Mathematische Ergänzungen zur Einführung in die Physik:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Springe
Binomi
2004
|
| Ausgabe: | 3., überarb. und erg. Aufl. |
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Datensatz im Suchindex
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Vektoren 1
1.1 Vektoren und Tensoren in der Physik............... 1
1.2 Vektorrechnung........................... 4
1.2.1 Rechnen mit Vektoren................... 5
1.2.2 Abstraktion des Vektorbegriffs.............. 7
1.2.3 Das Skalarprodukt..................... 10
1.2.4 Das Vektorprodukt..................... 12
1.2.5 Komponentendarstellung ................. 14
1.2.6 Das Spatprodukt...................... 19
1.2.7 Das doppelte Vektorprodukt ............... 22
1.3 Differentiation ........................... 23
1.3.1 Differentiation von Vektorfunktionen........... 27
1.3.2 Die partielle Ableitung................... 29
1.4 Krummlinige Koordinaten
1.4.1 Ebene Polarkoordinaten.................. 34
1.4.2 Zylinderkoordinaten.................... 38
1.4.3 Kugelkoordinaten...................... 39
1.4.4 Allgemeine orthogonale Koordinatensysteme ...... 44
1.5 Aufgaben.............................. 45
vi
2 Datenanalyse und Fehlerrechnung* 47
2.1 Messungen und Messfehler..................... 48
2.1.1 Die Normalverteilung ................... 50
2.1.2 Die Lorentz-Verteilung .................. 52
2.1.3 Statistische Maße einer Messreihe............. 53
2.2 Fehlerfortpflanzung......................... 55
2.3 Ausgleichsrechnung......................... 57
2.4 Aufgaben.............................. 60
3
3.1 Der Gradient............................ 62
3.2 Die Divergenz............................ 67
3.3 Die Rotation ............................ 70
3.4 Divergenz und Rotation...................... 71
3.5 Aufgaben.............................. 74
4 Grundprobleme der Dynamik 75
4.1 Gradientenfelder und Energieerhaltung.............. 79
4.1.1 Der schräge Wurf...................... 80
4.1.2 Das Federpendel...................... 83
4.1.3 Das mathematische Pendel ................ 85
4.1.4 Bewegungsgleichungen in Polarkoordinaten....... 90
4.2 Impulssatz und Drehimpulssatz.................. 93
4.3 Das Zweiteilchensystem...................... 95
4.4 Zentralkraftfelder und Drehimpulserhaltung........... 97
4.4.1 Keplerproblem.......................
4.5 Aufgaben..............................
5 Matrizen und Tensoren
5.1 Rechnen mit Matrizen....................... 116
5.2 Quadratische Matrizen....................... 118
5.2.1 Taylor-Entwicklung im Rn ................ 122
5.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren .............. l23
INHALTSVERZEICHNIS
5.2.3 Der Trägheitstensor.................... 127
5.3 Drehung des Koordinatensystems................. 128
5.3.1 Transformation von Vektoren............... 131
5.3.2 Transformation von Matrizen*.............. 132
5.3.3 Drehungen*......................... 134
5.4 Diagonalisierung und Matrix-Funktionen*............ 137
5.4.1 Transformation auf Diagonalform............. 137
5.4.2 Matrix-Funktionen..................... 141
5.5 Aufgaben.............................. 145
6 Lineare Differentialgleichungen* 147
6.1 Gleichungen zweiter Ordnung................... 148
6.2 Systeme erster Ordnung...................... 151
6.3 Aufgaben.............................. 155
7 Lineare Schwingungen 157
7.1 Der harmonische Oszillator.................... 158
7.1.1 Die freie Schwingung.................... 159
7.1.2 Erzwungene Schwingungen ................ 166
7.1.3 Energiebilanz........................ 169
7.1.4 Dynamik im Phasenraum* ................ 171
7.2 Gekoppelte Schwingungen..................... 173
7.3 Aufgaben.............................. 181
8 Nichtlineare Dynamik und Chaos 183
8.1 Numerische Lösung von Differentialgleichungen.......... 183
8.2 Der Duffing-Oszillator....................... 186
8.3 Die logistische Differentialgleichung................ 192
8.4 Iterierte Abbildungen ....................... 195
8.5
8.6 Aufgaben.............................. 211
Vlil
INHALTSVERZEICHNIS
9
9.1 Integrale über Vektorfelder .................... 216
9.1.1 Kurvenintegrale....................... 216
9.1.2 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen
9.1.3 Flächen- und Volumenintegrale.............. 226
9.1.4 Oberflächenintegrale.................... 232
9.1.5 Funktionaldeterminanten*................. 237
9.2 Integraldarstellung von Divergenz und Rotation......... 239
9.2.1 Die Divergenz als Quellenfeld............... 239
9.2.2 Die Rotation als Wirbelfeld................ 241
9.3 Integralsätze von Gauß und
9.3.1 Der Satz von Gauß..................... 244
9.3.2 Der Satz von
9.4 Krummlinige Koordinaten
9.5 Elementare Anwendungen..................... 250
9.5.1 Die Maxwell-Gleichungen................. 251
9.5.2 Die integrale Form der Maxwell-Gleichungen...... 251
9.5.3 Der Zylinderkondensator.................. 252
9.5.4 Die Kontinuitätsgleichung................. 255
9.5.5 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen
9.5.6 Der Zerlegungssatz..................... 257
9.5.7 Die Poisson-Gleichung................... 258
9.6 Aufgaben.............................. 259
10 Die Delta-Punktion 261
10.1 Elementare Definition der Delta-Funktion............ 262
10.2 Eigenschaften der Delta-Funktion ................ 265
10.3 Die dreidimensionale Delta-Funktion............... 269
10.4 Theorie der Distributionen*.................... 272
10.5 Aufgaben.............................. 276
INHALTSVERZEICHNIS ix
11 Partielle Differentialgleichungen 277
11.1 Die Poisson-Gleichung....................... 278
11.1.1 Die Poisson-Gleichung in der Elektrostatik....... 279
11.1.2 Die Multipolentwicklung.................. 283
11.1.3 Die Poisson-Gleichung in der Magnetostatik....... 285
11.2 Poisson-Gleichung: Numerische Lösung............. 287
11.2.1 Die eindimensionale Poisson-Gleichung ......... 288
11.2.2 Die zweidimensionale Poisson-Gleichung......... 292
11.3 Die zeitabhängigen Maxwell-Gleichungen*............ 295
11.4 Die Diffusionsgleichung....................... 297
11.4.1 Die eindimensionale Diffusionsgleichung......... 297
11.4.2 Numerische Lösung der Diffusionsgleichung....... 303
11.4.3 Diffusion und Random Walk ............... 305
11.5 Die Wellengleichung........................ 306
11.5.1 Eindimensionale Wellen.................. 306
11.5.2 Die zweidimensionale Wellengleichung.......... 316
11.5.3 Dreidimensionale ebene Wellen.............. 319
11.6 Aufgaben.............................. 321
12 Orthogonale Funktionen 323
12.1 Orthogonale Polynome....................... 324
12.2 Fourier-Reihen........................... 331
12.2.1 Beispiele für Fourier-Reihen................ 333
12.2.2 Allgemeine Eigenschaften der Fourier-Reihen...... 337
12.3 Fourier-Transformationen..................... 340
12.3.1 Eigenschaften der
12.3.2 Beispiele für Fourier-Transformationen.......... 344
12.3.3 Die Unschärferelation*................... 347
12.3.4 Anwendungen der
12.4 Aufgaben.............................. 353
x
13 Wahrscheinlichkeit und Entropie* 355
13.1 Wahrscheinlichkeit......................... 355
13.1.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie ....... 356
13.1.2 Wahrscheinlichkeit und Häufigkeit............ 362
13.2 Entropie............................... 363
13.2.1 Ein Maß für die Unbestimmtheit............. 364
13.2.2 Eigenschaften von 5(pi,...,p„):............. 368
13.3 Maximale Unbestimmtheit..................... 370
13.4 Die Boltzmann-Verteilung..................... 374
13.4.1 Der harmonische Oszillator................ 374
13.4.2 Magnetisierung....................... 375
13.4.3 Das ideale einatomige Gas................. 377
13.5 Entropie und Irreversibilität.................... 380
13.6 Aufgaben.............................. 381
Anhang 383
A
В
B.l Konjugiert komplexe Zahlen.................... 390
B.2 Die Polardarstellung........................ 392
B.3 Komplexe Wurzeln......................... 394
B.4 Fundamentalsatz der Algebra................... 396
С
C.l Die Ellipse.............................. 397
C.2 Die Hyperbel............................ 402
C.3 Die Parabel............................. 405
C.4 Quadratische Formen........................ 406
C.5 Die Familie der Kegelschnitte................... 407
Lösungen der Übungsaufgaben 409
Index 477
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