Notions fondamentales de la théorie des probabilités : maîtrises de mathématiques:
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TABLE DES MATIÈRES
Chapitre I. Introduction au calcul des probabilités 1
§ 1. Axiomes du calcul des probabilités 1
Notion d'événement. Opérations sur les événements. Axiomes de structure de
l'ensemble des événements. Loi de probabilité sur un espace probabilisable.
Conclusion.
§ 2. Probabilités conditionnelles. Indépendance 10
Probabilités conditionnelles. Systèmes de constituants. Indépendance de deux
événements. Indépendance de deux ou plusieurs tribus d'événements. Produits
d'une famille finie d'espaces probabilisés discrets.
§ 3. Variables aléatoires discrètes 23
Notions de variable aléatoire. Exemples. Espérance et variance d'une variable
aléatoire numérique discrète. Tribu engendrée par une variable aléatoire. Dis¬
tribution conjointe de deux variables aléatoires. Variables indépendantes.
Chapitre II. Eléments de théorie de la mesure et de l'intégration 32
§ 1. Anneaux et tribus de parties d'un ensemble 32
Définitions et propriétés immédiates. Anneau (resp. cr anneau, tribu.) engen¬
dré par un ensemble de parties.
§ 2. Espaces mesurables. Applications mesurables 36
Définitions. Exemples. Propriétés des fonctions numériques mesurables. Pro¬
duit d'espaces mesurables.
§ 3. Mesures positives 45
Définitions et premières propriétés. Génération d'une mesure. Mesures sur
(R, 3Sa) Mesures complètes. Mesures dans (Rb,£8rb). Ensembles négligeables.
Propriétés vraies presque partout.
§ 4. Intégration 58
Intégrale supérieure d'une fonction mesurable positive. Fonctions intégrables.
Intégrale. Espaces .Sf" et L».
§ 5. Intégrale de Daniell et théorème de Riesz 80
Prolongement de Daniell. Mesures dans R". Le théorème de Riesz.
§ 6. Mesures définies par des densités 92
Mesures définies par des densités. Mesures étrangères. Théorème de Radon
Nikodym.
X TABLE DES MATIÈRES
§ 7. Mesure image 96
Définition. Exemple. Intégration par rapport à une mesure image.
§ 8. Mesure produit 98
Chapitre III. Variables aléatoires 105
§ 1. Variables aléatoires réelles 105
Définitions. Inégalités. Exemples de lois de probabilités de variables réelles.
§ 2. Eléments aléatoires généraux et variables aléatoires à valeurs dans un
espace vectoriel à n dimensions 110
Définitions. Covariances. Exemple de variable aléatoire vectorielle : variable
Laplacienne.
Chapitre IV. Dépendance et indépendance de variables aléatoires 120
§ 1. Indépendance 120
Notion d'indépendance. Fonctions de variables indépendantes. Propriétés des
systèmes de variables aléatoires indépendantes. Somme de variables indé¬
pendantes. Produit de convolution. '
§ 2. Prohabilités conditionnelles 127
Espérance conditionnelle d'une variable aléatoire réelle par rapport à une varia¬
ble aléatoire discrète. Espérance conditionnelle d'une variable aléatoire réelle
Y par rapport à une variable aléatoire X quelconque, ou par rapport à une
tribu. Propriétés de l'espérance conditionnelle. Distributions conditionnelles
et distributions conjointes de plusieurs variables.
Chapitre V. Fonctions caractéristiques 147
§ 1. Définition et propriétés des fonctions caractéristiques. Exemples 147
Définitions. Exemples. Propriétés des fonctions caractéristiques. Fonction
caractéristique et moments d'une variable réelle.
§ 2. Formules d'inversion 162
Inversion d'une fonction caractéristique quelconque. Formule d'inversion
d'une fonction caractéristique intégrable. Formule d'inversion pour une
fonction caractéristique à p variables.
§ 3. Convergence faible et convergence étroite des mesures bornées sur R . 170
Diverses notions de convergence dans l'ensemble des mesures bornées sur R.
Convergence étroite et convergence en loi. Convergence étroite et
convergence des fonctions caractéristiques.
§ 4. Fonction génératrice de Laplace 180
Définition. Propriétés. Convergence des fonctions génératrices.
Chapitre VI. Convergences des variables aléatoires. Lois des grands nombres.
Théorèmes limites 185
§ 1. Différents types de convergence 185
Convergence en probabilité ou convergence stochastique. Convergence presque
sûre. Suites équi intégrables de variables aléatoires réelles. Résumé des résul¬
tats. Notations.
TABLE DES MATIÈRES Xr
§ 2. Lois des grands nombres 195
Lois faibles des grands nombres. Lois fortes.
§ 3. Loi de tout ou rien. Lemme de Borel Cantelli 205
§ 4. Théorèmes limites 208
Convergence vers la loi de Gauss. Convergence vers la loi de Poisson.
§ 5. Convergence de martingales 213
Définitions. Exemples. Inégalités de Doob. Théorèmes de convergence.
Chapitre VII. Notions générales sur les processus stochastiques et les fonctions
aléatoires 227
§ 1. Notion de processus stochastique et de fonction aléatoire 227
§ 2. Processus canoniques. Processus équivalents. Modification d'un pro¬
cessus 229
§ 3. Exemples de processus stochastiques 236
Une méthode générale de définition. Processus canonique associé à une famille
de variables aléatoires indépendantes. Processus gaussiens réels. Processus
gaussiens complexes. Processus à accroissements indépendants. Deux exem¬
ples de processus à accroissements indépendants.
§ 4. Continuité des processus 243
Différents types de continuité. Un théorème de continuité des trajectoires.
Continuité à droite des trajectoires.
§ 5. Mesurabilité des processus 249
Processus adaptés à une famille de tribus. Exemple. Mesurabilité progressive
et mesurabilité d'un processus.
§ 6. Temps d'arrêt 254
§ 7. Transformation d'une martingale par une suite de temps d'arrêt . . 263
Appendice I. Compléments de théorie de la mesure 267
Principe de prolongement par mesurabilité. Tribu engendrée par un ensemble
d'applications. Produits d'espaces mesurables. Prolongements d'une fonc¬
tion d'ensembles en mesure.
Appendice II. Mesure à valeurs dans R, C, ou un espace vectoriel norme 280
Notion de mesure à valeurs dans un espace vectoriel. L'espace de Banach réti¬
culé des mesures réelles.
Appendice III. Mesures définies par des densités. Théorèmes de Radon Nikodym 288
Mesures définies par des densités. Théorèmes de Lebesgue et Radon Nikodym.
Eléments de bibliographie 298
Problèmes d'application du cours 300
Index des définitions 333 |
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