Mathematik wirklich verstehen: e. Einf. in ihre Grundbegriffe u. Denkweisen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Köln
Aulis-Verl. Deubner
1994
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| Ausgabe: | 2., verb. Aufl. |
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| Umfang: | 330 S. graph. Darst., Tab. |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort 11
Teil A Zahlen
Vorbemerkungen 13
Kapitel 1 Natürliche Zahlen 14
1.1 Wozu verwendet man die natürlichen Zahlen? Was bedeuten dann die Operatio¬
nen + , •, ? 14
1.1.1 Ordinale und kardinale Verwendung 14
1.1.2 Eineindeutige Zuordnungen 15
1.1.3 Anzahlbestimmung durch eineindeutiges Zuordnen 16
1.1.4 Endlich und unendlich 18
1.1.5 Zur Bedeutung der Operationen +, •, 19
Aufgaben 1.1 20
1.2 Anzahlbestimmung mittels Summenregel und Produktregel 21
1.2.1 Summenregel 21
1.2.2 Geordnete Paare, Kreuzprodukt, Produktregel 23
1.2.3 Allgemeine Produktregel 25
Aufgaben 1.2 28
1.3 Die Stellenwertschreibweise für natürliche Zahlen; Beispiele für Algorithmen. 29
1.3.1 Division mit Rest 29
1.3.2 Darstellung natürlicher Zahlen in einem Stellenwertsystem 31
1.3.3 Ausrechnen von Potenzsummen; Horner-Schema 33
1.3.4 Wie spiegeln sich die Operationen +, •, in der Stellenwertschreibweise wider? 34
1.3.5 Ergänzung: Der euklidische Algorithmus 36
Aufgaben 1.3 37
1.4 Primzahlen als „Bausteine von IM 38
1.4.1 Primzahlen 38
1.4.2 Primfaktorzerlegung 39
1.4.3 Die Unendlichkeit der Menge aller Primzahlen 40
1.4.4 Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung 41
1.4.5 Erste Folgerungen aus der Eindeutigkeit der PFZ 42
Aufgaben 1.4 44
Kapitel 2 Bruchzahlen (positive rationale Zahlen) und Größen 44
2.1 Schreibweisen (Bezeichnungen) für Bruchzahlen 45
2.1.1 Bezeichnung durch gewöhnliche Brüche; Addition und Multiplikation 45
2.1.2 Bezeichnung durch Dezimalbrüche 47
2.1.3 Stellt jeder periodische Dezimalbruch eine Bruchzahl dar, und wie findet man
deren Bruchdarstellung? 48
Aufgaben 2.1 50
2.2 Verwendung der Bruchzahlen als Maßzahlen; Rechnen mit Größen 50
2.2.1 Größenmäßige Beschreibung von Gegenständen durch Maßzahl und Maßeinheit 50
2.2.2 Was sind Größen; wie vergleicht und addiert man sie? 52
2.2.3 Grundlegende Rechengesetze für Größen 53
5
2.2.4 Teilbarkeitseigenschaft; Vervielfachung von Größen mit Bruchzahlen 55
2.2.5 Division und Multiplikation von Größen 57
Aufgaben 2.2 58
2.3 Wichtige Unterschiede zwischen den Zahlbereichen IM und Q+ 59
2.3.1 Lösbarkeit jeder Gleichung ax=b 59
2.3.2 Dichtheit der Bruchzahlen 60
2.3.3 Endlichkeit, Beschränktheit und größte Zahl einer Zahlenmenge 61
Aufgaben 2.3 62
Kapitel 3 Rationale (insbesondere ganze, auch negative) Zahlen 63
3.1 Wozu verwendet man die rationalen Zahlen? Was bedeuten dann die Rechenope¬
rationen? 63
3.1.1 Verwendungszwecke 63
3.1.2 Bedeutung der Kleinerbeziehung und der Addition 64
3.1.3 Gegenzahlbildung, Subtraktion 65
3.1.4 Bedeutung der Multiplikation 66
Aufgaben 3.1 68
3.2 Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation in Q 69
3.2.1 Körper-Axiome 69
3.2.2 Erste Definitionen und Beweise 70
3.2.3 Verwendung des Distributivgesetzes und der multiplikativen Inversen 72
Aufgaben 3.2 74
3.3 Die Kleinerbeziehung in Q; Betrag einer rationalen Zahl 74
3.3.1 Anordnungsaxiome 74
3.3.2 Definitionen und Beweise auf Grund der Anordnungsaxiome 75
3.3.3 Hinweise zur Gleichheitsbeziehung 77
3.3.4 Betrag einer rationalen Zahl 77
Aufgaben 3.3 79
3.4 Runden von Zahlen; elementare Fehlerrechnung 80
3.4.1 Runden; zuverlässige und gesicherte Ziffern 80
3.4.2 Absoluter und relativer (prozentualer) Fehler 81
3.4.3 Fortpflanzung absoluter Fehler bei den Grundrechenarten 83
3.4.4 Fortpflanzung relativer Fehler bei den Grundrechenarten 85
Aufgaben 3.4 86
Kapitel 4 Reelle Zahlen 87
4.1 Wozu benötigt man die reellen Zahlen? 87
4.1.1 Inkommensurable Streckenpaare 87
4.1.2 Unzulänglichkeiten der rationalen Zahlen 88
4.1.3 Reelle Zahlen; irrationale Zahlen 90
Aufgaben 4.1 91
4.2 Reelle Zahlen und Dezimalbrüche; Rechengesetze 91
4.2.1 Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Dezimalbrüchen 91
4.2.2 Rechengesetze für reelle Zahlen 94
4.2.3 Intervallschachtelungs-Axiom, Archimedisches Axiom 95
Aufgaben 4.2 97
4.3 Einiges über Wurzeln 97
6
4.3.1 Wurzeln und Gleichungslösungen 97
4.3.2 Arithmetisches und geometrisches Mittel 98
4.3.3 Verfahren zur Quadratwurzelberechnung 100
Aufgaben 4.3 102
Teil B Mengen, Aussagen, Beweise 105
Vorbemerkungen 105
Kapitel 5 Aussageformen und ihre Erfüllungsmengen 105
5.1 Beschreibung von Mengen mittels Aussageformen 105
5.1.1 Aufzählende und beschreibende Schreibweise 105
5.1.2 Äquivalenz von Aussageformen 107
5.1.3 „Gleichungslehre 108
5.1.4 Mengen von Zahlenpaaren; zweistellige Aussageformen 110
Aufgaben 5.1 112
5.2 Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit von Aussageformen; Allaussagen und
Existenzaussagen 113
5.2.1 AUgemeingültigkeit, Allaussagen 113
5.2.2 Erfüllbarkeit, Existenzaussagen 114
5.2.3 Teilweise (oder: schrittweise) Quantifizierung einer zweistelligen Aussageform 115
5.2.4 Negation von All- und Existenzaussagen 116
Aufgaben 5.2 117
Kapitel 6 Operationen für Aussagen und Mengen 118
6.1 Die aussagenlogischen Operationen und ihre Entsprechung zu Mengenopera¬
tionen 118
6.1.1 Erinnerung an die Aussagenlogik 118
6.1.2 Entsprechungen zwischen logischen und Mengenoperationen 119
6.1.3 Beispiele, insbesondere Gleichungs- und Ungleichungssysteme 119
6.1.4 Wichtige Kombinationen von „nicht , „und , „oder 123
Aufgaben 6.1 124
6.2 Rechenregeln für die Mengenoperationen und Beweisverfahren dafür 125
6.2.1 fl, U,~ als Operationen in der Potenzmenge 125
6.2.2 Wichtige Rechenregeln für (1, U, 125
6.2.3 Beweise mittels Zugehörigkeitstafeln 127
6.2.4 Beweise mittels Venn-Diagrammen 128
6.2.5 Beweise durch Folgern aus Grundgesetzen 129
Aufgaben 6.2 131
6.3 Vereinigung und Durchschnitt von beliebig vielen Mengen; Klasseneinteilungen 132
6.3.1 Vereinigung unendlich vieler Mengen 132
6.3.2 Durchschnitt unendlich vieler Mengen 134
6.3.3 Klasseneinteilungen einer Menge 135
Aufgaben 6.3 137
Kapitel 7 „Wenn — dann und „also 138
7.1 Implikation und Äquivalenz 138
7.1.1 Der Junktor „=* in der Aussagenlogik 138
7
7.1.2 Beispiele aus der Mathematik 139
7.1.3 Der Junktor „*» 141
7.1.4 Sprachliche Formulierungen für Wenn-dann-Aussagen und Genau-dann-wenn-
Aussagen 142
7.1.5 Umkehrung und Kontraposition von Wenn-dann-Aussagen 144
Aufgaben 7.1 145
7.2 Die Mengen-Inklusion und ihre Eigenschaften 145
7.2.1 Entsprechungen zwischen der Implikation und der Mengeninklusion 145
7.2.2 Wichtige Eigenschaften der Mengen-Inklusion 146
Aufgaben 7.2 147
7.3 Hinweise zum Gebrauch des Wortes „also ; Schlußschemata 148
7.3.1 Beispiele 148
7.3.2 Die Abtrennungsregel und verwandte Schlußschemata 149
7.4 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion 151
7.4.1 Einführende Beispiele 151
7.4.2 Allgemeine Beschreibung und Diskussion des Beweisverfahrens 153
7.4.3 Die Sätze von der kleinsten Zahl einer Zahlenmenge und von der Eindeutigkeit
der Primfaktorzerlegung 155
7.4.4 Die Induktionseigenschaft als Charakteristikum der natürlichen Zahlen 157
Aufgaben 7.4 158
Teil C Funktionen (Abbildungen) und Relationen 160
Kapitel 8 Der Funktionsbegriff (Abbildungsbegriff): Definitionen und Beispiele ... 160
8.1 Funktionen auf dem Taschenrechner 160
8.1.1 Einstellige Funktionen 160
8.1.2 Plus-, Minus-, Mal und Durch-Operatoren 161
8.1.3 Zweistellige Funktionen 162
Aufgaben 8.1 164
8.2 Definitionen, Bezeichnungsweisen, Darstellungsweisen 164
8.2.1 Funktion, Definitionsmenge, Zielmenge, Wertemenge 164
8.2.2 Gleichheit von Funktionen; Namen für Funktionen 166
8.2.3 Darstellungsweisen für Funktionen 167
8.2.4 Injektiv, surjektiv, bijektiv 169
8.2.5 Fortsetzen und Einschränken von Funktionen 170
Aufgaben 8.2 172
8.3 Abbildungen endlicher Mengen; Folgen als Abbildungen 173
8.3.1 Abbildungen mit endlicher Definitions- und Zielmenge 173
8.3.2 Anzahlen solcher Abbildungen; Permutationen 175
8.3.3 Folgen als Abbildungen mit Definitionsbereich N 176
8.3.4 Rekursive Definition von Folgen 177
Aufgaben 8.3 178
8.4 Vier Typen geometrisch interpretierbarer Funktionen bzw. Abbildungen 180
8.4.1 Funktionen vom Typ IR -» IR 180
8.4.2 Funktionen vom Typ IR2 -» IR 183
8.4.3 Abbildungen vom Typ IR -* IR2 186
8.4.4 Abbildungen vom Typ IR2 -» IR2 189
Aufgaben 8.4 193
8
8.5 Maßfunktionen 196
8.5.1 Die Kardinalzahlfunktion 197
8.5.2 Flächeninhalt, Kurvenlänge 198
8.5.3 Bewertungsfunktionen 200
Aufgaben 8.5 202
Kapitel 9 Operationen für Funktionen 203
9.1 Verketten und Umkehren von Funktionen 203
9.1.1 Verketten 203
9.1.2 Umkehren 205
9.1.3 Ein Beispiel: Affine Abbildungen der Geraden 207
9.1.4 Abbildungsgruppen 210
Aufgaben 9.1 210
9.2 Elementargeometrische Abbildungen und ihre Verkettung 211
9.2.1 Affine Abbildungen der Ebene 211
9.2.2 Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen 213
9.2.3 Kongruenzabbildungen als Spiegelungsketten und als Isometrien 216
Aufgaben 9.2 219
9.3 Spezielle Operationen für reelle Funktionen 220
9.3.1 Addition und Multiplikation 220
9.3.2 Entsprechung zu den Mengenoperationen (Charakteristische Funktionen) 222
9.3.3 Verkettung von reellen Funktionen mit affinen 224
9.3.4 Symmetrieeigenschaften von Funktionsgraphen 226
9.3.5 Die Funktionalgleichungen der linearen und der Exponentialfunktionen 228
Aufgaben 9.3 231
Kapitel 10 Relationen 233
10.1 Der Relationsbegriff in Beziehung zu anderen Begriffen 233
10.1.1 Was ist eine Relation? 233
10.1.2 Beispiele und Darstellungsweisen für Relationen 235
10.1.3 Operationen mit Relationen 237
10.1.4 Funktionen als spezielle Relationen 239
Aufgaben 10.1 241
10.2 Eigenschaften von Relationen; Ordnungsrelationen 241
10.2.1 Transitivität 241
10.2.2 Reflexivität und Irreflexivität 242
10.2.3 Symmetrie und Antisymmetrie, Trichotomie 243
10.2.4 Ordnungsrelationen 244
Aufgaben 10.2 246
10.3 Äquivalenzrelationen 247
10.3.1 Äquivalenzrelationen und Gleichheit 247
10.3.2 Äquivalenzrelationen und Abbildungsgruppen 248
10.3.3 Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen 251
10.3.4 Eine Anwendung: Grundaufgaben der Kombinatorik 253
10.3.5 Begriffsbildung durch Abstraktion bzgl. einer Äquivalenzrelation 256
Aufgaben 10.3 257
9
Kapitel 11 Begründung von Zahlbegriffen 258
11.1 Reelle Zahlen, rationale Zahlen 259
11.1.1 Zahlen als Größenverhältnisse 259
11.1.2 Rekonstruktion der Bruchzahlen als Operatoren 261
11.1.3 Rekonstruktion der Bruchzahlen als Verhältnisse von natürlichen Zahlen 264
11.1.4 Negative Zahlen 267
Aufgaben 11.1 269
11.2 Gleichmächtigkeit von Mengen; Kardinalzahlen 270
11.2.1 Die Gleichmächtigkeit als Äquivalenzrelation zwischen Mengen 270
11.2.2 Nochmals: endliche und unendliche Mengen 271
11.2.3 Abzählbar unendliche Mengen 271
11.2.4 Kontinuum-unendliche Mengen 274
11.2.5 Kardinalzahlen 277
11.2.6 Gibt es noch größere Kardinalzahlen? 279
Aufgaben 11.2 280
Lösungen der Aufgaben 282
zu Kapitel 1 282
zu Kapitel 2 285
zu Kapitel 3 288
zu Kapitel 4 292
zu Kapitel 5 295
zu Kapitel 6 297
zu Kapitel 7 302
zu Kapitel 8 305
zu Kapitel 9 314
zu Kapitel 10 320
zu Kapitel 11 324
Stichwortverzeichnis 328
10
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