Höhere Mathematik für Ingenieure: 4 Vektoranalysis und Funktionentheorie
Gespeichert in:
| Späterer Titel: | Haf, Herbert Funktionentheorie |
|---|---|
| Beteiligte Personen: | , , |
| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Springer Vieweg
1994
Stuttgart Teubner [früher] 1994 |
| Ausgabe: | 2., durchges. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Studium
|
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| Umfang: | XVI, 588 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3519129582 |
Internformat
MARC
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| adam_text | Inhalt
Vektoranalysis (F. Wille)
1 Kurven
1.1 Wege, Kurven, Bogenlängen 1
1.1.1 Einführung: Ebene Kurven 1
1.1.2 Kurven im IR 6
1.1.3 Glatte und stückweise glatte Kurven 10
1.1.4 Bogenlänge 13
1.1.5 Parametertransformation, Orientierung 19
1.2 Theorie ebener Kurven 24
1.2.1 Bogenlänge und umschlossene Fläche 24
1.2.2 Krümmung und Krümmungsradius 28
1.2.3 Tangenteneinheitsvektor, Normalenvektor, natürliche
Gleichung 33
1.2.4 Evolute und Evolvente 36
1.3 Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte 40
1.3.1 Kreis 40
1.3.2 Ellipse 45
1.3.3 Hyperbel 50
1.3.4 Parabel 54
1.3.5 Allgemeine Kegelschnittgleichung, Hauptachsentransfor¬
mation 60
1.4 Beispiele ebener Kurven II: Rollkurven, Blätter, Spiralen ... 66
1.4.1 Zykloiden 66
1.4.2 Epizykloiden 68
1.4.3 Anwendung: Wankelmotor 73
1.4.4 Hypozykloide 76
1.4.5 Blattartige Kurven 80
1.4.6 Kurbelgetriebe 85
1.4.7 Spiralen 86
1.5 Theorie räumlicher Kurven 92
1.5.1 Krümmung, Torsion und begleitendes Dreibein 92
1.5.2 Berechnung von Krümmung, Torsion und Dreibein in be¬
liebiger Parameterdarstellung 96
1.5.3 Natürliche Gleichungen und Frenetsche Formeln .... 101
Inhalt VII
1.6 Vektorfelder, Potentiale, Kurvenintegrale 104
1.6.1 Vektorfelder und Skalarfelder 104
1.6.2 Kurvenintegrale 107
1.6.3 Der Kurvenhauptsatz 112
1.6.4 Potentialkriterium 116
1.6.5 Berechnung von Potentialen 121
1.6.6 Beweis des Potentialkriteriums 126
2 Flächen und Flächenintegrale
2.1 Flächenstücke und Flächen 130
2.1.1 Flächenstücke 130
2.1.2 Tangentialebenen, Normalenvektoren 134
2.1.3 Parametertransformation, Orientierung 137
2.1.4 Flächen 141
2.2 Flächenintegrale 142
2.2.1 Flächeninhalt 142
2.2.2 Flächenintegrale erster und zweiter Art 146
2.2.3 Transformationsformel für Flächenintegrale zweiter Art 151
3 Integralsätze
3.1 Der Gaußsche Integralsatz 154
3.1.1 Ergiebigkeit, Divergenz 155
3.1.2 Der Gaußsche Integralsatz für Bereiche mit stückweise
glattem Rand 160
3.1.3 Die Kettenregel der Divergenz 163
3.1.4 Beweis des Gaußschen Integralsatzes für Bereiche mit
stückweise glattem Rand 165
3.1.5 Gaußscher und Greenscher Integralsatz in der Ebene . . 169
3.1.6 Der Gaußsche Integralsatz für Skalarfelder 173
3.2 Der Stokessche Integralsatz 175
3.2.1 Einfache Flächenstücke 176
3.2.2 Zirkulation, Wirbelstärke, Rotation 177
3.2.3 Idee des Stokesschen Integralsatzes 183
3.2.4 Stokesscher Integralsatz im dreidimensionalen Raum . . 184
3.2.5 Zirkulation und Stokesscher Satz in der Ebene 188
3.3 Weitere Differential und Integralformeln 190
3.3.1 Nabla Operator 191
3.3.2 Formeln über Zusammensetzungen mit grad, div und rot 192
VIII Inhalt
3.3.3 Gaußscher und Stokesscher Satz in div , grad , rot und
Nabla Form 193
3.3.4 Partielle Integration 196
3.3.5 Die beiden Greenschen Integralformeln 198
3.3.6 Krummlinige orthogonale Koordinaten 199
3.3.7 Die Differentialoperatoren grad, div, rot, A in krummlini¬
gen orthogonalen Koordinaten 204
3.4 Wirbelfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale 208
3.4.1 Wirbelfreiheit: rot V = 0, skalare Potentiale 208
3.4.2 Laplace Gleichung, harmonische Funktionen 210
3.4.3 Poissongleichung 213
3.4.4 Quellenfreiheit: div V = 0, Vektorpotentiale 215
3.4.5 Quellfreie Vektorpotentiale 220
3.4.6 Helmholtzscher Zerlegungssatz 222
4 Alternierende Differentialformen
4.1 Alternierende Differentialformen im IR3 225
4.1.1 Integralsätze in Komponentenschreibweise 225
4.1.2 Differentialformen und totale Differentiale 228
4.1.3 Rechenregeln für Differentialformen 230
4.1.4 Integration von Differentialformen, Integralsätze 235
4.2 Altemierende Differentialformen im IRn 236
4.2.1 Definition, Rechenregeln 237
4.2.2 Integrale über p dimensionalen Flächen 238
4.2.3 Transformationsformel für Integrale 240
4.2.4 Der allgemeine Stokessche Satz 241
5 Kartesische Tensoren
5.1 Tensoralgebra 243
5.1.1 Motivation: Spannungstensor 243
5.1.2 Definition kartesischer Tensoren 245
5.1.3 Rechenregeln für Tensoren 251
5.1.4 Invariante Tensoren 255
5.1.5 Diagonalisierung symmetrischer Tensoren und das Ten
sorellipsoid 258
5.2 Tensoranalysis 261
5.2.1 Differenzierbare Tensorfelder, Fundamentalsatz der Feld¬
theorie 261
Inhalt IX
5.2.2 Zusammenhang zwischen Tensorgradienten und grad, div,
rot, A 264
5.2.3 Der Gaußsche Satz für Tensorfelder zweiter Stufe .... 266
5.2.4 Anwendungen 267
Funktionentheorie (H. Hat)
6 Grundlagen
6.1 Komplexe Zahlen 274
6.1.1 Wiederholung und Ergänzung 274
6.1.2 Die Riemannsche Zahlenkugel 280
6.1.3 Topologische Hilfsmittel 281
6.1.4 Folgen von komplexen Zahlen 281
6.1.5 Reihen von komplexen Zahlen 288
6.1.6 Kurven und Gebiete in C 290
6.2 Funktionen einer komplexen Variablen 298
6.2.1 Funktionsbegriff 298
6.2.2 Stetigkeit 300
6.2.3 Elementare Funktionen 303
7 Holomorphe Funktionen
7.1 Differenzierbarkeit im Komplexen, Holomorphie 311
7.1.1 Ableitungsbegriff, Holomorphie 311
7.1.2 Rechenregeln für holomorphe Funktionen 314
7.1.3 Die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen . . . 315
7.1.4 Umkehrung der elementaren Funktionen 323
7.1.5 Die Potentialgleichung 330
7.2 Komplexe Integration 336
7.2.1 Integralbegriff 336
7.2.2 Der Cauchysche Integralsatz 343
7.2.3 Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz 345
7.2.4 Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes 359
7.2.5 Abwendungen der komplexen Integralrechnung 360
7.3 Erzeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse . . . 375
7.3.1 Folgen von Funktionen 375
7.3.2 Reihen von Funktionen 379
7.3.3 Potenzreihen 381
X Inhalt
7.3.4 Charakterisierung holomorpher Funktionen 387
7.3.5 Analytische Fortsetzung 387
7.4 Asymptotische Abschätzungen 400
7.4.1 Asymptotische Entwicklungen 400
7.4.2 Die Sattelpunktmethode 405
8 Isolierte Singularitäten, Laurententwicklung
8.1 Laurentreihen 414
8.1.1 Holomorphe Funktionen in Ringgebieten 414
8.1.2 Singularitäten 420
8.2 Residuensatz und Anwendungen 426
8.2.1 Der Residuensatz 426
8.2.2 Das Prinzip vom Argument 430
8.2.3 Anwendungen: (a) Berechnung von reellen uneigentli¬
chen Integralen 433
(b) Die Eulersche Gammafunktion 442
9 Konforme Abbildungen
9.1 Einführung in die Theorie konformer Abbildungen 453
9.1.1 Geometrische Kennzeichnung holomorpher Funktionen 453
9.1.2 Der Riemannsche Abbildungssatz 457
9.1.3 Spezielle konforme Abbildungen 460
9.2 Anwendungen auf die Potentialtheorie 485
9.2.1 Dirichletsche Randwertprobleme 485
9.2.2 Neumannsche Randwertprobleme 489
9.2.3 Potential von Punktladungen 492
9.2.4 Ebene stationäre Strömungen 497
10 Anwendungen der Funktionentheorie auf die Besselsche Diffe¬
rentialgleichung
10.1 Die Besselsche Differentialgleichung 508
10.1.1 Motivierung 508
10.1.2 Die Hankeischen Funktionen 510
10.1.3 Allgemeine Lösung der Besselschen Differentialglei¬
chung 515
Inhalt XI
10.2 Die Besselsehen und Neumannschen Funktionen 517
10.2.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften 517
10.2.2 Integraldarstellungen der Besselsehen Funktionen .... 521
10.2.3 Reihenentwicklung und asymptotisches Verhalten der
Besselsehen Funktionen 523
10.2.4 Orthogonalität und Nullstellen der Besselsehen Funktio¬
nen 527
10.2.5 Die Neumannschen Funktionen 531
10.2.6 Verhalten der Lösung der Besselsehen Differentialglei¬
chung 535
10.3 Anwendungen 535
10.3.1 Radialsymmetrische Lösungen der Schwingungsgleichung 535
10.3.2 Schwingungen einer Membran 538
Anhang 545
Lösungen zu den Übungen1) 548
Symbole 567
Literatur 570
Sachverzeichnis 577
) Zu den mit * versehenen Übungen werden Lösungen angegeben oder Lösungswege skiz¬
ziert
Inhalt
Vektoranalysis (F. Wille)
1 Kurven
1.1 Wege, Kurven, Bogenlängen 1
1.1.1 Einführung: Ebene Kurven 1
1.1.2 Kurven im IR 6
1.1.3 Glatte und stückweise glatte Kurven 10
1.1.4 Bogenlänge 13
1.1.5 Parametertransformation, Orientierung 19
1.2 Theorie ebener Kurven 24
1.2.1 Bogenlänge und umschlossene Fläche 24
1.2.2 Krümmung und Krümmungsradius 28
1.2.3 Tangenteneinheitsvektor, Normalenvektor, natürliche
Gleichung 33
1.2.4 Evolute und Evolvente 36
1.3 Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte 40
1.3.1 Kreis 40
1.3.2 Ellipse 45
1.3.3 Hyperbel 50
1.3.4 Parabel 54
1.3.5 Allgemeine Kegelschnittgleichung, Hauptachsentransfor¬
mation 60
1.4 Beispiele ebener Kurven II: Rollkurven, Blätter, Spiralen ... 66
1.4.1 Zykloiden 66
1.4.2 Epizykloiden 68
1.4.3 Anwendung: Wankelmotor 73
1.4.4 Hypozykloide 76
1.4.5 Blattartige Kurven 80
1.4.6 Kurbelgetriebe 85
1.4.7 Spiralen 86
1.5 Theorie räumlicher Kurven 92
1.5.1 Krümmung, Torsion und begleitendes Dreibein 92
1.5.2 Berechnung von Krümmung, Torsion und Dreibein in be¬
liebiger Parameterdarstellung 96
1.5.3 Natürliche Gleichungen und Frenetsche Formeln .... 101
Inhalt VII
1.6 Vektorfelder, Potentiale, Kurvenintegrale 104
1.6.1 Vektorfelder und Skalarfelder 104
1.6.2 Kurvenintegrale 107
1.6.3 Der Kurvenhauptsatz 112
1.6.4 Potentialkriterium 116
1.6.5 Berechnung von Potentialen 121
1.6.6 Beweis des Potentialkriteriums 126
2 Flächen und Flächenintegrale
2.1 Flächenstücke und Flächen 130
2.1.1 Flächenstücke 130
2.1.2 Tangentialebenen, Normalenvektoren 134
2.1.3 Parametertransformation, Orientierung 137
2.1.4 Flächen 141
2.2 Flächenintegrale 142
2.2.1 Flächeninhalt 142
2.2.2 Flächenintegrale erster und zweiter Art 146
2.2.3 Transformationsformel für Flächenintegrale zweiter Art 151
3 Integralsätze
3.1 Der Gaußsche Integralsatz 154
3.1.1 Ergiebigkeit, Divergenz 155
3.1.2 Der Gaußsche Integralsatz für Bereiche mit stückweise
glattem Rand 160
3.1.3 Die Kettenregel der Divergenz 163
3.1.4 Beweis des Gaußschen Integralsatzes für Bereiche mit
stückweise glattem Rand 165
3.1.5 Gaußscher und Greenscher Integralsatz in der Ebene . . 169
3.1.6 Der Gaußsche Integralsatz für Skalarfelder 173
3.2 Der Stokessche Integralsatz 175
3.2.1 Einfache Flächenstücke 176
3.2.2 Zirkulation, Wirbelstärke, Rotation 177
3.2.3 Idee des Stokesschen Integralsatzes 183
3.2.4 Stokesscher Integralsatz im dreidimensionalen Raum . . 184
3.2.5 Zirkulation und Stokesscher Satz in der Ebene 188
3.3 Weitere Differential- und Integralformeln 190
3.3.1 Nabla-Operator 191
3.3.2 Formeln über Zusammensetzungen mit grad, div und rot 192
VIII Inhalt
3.3.3 Gaußscher und Stokesscher Satz in div-, grad-, rot- und
Nabla-Form 193
3.3.4 Partielle Integration 196
3.3.5 Die beiden Greenschen Integralformeln 198
3.3.6 Krummlinige orthogonale Koordinaten 199
3.3.7 Die Differentialoperatoren grad, div, rot, A in krummlini¬
gen orthogonalen Koordinaten 204
3.4 Wirbelfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale 208
3.4.1 Wirbelfreiheit: rot V = 0, skalare Potentiale 208
3.4.2 Laplace-Gleichung, harmonische Funktionen 210
3.4.3 Poissongleichung 213
3.4.4 Quellenfreiheit: div V = 0, Vektorpotentiale 215
3.4.5 Quellfreie Vektorpotentiale 220
3.4.6 Helmholtzscher Zerlegungssatz 222
4 Alternierende Differentialformen
4.1 Alternierende Differentialformen im IR3 225
4.1.1 Integralsätze in Komponentenschreibweise 225
4.1.2 Differentialformen und totale Differentiale 228
4.1.3 Rechenregeln für Differentialformen 230
4.1.4 Integration von Differentialformen, Integralsätze 235
4.2 Altemierende Differentialformen im IRn 236
4.2.1 Definition, Rechenregeln 237
4.2.2 Integrale über p-dimensionalen Flächen 238
4.2.3 Transformationsformel für Integrale 240
4.2.4 Der allgemeine Stokessche Satz 241
5 Kartesische Tensoren
5.1 Tensoralgebra 243
5.1.1 Motivation: Spannungstensor 243
5.1.2 Definition kartesischer Tensoren 245
5.1.3 Rechenregeln für Tensoren 251
5.1.4 Invariante Tensoren 255
5.1.5 Diagonalisierung symmetrischer Tensoren und das Ten-
sorellipsoid 258
5.2 Tensoranalysis 261
5.2.1 Differenzierbare Tensorfelder, Fundamentalsatz der Feld¬
theorie 261
Inhalt IX
5.2.2 Zusammenhang zwischen Tensorgradienten und grad, div,
rot, A 264
5.2.3 Der Gaußsche Satz für Tensorfelder zweiter Stufe .... 266
5.2.4 Anwendungen 267
Funktionentheorie (H. Hat)
6 Grundlagen
6.1 Komplexe Zahlen 274
6.1.1 Wiederholung und Ergänzung 274
6.1.2 Die Riemannsche Zahlenkugel 280
6.1.3 Topologische Hilfsmittel 281
6.1.4 Folgen von komplexen Zahlen 281
6.1.5 Reihen von komplexen Zahlen 288
6.1.6 Kurven und Gebiete in C 290
6.2 Funktionen einer komplexen Variablen 298
6.2.1 Funktionsbegriff 298
6.2.2 Stetigkeit 300
6.2.3 Elementare Funktionen 303
7 Holomorphe Funktionen
7.1 Differenzierbarkeit im Komplexen, Holomorphie 311
7.1.1 Ableitungsbegriff, Holomorphie 311
7.1.2 Rechenregeln für holomorphe Funktionen 314
7.1.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen . . . 315
7.1.4 Umkehrung der elementaren Funktionen 323
7.1.5 Die Potentialgleichung 330
7.2 Komplexe Integration 336
7.2.1 Integralbegriff 336
7.2.2 Der Cauchysche Integralsatz 343
7.2.3 Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz 345
7.2.4 Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes 359
7.2.5 Abwendungen der komplexen Integralrechnung 360
7.3 Erzeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse . . . 375
7.3.1 Folgen von Funktionen 375
7.3.2 Reihen von Funktionen 379
7.3.3 Potenzreihen 381
X Inhalt
7.3.4 Charakterisierung holomorpher Funktionen 387
7.3.5 Analytische Fortsetzung 387
7.4 Asymptotische Abschätzungen 400
7.4.1 Asymptotische Entwicklungen 400
7.4.2 Die Sattelpunktmethode 405
8 Isolierte Singularitäten, Laurententwicklung
8.1 Laurentreihen 414
8.1.1 Holomorphe Funktionen in Ringgebieten 414
8.1.2 Singularitäten 420
8.2 Residuensatz und Anwendungen 426
8.2.1 Der Residuensatz 426
8.2.2 Das Prinzip vom Argument 430
8.2.3 Anwendungen: (a) Berechnung von reellen uneigentli¬
chen Integralen 433
(b) Die Eulersche Gammafunktion 442
9 Konforme Abbildungen
9.1 Einführung in die Theorie konformer Abbildungen 453
9.1.1 Geometrische Kennzeichnung holomorpher Funktionen 453
9.1.2 Der Riemannsche Abbildungssatz 457
9.1.3 Spezielle konforme Abbildungen 460
9.2 Anwendungen auf die Potentialtheorie 485
9.2.1 Dirichletsche Randwertprobleme 485
9.2.2 Neumannsche Randwertprobleme 489
9.2.3 Potential von Punktladungen 492
9.2.4 Ebene stationäre Strömungen 497
10 Anwendungen der Funktionentheorie auf die Besselsche Diffe¬
rentialgleichung
10.1 Die Besselsche Differentialgleichung 508
10.1.1 Motivierung 508
10.1.2 Die Hankeischen Funktionen 510
10.1.3 Allgemeine Lösung der Besselschen Differentialglei¬
chung 515
Inhalt XI
10.2 Die Besselsehen und Neumannschen Funktionen 517
10.2.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften 517
10.2.2 Integraldarstellungen der Besselsehen Funktionen .... 521
10.2.3 Reihenentwicklung und asymptotisches Verhalten der
Besselsehen Funktionen 523
10.2.4 Orthogonalität und Nullstellen der Besselsehen Funktio¬
nen 527
10.2.5 Die Neumannschen Funktionen 531
10.2.6 Verhalten der Lösung der Besselsehen Differentialglei¬
chung 535
10.3 Anwendungen 535
10.3.1 Radialsymmetrische Lösungen der Schwingungsgleichung 535
10.3.2 Schwingungen einer Membran 538
Anhang 545
Lösungen zu den Übungen1) 548
Symbole 567
Literatur 570
Sachverzeichnis 577
) Zu den mit * versehenen Übungen werden Lösungen angegeben oder Lösungswege skiz¬
ziert
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Inhaltsverzeichnis
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| Exemplar 2 | Ausleihbar Am Standort |
| Exemplar 3 | Ausleihbar Am Standort |
| Exemplar 4 | Ausleihbar Am Standort |
| Exemplar 5 | Ausleihbar Am Standort |
Teilbibliothek Stammgelände
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|---|---|
| Exemplar 1 | Nicht ausleihbar Am Standort |
Teilbibliothek Maschinenwesen
| Signatur: |
0704 MAT 001f 07.2002 A 144 Lageplan |
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| Exemplar 1 | Nicht ausleihbar Am Standort |