Mathematik für Ingenieure:
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| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Teubner
2006
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| Ausgabe: | 11., durchges. Aufl. |
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| adam_text | Inhalt
1 Grundlagen
1.1 Aussagenlogik und Beweisverfahren 13
1.1.1 Ausdruck. Aussage. Definition. Axiom 13
1.1.2 Aussagenverknüpfung 16
1.1.3 Aussagenlogische Ausdrücke und Gesetze 20
1.1.4 Mathematische Beweisverfahren 23
1.1.5 Aufgaben zu Abschnitt 1.1 28
1.2 Zahlen und Zahlensysteme 29
1.2.1 Einteilung der Zahlen 29
1.2.2 Zahlensysteme 34
1.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 1.2 36
2 Abbildungen. Funktionen
2.1 Abbildungen 37
2.1.1 Aufgaben zu Abschnitt 2.1 39
2.2 Gleichungen. Ungleichungen 40
2.2.1 Gleichungen 40
2.2.2 Ordnungsrelationen. Ungleichungen 41
2.2.3 Signum. Betrag 42
2.2.4 Rechnen mit Ungleichungen 44
2.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 2.2 47
2.3 Folgen. Stetigkeit 48
2.3.1 Zahlenfolgen 48
2.3.2 Rechnen mit Grenzwerten 54
2.3.3 Stetigkeit 56
2.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 2.3 59
2.4 Darstellung von Funktionen 60
2.4.1 Funktionsgleichung 61
2.4.2 Funktionstafel 64
2.4.3 Funktionsdiagramm 67
2.4.4 Aufgaben zu Abschnitt 2.4 71
2.5 Weitere Grundbegriffe der Funktionslehre 72
2.5.1 Aufgelöste Form. Umkehrfunktion 72
6 Inhalt
2.5.2 Koordinatentransformation 74
2.5.3 Charakteristische Eigenschaften von Funktionen 79
2.5.4 Aufgaben zu Abschnitt 2.5 83
3 Spezielle Funktionen
3.1 Ganze rationale Funktionen 84
3.1.1 Lineare Funktion 85
3.1.2 Quadratische Funktion 87
3.1.3 Ganze rationale Funktionen dritten und höheren Grades 90
3.1.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.1 97
3.2 Gebrochene rationale Funktionen 99
3.2.1 Aufgaben zu Abschnitt 3.2 102
3.3 Algebraische Funktionen 103
3.3.1 Potenzfunktion 104
3.3.2 Allgemeine Gleichung 2. Grades. Kegelschnitte 106
3.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 3.3 115
3.4 Trigonometrische Funktionen 117
3.4.1 Definitionen. Periodizität. Graph 117
3.4.2 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen 121
3.4.3 Darstellung periodischer Vorgänge 125
3.4.4 Arcusfunktionen 131
3.4.5 Nullstellen. Goniometrische Gleichungen 134
3.4.6 Aufgaben zu Abschnitt 3.4 137
3.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen 139
3.5.1 Exponentialfunktion 139
3.5.2 Logarithmusfunktion 141
3.5.3 Logarithmische Funktionspapiere 144
3.5.4 Hyperbelfunktionen 147
3.5.5 Areafunktionen 151
3.5.6 Aufgaben zu Abschnitt 3.5 153
3.6 Funktionen von zwei unabhängigen Variablen 153
3.6.1 Funktionsgleichungen 154
3.6.2 Funktionstafeln 154
3.6.3 Geometrische Darstellungen 155
3.6.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.6 159
4 Lineare Algebra
4.1 Determinanten 160
4.1.1 Grundbegriffe. Entwicklungssatz 160
4.1.2 Aufgaben zu Abschnitt 4.1 164
Inhalt 7
4.2 Vektoren 165
4.2.1 Grundbegriffe und Definitionen 165
4.2.2 Komponenten. Koordinaten. Richtungswinkel 167
4.2.3 Rechenregeln 170
4.2.4 Lineare Abhängigkeit 178
4.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 4.2 179
4.3 Matrizen 181
4.3.1 Grundbegriffe. Definitionen 181
4.3.2 Rechenregeln 186
4.3.3 Anwendung in der Strukturmechanik 191
4.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 4.3 198
4.4 Lineare Gleichungssysteme 199
4.4.1 Eliminationsverfahren von Gauß 200
4.4.2 Verketteter Gauß-Algorithmus 202
4.4.3 Austauschverfahren 207
4.4.4 Homogene und abhängige inhomogene Systeme 213
4.4.5 Iterationsverfahren 217
4.4.6 Kondition 219
4.4.7 Aufgaben zu Abschnitt 4.4 221
4.5 Grundlagen der Computergraphik 223
4.5.1 Punkte und Geraden in der Ebene 223
4.5.2 Kollineare Abbildung im Raum 232
4.5.3 Aufgaben zu Abschnitt 4.5 242
5 Differentialrechnung
5.1 Einführung 244
5.1.1 Grundbegriffe 244
5.1.2 1. Ableitung. Differentialquotient 248
5.1.3 Ableitungen höherer Ordnung 250
5.1.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 252
5.1.5 Aufgaben zu Abschnitt 5.1 254
5.2 Rechenregeln der Differentialrechnung 255
5.2.1 Grundregeln 255
5.2.2 Ableitung einiger Grundfunktionen 256
5.2.3 Produkt- und Quotientenregel 258
5.2.4 Kettenregel 260
5.2.5 Funktionen in impliziter Form 263
5.2.6 Differenzieren mit Hilfe der aufgelösten Form 266
5.2.7 Unbestimmte Ausdrücke 270
5.2.8 Aufgaben zu Abschnitt 5.2 272
5.3 Anwendungen der Differentialrechnung 274
5.3.1 Lösen von Bestimmungsgleichungen 274
5.3.2 Schnittwinkel von Graphen. Tangente. Normale 281
8 Inhalt
5.3.3 Kurvendiskussion. Extremwertaufgaben 289
5.3.4 Interpolation mit kubischen Splinefunktionen 307
5.3.5 Aufgaben zu Abschnitt 5.3 312
5.4 Tafel der Ableitungen elementarer Funktionen 316
6 Integralrechnung
6.1 Bestimmtes Integral 317
6.1.1 Flächenberechnung durch Grenzwertbildung 317
6.1.2 Grundregeln des Integrierens 319
6.1.3 Integration der Potenzfunktion 324
6.1.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung 330
6.1.5 Numerische Integration 332
6.1.6 Aufgaben zu Abschnitt 6.1 337
6.2 Unbestimmtes Integral 338
6.2.1 Integralfunktion 338
6.2.2 Stammfunktion 344
6.2.3 Uneigentliche Integrale 348
6.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 6.2 350
6.3 Rechenmethoden 351
6.3.1 Produktintegration 351
6.3.2 Substitution 354
6.3.3 Partialbruchzerlegung 363
6.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 6.3 367
6.4 Anwendungen 369
6.4.1 Volumen. Momente 369
6.4.2 Bogenlänge. Oberfläche 383
6.4.3 Biegung 384
6.4.4 Mittelwerte in der Elektrotechnik 389
6.4.5 Aufgaben zu Abschnitt 6.4 391
6.5 Integraltafel 393
7 Reihen
7.1 Endliche und unendliche Reihen 396
7.1.1 Einführung. Begriff 396
7.1.2 Unendliche geometrische Reihe 397
7.1.3 Konvergenz von Reihen 398
7.1.4 Aufgaben zu Abschnitt 7.1 400
7.2 Taylor-Reihen 401
7.2.1 Satz von Taylor 402
7.2.2 Winkel- und Hyperbelfunktionen 405
Inhalt 9
7.2.3 Exponentialfunktion und Logarithmus 411
7.2.4 Binomische Reihe 414
7.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 7.2 416
7.3 Fourier-Reihen 417
7.3.1 Approximation durch trigonometrische Reihen 418
7.3.2 Spezialfälle und Beispiele 422
7.3.3 Numerische Fourier-Analyse 427
7.3.4 Fourierintegral 430
7.3.5 Aufgaben zu Abschnitt 7.3 434
8 Differentialgeometrie
8.1 Parameterform 436
8.1.1 Differenzieren 436
8.1.2 Integrieren 438
8.1.3 Anwendung in der Technik 441
8.1.4 Aufgaben zu Abschnitt 8.1 443
8.2 Polarkoordinaten 444
8.2.1 Differenzieren 444
8.2.2 Integrieren 446
8.2.3 Polarkoordinaten in Parameterform 448
8.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 8.2 451
8.3 Krümmung. Evolvente 452
8.3.1 Krümmung. Krümmungsradius 452
8.3.2 Evolute. Evolvente 456
8.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 8.3 460
9 Funktionen mehrerer Variablen
9.1 Grundbegriffe 461
9.1.1 R -Raum 461
9.1.2 Funktion. Grenzwert. Stetigkeit 462
9.2 Differenzieren 464
9.2.1 Partielle Ableitungen 464
9.2.2 Taylor-Formel. Totales Differential. Funktionen in impliziter Form . 470
9.2.3 Differenzieren eines Integrals nach einem Parameter 475
9.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 9.2 476
9.3 Integrieren 477
9.3.1 Bestimmtes Integral 477
9.3.2 Unbestimmtes Integral 480
9.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 9.3 483
9.4 Fehler- und Ausgleichungsrechnung 483
9.4.1 Fehler und Mittelwert 483
10 Inhalt
9.4.2 Fehlerfortpflanzung 485
9.4.3 Ausgleichungsrechnung 488
9.4.4 Aufgaben zu Abschnitt 9.4 493
10 Vektoranalysis
10.1 Vektorfunktionen 496
10.1.1 Differenzieren und Integrieren in geradlinig-rechtwinkligen
Koordinaten 496
10.1.2 Ableitung in natürlichen Koordinaten 502
10.1.3 Aufgaben zu Abschnitt 10.1 506
10.2 Skalare und vektorielle Felder 507
10.2.1 Skalares Feld. Gradient 507
10.2.2 Vektorielles Feld. Divergenz. Rotation 508
10.2.3 Linienintegral 512
10.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 10.2 516
11 Komplexe Zahlen und Funktionen
11.1 Grundbegriffe 517
11.2 Komplexe Arithmetik 520
11.2.1 Rechenoperationen in der Komponentenform 520
11.2.2 Rechenoperationen in der Exponentialform 525
11.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 11.1 und 11.2 532
11.3 Komplexe Funktionen einer reellen Veränderlichen 533
11.3.1 Symbolische Methode in der Wechselstromtechnik 534
11.3.2 Einfache Spezialfälle. Gerade 536
11.3.3 Inversion. Kreis 539
11.3.4 Allgemeine Ortskurven 548
11.3.5 Aufgaben zu Abschnitt 11.3 550
11.4 Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen 551
11.4.1 Grundbegriffe 551
11.4.2 Winkel-und Hyperbelfunktionen mit komplexem Argument . 552
11.4.3 Konforme Abbildung 557
11.4.4 Aufgaben zu Abschnitt 11.4 564
12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
12.1 Analytische Lösungsmethoden 565
12.1.1 Begriffe. Einteilung 565
12.1.2 Aufstellen von Differentialgleichungen 567
12.1.3 Trennung der Veränderlichen 570
12.1.4 Lineare Differentialgleichungen 573
12.1.5 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . 577
Inhalt 11
12.1.6 Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten 583
12.1.7 Aufgaben zu Abschnitt 12.1 592
12.2 Anwendungen in der Technik 593
12.2.1 Euler-Knickgleichung 593
12.2.2 Schwingungen 596
12.2.3 Scheibe unter Zentrifugalkräften 609
12.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 12.2 614
12.3 Numerische Verfahren 616
12.3.1 Anfangswertaufgaben 616
12.3.2 Differenzenverfahren für Rand- und Eigenwertaufgaben . . . 620
12.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 12.3 625
13 Laplace-Transformation
13.1 Grundbegriffe 627
13.1.1 Aufgaben zu Abschnitt 13.1 631
13.2 Rechenregeln 631
13.2.1 Summe von Funktionen. Konstanten 631
13.2.2 Transformationssätze 633
13.2.3 Differenzieren und Integrieren im Zeitbereich 638
13.2.4 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung 640
13.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 13.2 642
13.3 Impulsfunktionen 642
13.3.1 Impulse endlicher Dauer 643
13.3.2 Der Einsimpuls 644
13.4 Lösen von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten 645
13.4.1 Einzelne Differentialgleichungen 645
13.4.2 Systeme von linearen Differentialgleichungen 650
13.4.3 Aufgaben zu Abschnitt 13.4 654
13.5 Korrespondenzentafel 655
14 Statistik
14.1 Auswertung einer Stichprobe 657
14.1.1 Häufigkeitsverteilung. Häufigkeitssumme 657
14.1.2 Kennwerte der Stichprobe 660
14.1.3 Aufgaben zu Abschnitt 14.1 663
14.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 664
14.2.1 Grundbegriffe und Definitionen 664
14.2.2 Aufgaben zu Abschnitt 14.2 669
12 Inhalt
14.3 Verteilungsfunktionen 670
14.3.1 Grundbegriffe und Definitionen 670
14.3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen einer Variablen 676
14.3.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen mehrerer Variablen 685
14.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 14.3 688
14.4 Statistische Prüfverfahren 688
14.4.1 Schätzen von Parametern der Grundgesamtheit 688
14.4.2 Prüfen von Hypothesen 691
14.4.3 Aufgaben zu Abschnitt 14.4 695
Anhang
Lösungen zu den Aufgaben 697
Weiterführende Literatur 745
Sachverzeichnis 747
Hinweise auf DIN-Normen in diesem Werk entsprechen dem Stande der Normung bei Abschluß des
Manuskriptes. Maßgebend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblätter des DIN Deutsches In¬
stitut für Normung e. V. im Format A 4, die durch den Beuth-Verlag GmbH, Berlin und Köln, zu bezie¬
hen sind.
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