Les systèmes hamiltoniens et leur intégrabilité:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Französisch |
| Veröffentlicht: |
Les Ulis Cedex
EDP Sciences [u.a.]
2001
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Introduction 1
I. Introduction aux systèmes intégrables 7
1.1. Variétés symplectiques 7
1.2. Systèmes hamiltoniens, exemples 13
1.3. Systèmes complètement intégrables 17
1.4. Les flots géodésiques 21
1.5. Appendice: le théorème de Darboux 26
Exercices 27
II. Variables action angles 35
II. 1. Opérations hamiltoniennes de tores 35
11.2. Théorème d Arnold Liouville 40
11.3. Exemples 48
Exercices 52
III. Intégrabilité et groupes de Galois 57
Le théorème d Arnold Liouville,
revu par la théorie de Galois différentielle 57
III. 1. Équation aux variations, groupes de Galois et intégrales premières .. 58
111.2. Le cas d un système hamiltonien 65
111.3. Le cas d un système intégrable 67
111.4. Vers les applications: la réduction 77
111.5. L exemple de Hénon Heiles 83
111.6. Appendice: démonstration du lemme de Ziglin 86
Exercices 90
viii TABLE DES MATIÈRES
IV. Une introduction aux équations de Lax 95
Le théorème d Arnold Liouville, revu à travers les équations de Lax 95
IV. 1. Pourquoi des courbes algébriques? 96
IV.2. Un théorème de linéarisation 100
IV.3. Le cas des géodésiques des quadriques 106
IV.4. Appendice: comment on construit des équations de Lax
(un aperçu) 119
Exercices 126
Appendices
A. Ce qu il faut savoir en théorie de Galois différentielle 135
A.l. Corps différentiels 135
A.2. Extension de Picard Vessiot 136
A.3. Le groupe de Galois 138
A.4. Le groupe de Galois d un système hamiltonien est symplectique 141
A.5. Un exemple: l équation d Airy 142
Exercices faciles sur la théorie de Galois différentielle 147
B. Ce qu il faut savoir sur les courbes algébriques 149
B.l. Courbes complexes et surfaces de Riemann 149
B.2. Fibres en droites sur les courbes 151
B.3. Faisceaux et cocycles 153
B.4. Groupe de Picard, Riemann Roch, jacobienne 154
Exercices de compréhension des définitions 158
Bibliographie 161
Index 167
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