Einführung in die Differentialgeometrie: mit 58 Aufgaben und zahlreichen Beispielen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Thun u.a.
Deutsch
1997
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| Ausgabe: | 3., überarb. Aufl. |
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Inhalt
Vorbereitung.7
Begriffe und Aussagen aus der Differential- und Integralrechnung.7
Begriffe und Aussagen aus der linearen Algebra und analytischen Geometrie.l3
Kurventheorie.'.29
Kurveund Parameterdarstellung.29
BogenlSnge.36
Begleitendes Dreibein und Frenetsche Formeln.41
Krtimmung und Windung einiger spezieller Kurven.45
Weitergehende Deutung von KrHmmung und Windung.47
Projektion in die Schmieg-, Normal- bzw. rektifizierende Ebene und
Naherungskurve gemaJJ Taylorentwicklung.55
Der Fundamentalsatz der Kurventheorie.59
Einige spezielle Kurven.63
a) BOschungslinien 63, b) Klothoide (Cornusche Spirale) 64,
c) Evolventen und Evoluten einiger Kurven 66, d) Rollkurven 72,
e) Spiralen oder Schneckenlinien 75
Einftthrung in die Krtlmmungstheorie einer Flache.80
Parameterdarstellung einer Flache und Fl&chenkurven.80
Tangentialebene und begleitendes Dreibein.;.87
Regelfiachen und andere einparametrische Scharen von Kurven.90
Bogeniange von Fiachenkurven und metrische FundamentalgrOBen.100
Anhang. Invarianz der Bogeniange und des Fiacheninhaltes bei
Parametertransformationen.105
Normal- und geodfttische KrUmmung von Fiachenkurven.108
Krtimmung und Normalkrtlmmung von Fiachenkurven gleicher Tangente.112
Hauptkrtlmmungen.115
Mittlsre und GauBsche Krtimmung.122
Die Indikatrix von DUPIN.126
Minimalflachen.131
Innere Geometrie einer Flache.135
Einfllhrung.135
Abwickelbarkeit und Verbiegbarkeit.140
Die Christoffelsymbole Fi als GrOBen der inneren Geometrie einer FlUche
und die absolute Differentiation.151
Theorema egregium.154
Der Fundamentalsatz der FlSchentheorie.160
g Inhalt
3.6. Die geodatische Krtlmmung.165
a) Ebene mit kartesischen Koordinaten 166, b) Ebene mit Polar-
koordinaten 167
3.7. Geodatische Linien.171
3.8. Geodatische Parallel- bzw. Polarkoordinaten und die Formel von
Bertrand und Puiseux.179
a) Geodatische Parallelkoordinaten zu gegebener w'-Linie A 182,
b) Geodatische Polarkoordinaten 182
3.9. Parallelverschiebung und absolute Ableitungsgleichungen.185
3.10. Abbildungen von Fiachen.„.188
a) Isometrische Abbildungen oder Abwicklungen 191, b) Ahnlichkeits-
abbildungen 191, c) Winkeltreue oder konforme Abbildungen 192,
d) Inhaltstreue Abbildungen 192
Anhang. Kartennetzentwflrfe.194
a) Orthographischer Entwurf 196, b) Gnomonischer Entwurf 196,
c) Stereographischer Entwurf 196, d) Lambertscher Azimutalentwurf 200,
e) Bonnescher Entwurf 200, f) Entwurf von Sanson und Flamsteed 201,
g) Mollweidescher Entwurf 202, h) Entwurf von ARCHIMEDES und
Lambert 204, i) Mercatorentwurf 205
4. Einftlhrung in die Riemannsche Geometrie.208
4.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.208
4.2. Tangentialraume.215
4.3. Tensoralgebra.217
4.4. Tensoranalysis.225
4.5. Affin zusammenhangende Raume.230
4.6. Riemannsche Raume.235
4.7. Kurventheorie in Riemannschen Raumen.239
4.8. Krummung eines Riemannschen Raumes.242
4.9. Raume konstanter Krttmmung.249
Anhang. Die Identitat von BlANCffl und ein Satz von F. Schur Ober
Raume konstanter Krummung.254
4.10. Finslersche Raume.256
Literatur.261
Bezeichnungen und Symbole.263
Namen- und Sachverzeichnis.266 |
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