganzzahlig 5
1.2.2. al — a2 = v ganzzahlig 6
1.2.3. ax = v ganzzahlig 6
1.3. Die B Funktion 7
1.3.1. Eigenschaften der B Funktion 8
1.3.2. Die B Funktion für besondere Werte der Variabein 10
1.3.2.1. p + q = v ganzzahlig 10
1.3.2.2. p — q = v ganzzahlig 11
1.3.2.3. Ganzzahlige Parameter 12
1.4. Definition der / Funktion 13
1.4.0. Beweis der Vertauschbarkeit von Limesbildung und Integration 15
1.4.1. Funktionalgleichung der F Funktion 16
1.4.2. Zusammenhang zwischen B und F Funktion 17
1.4.2.0. Beweis für die Vertauschbarkeit der Integrationsfolge 18
1.4.3. Eigenschaften der F Funktion 19
1.5. Produktformeln und logarithmische Ableitung der F Funktion. Stirlingsche Reihe 23
1.5.1. Eulersche und Weierstraßsche Produktformel 23
1.5.1.0. Die Euler Mascheronische Konstante 24
1.5.2. Die Funktion ¥(z) 25
1.5.2.1. Die logarithmische Ableitung der F Funktion nach Weierstraß ... 25
1.5.2.2. Die logarithmische Ableitung der F Funktion nach Gauß 26
1.5.3. Die Stirlingsche Formel 27
1.5.3.0. Auswertung zweier Integrale 29
1.5.4. Die Stirlingsche Reihe 30
1.5.4.0. Abschätzungen für großen Imaginärteil des Arguments der F Funk¬
tion 32
1.6. Anwendungen der B und F Funktionen 33
1.6.1. Berechnung von «,_ 2 = f « tP 1 COs ler dx 33
6
1.6.1.1. Sonderfall: Reelle Konstante 34
1.6.1.2. Sonderfall: a = 0 34
[
VIII Inhaltsverzeichnis
n/2
1.6.2. Berechnung von v, 2 = j cos * 1 psin* 1 p .* ptpdq 35
o
ir/2
1.6.3. Berechnung von / cos(p — q) pcosp + Q~2 pd p und verwandter Integrale ... 3(
0
1.6.4. Verschiedene Integrale 38
1.6.5. Das Dirichletsche Integral 39
§ 2. Allgemeines über Differentialgleichungen 39
2.1. Lineare homogene Differentialgleichungen beliebiger Ordnung 39 !
2.1.0. Singuläre Stellen und Stellen der Bestimmtheit 39
2.1.1. Die Wronski Determinante 42
2.1.2. Transformation der Pole und der Exponenten 44
2.1.3. Verhalten im Unendlichen 45
2.2. Fuchssehe Differentialgleichungen 2. Ordnung 47
2.2.1. Exponententransformation : 47
2.2.2. Beziehungen zwischen den Exponenten 49
2.2.3. Pol Transformation 50
2.2.4. Reguläres Verhalten im Unendlichen 52
2.2.5. Drei Pole. Riemannsche Differentialgleichung 52
2.2.6. Hypergeometrische Differentialgleichung 53
2.2.7. Konfluenz 55
§ 3. Separation der Wellengleichung 59
3.0. Wellengleichung und Potentialgleichung 59
3.1. Elliptische Koordinaten 09
3.1.1. Definition der elliptischen Koordinaten 59
3.1.2. Spezial und Entartungsfälle 61
3.1.2.1. Axiale Symmetrie 61
3.1.2.2. Kugelkoordinaten 62
3.1.2.3. Kegelkoordinaten 62
3.1.2.4. Zylinderkoordinaten 63
3.1.2.5. Paraboloidkoordinaten 63
3.1.2.6. Zusammenhang der Entartungsfälle mit den allgemeinen elliptischen
Koordinaten und untereinander 64
3.2. Separation der Wellengleichung in elliptischen Koordinaten 64
3.2.1. Laplace Operator in elliptischen Koordinaten 64
3.2.1.1. Umrechnung des Linienelements 64
3.2.1.2. Zurückführung des Laplace Operators auf die metrische Fundamen¬
talform 65
3.2.1.3. Berechnung des Laplace Operators in elliptischen Koordinaten ... 66
3.2.2. Lamesche Wellen und Potentialgleichung 67
3.2.2.1. Separation der Wellengleichung 67
3.2.2.2. Singularitäten der Lame sehen Gleichung 68
3.2.2.3. Lamesche Potentialfunktionen für das Innere eines Ellipsoids 69
Inhaltsverzeichnis IX
3.2.2.4. Die Eigenwerte der Lame sehen Gleichung sind reell und einfach . . 70
3.2.2.5. Lamesche Potentialfunktionen für das Äußere eines Ellipsoids ... 70
3.2.3. Entartungsfälle der Lameschen Wellengleichung 71
3.2.3.1. Azimutale Gleichung 71
3.2.3.2. Wellengleichung des Sphäroids 72
3.2.3.3. Wellengleichung für den Polarwinkel 73
3.2.3.4. Radiale Gleichung 74
3.2.3.5. Wellengleichung des elliptischen Zylinders 74
3.2.3.6. Wellengleichung des Kreiszylinders 75
3.2.3.7. Wellengleichung in Kegelkoordinaten 76
3.2.3.8. Wellengleichung in parabolischen Koordinaten 77
3.2.3.9. Wellengleichung des Rotationsparaboloids 77
3.2.3.10.Wellengleichung des parabolischen Zylinders 78
§ 4. Die Gaußsche hypergeometrische Funktion 78
4.1. Die Gaußsche Differentialgleichung 79
4.1.1. Die Integration der Gaußschen Differentialgleichung 80
4.1.2. Zusammenhang zwischen den Lösungen der Gaußschen Differentialgleichung 82
4.2. Die Definition der Gaußschen hypergeometrischen Funktion 84
4.2.1. Die hypergeometrische Reihe 85
4.2.1.0. Das Verhalten der hypergeometrischen Reihe auf dem Konvergenz¬
kreis 86
4.2.2. Die Integrale der Gaußschen Differentialgleichung als hypergeometrische
Funktionen 86
4.2.3. Ableitung weiterer Lösungen der Gaußschen Gleichung 88
4.2.4. Die analytische Fortsetzung der hypergeometrischen Reihe 89
4.2.4.0. Entwicklungen für sehr großes Argument 91
4.2.5. Umlaufrelationen 91
4.3. Die Gaußsche Funktion als Funktion der Parameter 93
4.3.1. Beziehungen zwischen benachbarten Funktionen 94
4.3.1.0. Beziehungen zwischen der Ableitung und benachbarten Funktionen 96
4.3.2. Ganzzahlige Parameter 97
4.3.2.1. Der Parameter a ganzzahlig 97
4.3.2.2. Der Parameter c ganzzahlig 97
4.3.2.3. Die Parameter a und c ganzzahlig 99
4.3.2.4. Summe oder Differenz der Parameter ganzzahlig 99
4.3.3. Lineare Beziehungen zwischen den Parametern a, b, c 99
4.3.3.0. Sonderfälle 103
4.3.4. Die unvollständige .B Funktion 104
4.3.5. Asymptotische Darstellungen für große Werte der Parameter 105
4.3.5.1. Die Methode der Sattelpunkte 105
4.3.5.2. Asymptotische Entwicklung für iF1(a, b; c + l; z) 107
4.3.5.3. Asymptotische Entwicklung für 2F1(a + l, b — l, c; z) 110
4.4. Orthogonalisierung der hypergeometrischen Funktion 117
4.4.1. Die Jacobischen Polynome 117
4.4.1.0. Die Nullstellen der Jacobi sehen Polynome 119
4.4.2. Die Legendreschen Polynome 120
X Inhaltsverzeichnis
4.5. Verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen 122
4.5.1. Verallgemeinerungen für eine Variable 122
4.5.2. Verallgemeinerungen von Appell für zwei Variable 123
4.5.3. Verallgemeinerungen von Lauriceila für n Variable 123
§ 5. Kugelfunktionen 124
5.1. Die Legendresche Gleichung 124
5.1.1. Die Legendreschen Funktionen erster Art 126
5.1.2. Legendresche Funktionen zweiter Art 130
5.1.3. Zusammenhang zwischen den Legendreschen Funktionen erster und zweiter
Art 132
5.1.3.0. Sonderfälle: n = v — */2 halbzahlig, m ± n = A ganzzahlig 135
5.1.4. Umlaufrelationen 137
5.2. Darstellungen der Legendreschen Funktionen 140
5.2.1. Darstellungen in der Umgebung von z = +1 140
5.2.1.0. Entwicklungen von $™(z) nach (z — l)/(z + 1) 143
5.2.2. Darstellungen in der Umgebung von z = — 1 144
5.2.3. Entwicklungen in der Umgebung von z2 = 1 146
5.2.4. Entwicklungen für die Umgebung von z = 0 147
5.2.5. Entwicklungen für großes z 147
5.2.6. Entwicklungen nach z — /z2 — 1 149
5.2.6.0. Verhalten auf dem Verzweigungsschnitt 151
5.3. Integraldarstellungen 153
5.3.1. Hypergeometrische Integrale 153
5.3.2. Integrale für Legendresche Funktionen vom Argument Cos w und cos .. 156
5.3.3. Laplacesche Integrale 160
5.4. Asymptotische Darstellungen für große Werte von z, n, m 168
5.4.1. Asymptotische Entwicklungen für z ~^ 1 168
5.4.2. Asymptotische Entwicklungen für große Indizes 169
5.4.2.1. n » 1 169
5.4.2.2. | m ;§ 1 171
5.5. Rekursionsformeln 172
5.5.1. Rekursionsformeln für zugeordnete Kugelfunktionen 172
5.5.2. Rekursionsformeln für die Kugelflächenfunktionen 178
5.6 Fourier Reihen und Legendresche Entwicklungen 180
5.7. Additionstheoreme für die Legendreschen Funktionen 184
5.7.1. Das Additionstheorem für Pn(z) 184
5.7.1.0. Durchrechnung der Jacobisehen Integralformel 186
5.7.2. Das Additionstheorem für D„(z) 187
5.7.3. Erweiterung der Additionstheoreme für Ee(z) 0, Re(z ) 0 196
5.8. Die Funktionen von Gegenbauer 197
5.8.1. Die Potentialgleichung im n dimensionalen euklidischen Raum 197
5.8.2. Definition der Funktionen von Gegenbauer 198
Inhaltsverzeichnis XI
5.8.3. Die Differentialgleichung der Funktionen von Gegenbauer 200
5.8.4. Rekursionsformeln 200
5.8.5. Orthogonalitätsgleichungen und Norm 202
5.8.6. Die Legendreschen Polynome als Sonderfall der Gegenbauer Funktionen 2(K
§ 6. Die konfluente hypergeometrische Funktion 206
6.1. Zusammenhang zwischen der konfluenten und der Gaußschen hypergeometrischen
Funktion 206
6.2. Die Laplacesche Differentialgleichung 207
6.2.1. Die Integration der Laplaceschen Gleichung 207
6.2.2. Die Normalform der konfluenten hypergeometrischen Funktion 210
6.2.3. Zusammenhänge zwischen den Integralen der Laplaceschen Gleichung . . . 211
6.3. Umlaufrelationen 213
6.4. Darstellungen der konfluenten hypergeometrischen Funktion 215
6.4.1. Entwicklungen nach Potenzen von z 215
6.4.2. Asymptotische Darstellungen für große Werte von z 217
6.4.2.0. Abschätzung des Restgliedes 219
6.5. Beziehungen zwischen benachbarten Funktionen. Rekursionsformeln 221
6.6. Sonderfälle für ausgezeichnete Werte der Parameter 222
6.6.1. Ganzzahlige Parameter, c — a =v ganzzahlig 223
6.6.2. c = 2a 223
6.7. Die Whittakerschen Funktionen 224
6.7.0. Rekursionsformeln für die Whittakerschen Funktionen 226
6.8. Orthogonalitätsbeziehungen. Laguerresche Polynome 228
6.8.1. Laguerresche Polynome 229
6.8.2. Hermitesche Polynome 233
6.9. Sonderfälle der konfluenten hypergeometrischen Funktionen 238
6.9.1. Die Funktionen des parabolischen Zylinders 238
6.9.1.1. Entwicklungen und asymptotische Darstellungen 239
6.9.1.2. Integraldarstellung und Zusammenhang mit den Hermiteschen
Polynomen 241
6.9.1.3. Rekursionsformeln 244
6.9.1.4. Orthogonalität 245
6.9.2. Die unvollständige / Funktion und das Fehlerintegral. Fresnelsche Integrale 245
6.9.3. Exponentialintegral, Integralsinus, Integralcosinus, Integrallogarithmus . .. 249
6.9.3.0. Umlaufrelationen, Entwicklungen und asymptotische Darstellungen 252
6.10. Hypergeometrische Funktionen und Laplacesche Transformation 254
6.10.1. Die Integrale von Erdelyi 254
6.10.1.0. Erweiterung auf ein Produkt von Funktionen 256
6.10.2. Die Laplacesche Transformierte der Whittakerschen Funktionen .... 257
§ 7. Die Zylinderfunktionen 261
7.1. Die Besselsche Differentialgleichung. Definition der Zylinderfunktionen 261
XII Inhaltsverzeichnis
7.2. Entwicklungen der Besselschen Funktionen (im engeren Sinne) 262
7.2.1. Verhalten in der Umgebung von z = 0 262
7.2.2. Verhalten im Unendlichen. Asymptotische Darstellungen für große Werte
von z 263
7.3. Die Hankeischen Punktionen 264
7.4. Die Neumannschen Funktionen 267
7.5. Umlaufrelationen 268
7.6. Wronskische Determinante und Rekursionsformeln 269
7.7. Verhalten der Funktionen im Nullpunkt 272
7.8. Weitere Fundamentallösungen und Bezeichnungen 274
7.9. Produkte von Zylinderfunktionen 275
7.10. Integraldarstellungen der Zylinderfunktionen 277
7.10.1. Poissonsche Integrale 277
7.10.2. Integrale von Bessel Sonine Sommerfeld 282
7.10.2.1. Unmittelbare Ableitung des Sommerfeldschen Integrals 287
7.10.2.2. Sonderfälle des Sommerfeldschen Integrals 288
7.11. Die Zylinderfunktionen mit halbganzem Index Zv + i/2(z) 292
7.12. Integrale über Zylinderfunktionen 293
7.12.1. Unbestimmte Integrale 293
7.12.2. Bestimmte Integrale 296
7.12.2.0. Zusammenhang mit den Legendreschen Funktionen 301
7.12.3. Diskontinuierliche Integrale von Sonine und Gegenbauer 304
7.12.4. Integrale über Produkte von Bessel Funktionen. Diskontinuierliche In¬
tegrale von Sonine und Schafheitlin 307
7.13. Aussagen über die Nullstellen der Zylinderfunktionen 310
7.13.1. Alle Nullstellen mit Ausnahme der Stelle z = 0 sind einfach 310
7.13.2. Die Nullstellen von Zp(z) und Zp + ^(z) trennen sich gegenseitig 310
7.13.3. Die Nullstellen von Zp und Zp trennen sich gegenseitig 310
7.13.4.1. Die von 2 = 0 verschiedenen Nullstellen von
Fv(z) =AJv(z) + BzJ p(z) sind einfach 311
7.13.4.2. Ist AD — BC =t= 0 und p — 1, so trennen sich die Nullstellen von
Fp(z) =AJp(z) + Bzj p(z) und Gp(z) = CJp(z) + DzJ p(z) gegenseitig 311
7.13.5. Bei reellem p — 1 sind die Nullstellen von Jp(z) reell 311
7.13.6. Die kleinste positive Nullstelle von Jp(x) und J p(x) ist größer als p (p 0) 312
7.13.7. Nur Bessel Funktionen von reellem Index können reelle Nullstellen =f=0
besitzen 312
7.13.8. Die modifizierte Ha nkel Funktion (Kelvin Funktion) besitzt nur für
rein imaginäre p positive Nullstellen =(=0 313
7.13.9. Die kleinste positive Nullstelle von Kp(x) mit rein imaginärem p liegt
bei a: | p | 313
7.13.10. Ha nkel Funktionen von reellem Index besitzen keine positiven Null¬
stellen, solche von imaginärem Index keine reellen Nullstellen 314
Inhaltsverzeichnis XIII
7.13.11. Bei reellem p besitzt Kp(z) keine Nullstellen mit jphas(z)j g — 314
7.13.12. Bei rein imaginärem Index besitzt Kp(z) im Bereich |phas(z)j ^ ~~ nur
reelle Nullstellen 316
7.14. Nullstellenkurven und asymptotische Entwicklungen der Zylinderfunktionen . . 316
7.14.1. Entwicklungen für große Beträge des Index p 316
7.14.2. p und z groß und positiv, p z 318
7.14.3. Die Nullstellenkurven sind die Verzweigungsschnitte der asymptotischen
Darstellungen 323
7.14.4. Asymptotische Darstellung der Zylinderfunktionen außerhalb der Ver¬
zweigungsschnitte 324
7.14.5. Mögliche Nullstellenkurven der Zylinderfunktionen 324
7.14.6. Bei p — ±z entspringen die Nullstellenkurven in den drei Richtungen (Tz) * 326
7.14.7. Verlauf der Nullstellenkurven in der p Ebene für beliebige z 326
7.14.8. Asymptotische Formeln in der Umgebung der Nullstellenkurven 331
7.14.9. Formeln von Nicholson Schöbe 332
7.14.9.1. Berechnung der Koeffizienten der Nicholson Schöbeschen
Entwicklung 335
7.14.10. Asymptotische Entwicklung für j p — z C z1 | 337
7.14.11. Nullstellenkurven in der z Ebene bei festem Index p 338
7.14.12. Nullstellenkurven der Bessel Funktionen von fast negativem Index .. 341
7.14.13. Nullstellenkurven der Hankel Funktionen von fast reellem Index .... 345
7.15. Beispiele von Neumannschen Reihen. Additionstheorem 346
7.15.1. Neumannsche Reihen 346
7.15.2. Additionstheoreme 348
7.16. Entwicklungen nach Eigenfunktionen, Bessel , Fourier und Dini Reihen .. 355
7.16.1. Bessel , Fourier und Dini Reihen 357
7.16.2. Bessel Fourier Integrale 359
7.17. Verallgemeinerungen der Zylinderfunktionen 361
7.17.1. Die Angerschen und die Lommel Webersehen Funktionen 361
7.17.1.1. Entwicklungen für kleine Werte der Variablen 363
7.17.1.2. Bestimmte Integrale 364
7.17.1.3. Asymptotische Darstellungen für großes z 365
7.17.2. Die Airy Hardysehen Integrale 368
7.17.2.1. Hardysche Integrale für geradzahligen Index 369
7.17.2.2. Hardysche Integrale für ungeraden Index 370
7.17.3. Die Funktion von Struve 372
7.17.3.1. Entwicklung in der Umgebung von z = 0 373
7.17.3.2. Asymptotische Darstellung für großes z 374
Schrifttum 375
Namen und Sachregister 376
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