Fonctions généralisées périodiques et applications:
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| Sprache: | Französisch |
| Veröffentlicht: |
Warszawa
Polska Akad. Nauk, Inst. Matematyczny
1997
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POLSKA AKADEMIA NAUK, INSTYTUT MATEMATYCZNY DISSERTATIONES MATHEMATICAE
(ROZPRAWY MATEMATYCZNE) KOMITET REDAKCYJNY ANDRZEJ BIALYNICKI-BIRULA,
BOGDAN BOJARSKI, ZBIGNIEW CIESIELSKI, JERZY LOS, ZBIGNIEW SEMADENI,
JERZY ZABCZYK REDAKTOR, WIESLAW ZELAZKO ZASTCPCA REDAKTORA CCCLXI V.
VALMORIN FONCTIONS GENERALISEES PERIODIQUES ET APPLICATIONS SUB
QOTTLNGEN 7 207 667 888 WARSZAWA 1997 TABLE DES MATIERES INTRODUCTION 6
I. DISTRIBUTIONS ET FONCTIONS GENERALISEES SUR T N 9 1. FONCTIONS ET
DISTRIBUTIONS 9 1.1. DEFINITION DU TORE T" 9 1.2. FONCTIONS DEFINIES SUR
T" 10 1.2.1. FONCTIONS DEFINIES SUR T" A VALEURS DANS C 10 1.2.2.
APPLICATIONS C DE T M DANS T N 10 1.2.3. APPLICATIONS DEFINIES SUR UNE
PARTIE DE T N 11 1.2.4. INTEGRATION SUR T" 11 1.3. DISTRIBUTIONS SUR T"
12 1.3.1. DEFINITIONS 12 1.3.2. RESTRICTIONS ET SUPPORT 12 1.3.3.
CONVOLUTION DANS L L {T N ) ET DANS V(T N ) 13 1.4. SERIES DE FOURIER 14
1.4.1. SERIE DE FOURIER D'UN ELEMENT DE (T N ) 14 1.4.2. SERIE DE
FOURIER D'UN ELEMENT DE V'(T N ) 14 1.4.3. LA DISTRIBUTION DE DIRAC S\
15 2. L'ALGEBRE G(T N ) DES FONCTIONS GENERALISEES PERIODIQUES 15 2.1.
ALGEBRE DES FONCTIONS GENERALISEES SUR R M 15 2.2. DEFINITION DE
L'ALGEBRE Q(T N ) \ 16 2.3. PROPRIETES DE Q 16 2.3.1. PROPRIETE (I) 16
2.3.2. PROPRIETE (II) 17 2.3.3. PROPRIETE (III) 17 2.4. FONCTIONS
REELLES GENERALISEES 18 2.5. FONCTIONS GENERALISEES PERIODIQUES SUR K N
18 2.6. NOMBRES COMPLEXES GENERALISES 18 2.6.1. DEFINITIONS 18 2.6.2.
NOMBRES REELS GENERALISES 19 2.7. RELATION D'ASSOCIATION DANS C ET DANS
G 19 2.7.1. RELATION D'ASSOCIATION DANS C 19 2.7.2. RELATION
D'ASSOCIATION DANS G 20 2.8. VALEURS PONCTUELLES D'UN ELEMENT DE G 21 3.
INTEGRATION ET COEFFICIENTS DE FOURIER 23 3.1. INTEGRATION DES FONCTIONS
GENERALISEES 23 3.2. CONVOLUTION DANS G 24 3.3. COEFFICIENTS DE FOURIER
25 3.4. SUITES A CROISSANCE LENTE DANS C 25 3.5. PROBLEMES DE REGULARITE
GLOBALE 27 3.5.1. ^-REGULARITE ET T ' A -REGULARITE 27 3.5.2.
F^-REGULARITE FAIBLE ET ^-REGULARITE FAIBLE 28 4 TABLE DES MATIERES
3.5.3. OPERATEURS DIFFERENTIELS REGULIERS 28 3.5.4. LA SOUS-ALGEBRE G
30 3.6. EXEMPLES : FONCTION DE GTT(R) ASSOCIEE A V.P.COTA;, EQUATION DES
ONDES 31 3.6.1. FONCTION DE STT(K) ASSOCIEE A V.P.COTA; 31 3.6.2.
EXEMPLES DE SOLUTIONS DE L'EQUATION DES ONDES 33 4. RESTRICTIONS DES
ELEMENTS DE G 34 4.1. RESTRICTION A UN SOUS-GROUPE 34 4.2. RESTRICTION A
UN OUVERT DE T* 37 4.2.1. FONCTIONS GENERALISEES BORNEES SUR UN OUVERT
37 4.2.2. RESTRICTION A U D'UN ELEMENT DE G 38 4.3. RESTRICTION A UN
FERME DE T N 39 4.3.1. FONCTIONS GENERALISEES SUR UN FERME DE T N 39
4.3.2. LIEN AVEC LES FONCTIONS GENERALISEES BORNEES 39 4.3.3. EXTENSION
D'UNE FONCTION GENERALISEE DEFINIE SUR UN FERME 40 II. DISTRIBUTIONS ET
FONCTIONS GENERALISEES SUR K M X T N 40 5. ESPACES FONCTIONNELS SUR 1 TO
X T N 40 5.1. DEFINITIONS 40 5.1.1. ESPACES C K (R M X T") 40 5.1.2.
ESPACES L P (M TO X T N ) 40 5.2. COEFFICIENTS DE FOURIER PARTIELS 41
5.2.1. COEFFICIENTS DE FOURIER DANS L^K" 1 X T N ) 41 5.2.2.
COEFFICIENTS DE FOURIER DANS (L M X T N ) 41 5.3. FONCTIONS DE CLASSE
C K SUR UN OUVERT DE M" 1 X T N 42 5.4. CONVOLUTION DANS (L M X T") N
L^L 7 * X T N ) 42 6. DISTRIBUTIONS SUR I 1 " X T" 43 6.1. DEFINITIONS
43 6.2. RESTRICTIONS ET SUPPORT D'UNE DISTRIBUTION 43 6.3. EXEMPLE DE
SUITE TENDANT VERS SQ 8\ 43 6.4. CONVOLUTION D'UNE DISTRIBUTION ET
D'UNE FONCTION 43 6.5. STRUCTURE LOCALE DES DISTRIBUTIONS '. 44 7.
FONCTIONS GENERALISEES SUR M" 1 X T* 48 7.1. NOTATIONS ET DEFINITIONS 48
7.2. INJECTIONS DE S M ' N ET DE V M ' N DANS C M ' N 49 7.3.
COEFFICIENTS DE FOURIER PARTIELS 52 7.3.1. INTEGRATION DES FONCTIONS
GENERALISEES 53 7.3.2. COEFFICIENTS DE FOURIER PARTIELS D'UNJELEMENT DE
G M ' N 53 7.4. FONCTIONS GENERALISEES SUR Q X T N ET SUR Q X T N 54
7.4.1. FONCTIONS GENERALISEES SUR Q X T" 54 7.4.2. FONCTIONS
GENERALISEES SUR Q X T" 54 7.4.3. RESTRICTIONS D'UN ELEMENT DE G M ' N A
Q X T N ET 7? X T N 55 III. EXEMPLES DE PROBLEMES DIFFERENTIELS 55 8.
EXEMPLES DE PROBLEMES DIFFERENTIELS 55 8.1. EQUATIONS DES ONDES ET DE LA
CHALEUR 55 8.1.1. EQUATION DES ONDES 55 8.1.2. EQUATION DE LA CHALEUR
DANS [0, OO[ X T" 57 8.2. EXEMPLE D'EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE 58
8.2.1. FONCTIONS NON LINEAIRES SUR C M ET {G(U)) M 58 8.2.2. RAPPEL DE
QUELQUES RESULTATS 59 8.2.3. ETUDE DE (I) DANS ( /2TT W)" 60 8.3.
EXEMPLE D'E.D.P. DANS G(R X T") 62 8.3.1. INTRODUCTION 62 TABLE DES
MATIERES 5 8.3.2. CONDITIONS SUR LA FONCTION / 62 8.3.3. ETUDE DANS LE
CAS DE DONNEES PERIODIQUES 63 8.3.4. ETUDE DU PROBLEME DANS C7(R X T")
64 8.4. PROBLEME DE GOURSAT A DONNEES GENERALISEES PERIODIQUES 66 8.4.1.
POSITION DU PROBLEME 66 8.4.2. ETUDE DU PROBLEME DANS LE CADRE CLASSIQUE
67 8.4.3. ETUDE DU PROBLEME DANS E 2 7R(T 2 ) 68 8.4.4. ETUDE DE
CERTAINS CAS LINEAIRES 70 8.4.5. ETUDE DE CERTAINS CAS NON LINEAIRES 72
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