Technische Mechanik für Ingenieure: 2 Festigkeitslehre
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1994
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| Schriftenreihe: | Viewegs Fachbücher der Technik
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| Umfang: | XII, 500 S. graph. Darst. |
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Inhaltsverzeichnis
Mathematische Grundlagen für die Mechanik
Gl Lösung von linearen Gleichungssystemen......................................... 1
Gl.l Verketteter Algorithmus von Gauß-Banachiewicz............................. 1
G1.2
Inversions-
Verfahren von Cholesky.......................................... 7
G1.3 Inversion einer Dreiecksmatrix.............................................. 11
G2 Lösung einer Gleichung 3. Grades ............................................... 14
Festigkeitslehre
1 Grundlegende Betrachtungen................................................... 17
1.1 Zweck und Aufbau einer Festigkeitsberechnung............................... 17
1.2 Einteilung der beanspruchten Bauteile....................................... 18
1.2.1 Typische Grundformen............................................... 18
1.2.2 Elementare Belastungsarten .......................................... 19
1.3 Voraussetzungen und Annahmen............................................ 20
2 Elastizitätstheoretische Grundlagen .............................................. 21
2.1 Definition der Spannungen................................................. 21
2.2 Bezeichnung der Spannungen............................................... 23
2.2.1 Bedeutung der Indizes ............................................... 23
2.2.2 Vorzeichen-Festlegung............................................... 23
2.3 Spannungstensor.......................................................... 24
2.4 Zusammenfassung der Spannungen zu Schnittgrößen........................... 25
2.5 Gleichgewichtsbedingungen des Kontinuums.................................. 26
2.6 Gleichheit zugeordneter Schubspannungen................................... 29
3 Verformung eines belasteten Körpers............................................ 30
3.1 Längenänderungen durch Normalspannungen................................. 30
3.2 Winkeländerungen durch Schubspannungen.................................. 33
3.3 Längen- und Winkelverformungen .......................................... 35
4 Zusammenhang zwischen Spannung und Verformung............................... 37
4.1 Prinzip von Saint-
Venant
................................................... 37
4.2 Formänderungen durch einachsige Normalspannung........................... 37
4.2.1 Werkstoffverhalten und Stoffgesetze................................... 37
4.2.2 Verformungen von Stabsystemen...................................... 37
4.2.2.1 Zugstab mit Berücksichtigung des Eigengewichts................. 43
4.2.2.2 Unsymmetrischer Zweistäbeverband............................ 45
4.2.2.3 Verformung eines Fachwerks.................................. 47
4.2.2.4 Symmetrischer Zweistäbeverband.............................. 48
4.4.2.5 Symmetrischer Dreistäbeverband............................... 51
4.2.2.6 Druckbelasteter Betonklotz mit Eisenarmierung.................. 53
4.2.2.7 Druckslab (Säule) gleicher Festigkeit........................... 53
4.2.2.8 Wärmespannungen durch unterschiedliche Wärmedehnungen...... 54
4.2.2.9 Zwischen den Gelenkpunkten belasteter Stab.................... 56
VIII Inhaltsverzeichnis
4.2.3 Schrauben-Flansch-Verbindung....................................... 57
4.3 Formänderung durch Schubspannungen...................................... 67
4.4 Formänderungen beim allgemeinen Spannungszustand......................... 68
4.4.1 Längenänderungen durch Normalspannungen........................... 68
4.4.2 Winkeländerungen durch Schubspannungen............................. 70
4.4.3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen in Matrizenform . 70
4.4.4 Volumendehnung (kubische Dilatation)................................ 71
5 Dauerfestigkeit und Kerbwirkung................................................ 73
5.1 Lastfälle und Werkstoffestigkeit............................................. 73
5.2 Einflüsse auf die Dauerfestigkeit...................................·........ 77
5.2.1 Kerbwirkung........................................................ 77
5.2.1.1 Statische Beanspruchung...................................... 79
5.2.1.2 Schwingende Beanspruchung.................................. 82
5.2.2 Stoßwirkung........................................................ 83
6 Abhängigkeit der Spannungen von der Schnittrichtung.............................. 85
6.1 Einachsiger Spannungszustand.............................................. 85
6.2 Zweiachsiger (ebener) Spannungszustand.................................... 87
6.2.1 Drehung des Koordinatensystems...................................... 87
6.2.2 Vorzeichenregel für Schubspannungen................................. 90
6.2.2.1 Allgemeine Vorzeichenregel................................... 90
6.2.2.2 Spezielle Vorzeichenregel für den Mohrschen Spannungskreis ...... 91
6.2.3 Spannungs-Extremwerte (Hauptspannungen)........................... 91
6.2.3.1 Hauptnormalspannungen...................................... 91
6.2.3.2 Hauptschubspannungen....................................... 93
6.2.4 Spannungsbestimmung mittels Hauptnormalspannungen.................. 95
6.2.5 Mohrscher Spannungskreis............................................ 96
6.2.5.1 Formale Relationen.......................................... 96
6.2.5.2 Beweis der Konstruktion...................................... 98
6.3 Dreiachsiger (räumlicher) Spannungszustand................................. 99
6.3.1 Geometrische Zusammenhänge....................................... 99
6.3.2 Kräftegleichgewicht am Tetraederelement .............................. 100
6.3.3 Hauptnormalspannungen..................................·.......... 101
6.3.4 Spannungen in einer beliebigen Schnittebene............................ 103
6.3.5 Bestimmung der Hauptnormalspannungen durch Extremwertbildung....... 105
6.3.6 Hauptschubspannungen.............................................. 109
6.3.7 Zeichnerische Bestimmung von räumlichen Spannungen.................. HO
7 Verzerrungszustand............................................................ 112
7.1 Ebener Verzerrungszustand................................................ 112
7.1.1 Spannungen beim ebenen Verzerrungszustand........................... 112
7.1.2 Verzerrungen eines Flächenelementes in einer gedrehten Lage............. 112
7.1.3 Mohrscher Verzerrungskreis (Verformungskreis)........................ 116
7.1.4 Hauptdehnungs-Richtungen.......................................... 116
7.1.5 Flächenänderung eines gedehnten Elements............................. 117
7.1.6 Experimentelle Spannungsermittlung mit Dehnungsmeßstreifen........... 121
7.1.7 Zusammenhang zwischen Gleitmodul, Elastizitätsmodul und Querdrehung .. 126
7.2 Räumlicher Verzerrungszustand............................................. 127
8 Flüchenmomente.............................................................. 128
8.1 Flächenmomente erster Ordnung.................................-.......... 128
8.2 Flächenmomente zweiter Ordnung.......................................... 128
8.2.1 Definitionen........................................................ 129
Inhaltsverzeichnis
IX
8.2.2 Abhängigkeit der Flächenmomente von der Lage des Koordinaten-Systems . 133
8.2.2.1 Parallel-Verschiebung des Koordinaten-Systems.................. 133
8.2.2.2. Drehung des Koordinaten-Systems in der Querschnittsebene
um den Schwerpunkt ......................................... 138
8.2.3 Grafische Bestimmung von Flächenmomenten........................... 142
8.2.3.1 Mohrscher Trägheitskreis..................................... 142
8.2.3.2 Trägheitskreis von Mohr-Land................................. 143
9 Beanspruchung durch Kräfte.................................................... 146
9.1 Zug und Druck........................................................... 146
9.2 Behälter unter Überdruck.................................................. 147
9.2.1 Dünnwandiges Rohr................................................. 147
9.2.1.1 Resultierende Druckkraft auf eine Gehäusehälfte................. 147
9.2.1.2 Spannungen im Zylinder...................................... 148
9.2.2 Dünnwandige Hohlkugel............................................. 149
9.3 Flächenpressung.......................................................... 149
9.3.1 Ebene Berührungsflächen ....................................,....... 150
9.3.2 Gekrümmte Berührungsflächen ....................................... 152
9.3.2.1 Zylinder gegen Zylinder....................................... 153
9.3.2.2 Kugel gegen Kugel........................................... 154
9.4 Abscher-Beanspruchung................................................... 154
10 Spannungen bei der einachsigen Biegung.......................................... 156
10.1 Definitionen.............................................................. 156
10.2 Voraussetzungen.......................................................... 156
10.3
Spannungs-
Verteilung über den Balkenquerschnitt............................ 158
10.4 Träger gleicher Biegebeanspruchung......................................... 162
10.4.1 Eingespannter Träger mit Rechteckquerschnitt.......................... 163
10.4.2 Eingespannter Träger mit Kreisquerschnitt............................. 164
11 Verformungen bei der einachsigen Biegung ....................................... 166
11.1 Differentialgleichung der elastischen Linie................................... . 166
11.2 Zusammenhang zwischen Belastung, Schnittgrößen und Verformungen........... 170
11.3 Bestimmung von Schnittgrößen und Verformungen mit der Klammerfunktion..... 171
11.4 Verformungen statisch bestimmt gelagerter Balken (einzelne Grundlastfälle)...... 172
11.4.1 Gelenkig gelagerter Träger mit konstanter Streckenlast.................. 172
11.4.2 Eingespannter Träger mit Einzellast bzw. Einzelmoment................. 173
11.4.3 Gelenkig gelagerter Träger mit außermittiger Einzelkraft................. 175
11.4.4 Gelenkträger mit außermittigem Moment.............................. 181
11.4.5 Zusammenfassung der wichtigsten Grundlastfälle........................ 186
11.5 Kombinierte Balkensysteme................................................ 186
11.5.1 Gelenkig gelagerter Balken mit Seilhalterung........................... 186
11.5.2 Eingespannter Träger mit unterschiedlicher Biegesteifigkeit.............. 189
11.5.3 Winkelförmiger Balken mit Dreieckslast............................... 193
11.5.4 Gerberträger mit elastischer Stütze.................................... 195
11.5.5 Eingespannter Gerberträger.......................................... 198
11.6 Überlagerung von Verformungen............................................ 200
11.7 Mohrsche Analogie........................................................ 206
11.7.1 Analogien zwischen der Biegelinie und der Biegemomentenlinie .......... 206
11.7.2 Flächen- und Schwerpunktsbestimmung................................ 207
11.7.3 Anwendungen...................................................... 209
11.7.4 Verformungen von Balken mit veränderlicher Biegesteifigkeit............ 214
11.7.5 Grafische Lösung................................................... 217
Inhaltsverzeichnis
X
12 Statisch unbestimmte Balkensysteme............................................. 220
12.1 Allgemeines Lösungsschema................................................ 220
12.1.1 Geometrische Methode.............................................. 221
12.1.1.1 Durchbiegungs-Kompatibilität................................ 221
12.1.1.2 Winkel-Kompatibilität....................................... 222
12.1.2 Integrations-Methode ............................................... 223
12.1.2.1 Gebietsweise Integration..................................... 223
12.1.2.2 Geschlossene Integration..................................... 224
12.2 Anwendungen............................................................ 226
13 Zweiachsige (schiefe) Biegung................................................... 238
13.1 Spannungen und Verformungen bezogen auf allgemeine Achsen................. 238
13.2 Spannungen und Verformungen im Hauptachsen-System....................... 241
13.2.1 Zerlegung des Biegemomentenvektors in die Richtung der Hauptachsen.... 243
13.2.2 Projektion des Biegemomentenvektors auf die Spannungs-Nullinie ........ 245
13.3 Durchbiegung bei der schiefen Biegung...................................... 246
13.4 Anwendungen............................................................ 260
14 Biegung durch exzentrische Längskraft
14.1 Allgemeiner einachsiger Normalspannungs-Zustand........................... 269
14.2 Querschnittskern....................................................-...... 268
15 Biegung von Balken besonderer Form............................................ 273
15.1 Biegung stark gekrümmter Balken........................................... 273
15.1.1 Vorbetrachtungen................................................... 273
15.1.2 Spannungsformeln.................................................. 275
15.2 Biegung von breiten Balken (mit behinderter Querkontraktion)................. 284
16 Inhomogene Balken und Stäbe.................................................. 287
16.1 Beanspruchung durch Biegung.............................................. 287
16.2 Beanspruchung durch Normalkraft.......................................... 292
17 Schubspannungen durch Querkräfte bei der Biegung............................... 295
17.1 Schubspannungs-Verteilung................................................ 296
17.2 Berechnung von Schubspannungen.......................................... 297
17.2.1 Rechteckquerschnitt................................................. 298
17.2.2 Kreisquerschnitt.................................................... 300
17.2.3 Dünnwandiges Kreisrohr............................................. 301
17.2.4 Profilträger ........................................................ 304
17.2.4.1 Unsymmetrische Profile...................................... 304
17.2.4.2 Symmetrische Profile........................................ 313
17.3 Schubspannungen in zusammengesetzten Profilträgern......................... 313
17.3.1 Genieteter Träger................................................... 314
17.3.2 Geschweißter Träger................................................ 316
17.4 Schubverformung......................................................... 318
18 Verdrehbeanspruchung (Torsion)................................................ 324
18.1 Verhalten der Querschnitte................................................. 324
18.1.1 Rotationssymmetrische Querschnitte.................................. 324
18.1.2 Nicht-rotationssymmetrische Querschnitte.............................. 325
18.2 Kreiszylindrischer Torsionsstab............................................. 325
18.3 Torsion von nicht-kreisförmigen Vollquerschnitten............................ 342
18.3.1 Membran-Analogie von Prandtl....................................... 348
18.3.2 Strömungsgleichnis von Thomson..................................... 350
Inhaltsverzeichnis
XI
18.4 Dünnwandige Hohlquerschnitte............................................. 352
18.4.1 Geschlossene Querschnitte veränderlicher Dicke........................ 352
18.4.2 Offene Querschnitte konstanter Dicke................................. 355
18.5 Zusammenfassung......................................................... 360
19 Formänderungsarbeit .......................................................... 362
19.1 Formänderungsarbeit infolge von Normalspannungen.......................... 363
19.1.1 Beanspruchung durch Zug und Druck.................................. 363
19.1.2 Beanspruchung durch Biegung........................................ 365
19.2 Formänderung infolge von Schubspannungen................................. 366
19.2.1 Beanspruchung durch Querkraft...................................... 366
19.2.2 Beanspruchung durch Torsion........................................ 367
19.3 Zusammengesetzte Beanspruchung.......................................... 368
19.4 Formänderung eines beliebig belasteten Bauteils.............................. 368
20 Festigkeitshypothesen.......................................................... 370
20.1 Normalspannungs-Hypothese (von Rankine,
Lamé)
............................ 371
20.2 Schubspannungs-Hypothese (nach Coulomb, Saint
Venant,
Guest,
Tresca)
........ 371
20.3 Dehnungs-Hypothese (nach Bach)........................................... 372
20.4 Gestaltänderungsenergie-Hypothese (nach Huber, von
Mises,
Henky)............
372
21 bis 24 Energiemethoden ....................................................... 374
21 Prinzip der virtuellen Arbeit.................................................... 374
21.1 Arbeitssatz der Elastostatik................................................. 374
21.2 Beispiele für die Auswertung der Integrale................................... 379
21.3 Verformung eines Balkens infolge von Temperaturänderung.................... 388
21.4 Balken mit veränderlicher Biegesteifigkeit.................................... 389
21.5 Statisch unbestimmte Systeme.............................................. 391
22 Einflußzahlen................................................................. 402
22.1 Verschiebungs-Einflußzahlen............................................... 402
22.2 Maxwell-Bettische Relationen.............................................. 403
22.3 Kraft-Einnußzahlen....................................................... 413
23 Verfahren von Castigliano...................................................... 418
23.1 Erster Satz von Castigliano................................................. 418
23.2 Zweiter Satz von Castigliano................................................ 419
23.3 Satz von Engesser......................................................... 420
23.4 Satz von Menabrea........................................................ 423
23.5 Richtlinien und Vereinfachungen für die Anwendung.......................... 424
23.5.1 Verformungen an Stellen ohne Belastung.............................. 424
23.5.2 Auswertung der Integrale............................................ 424
23.5.3 Anwendung auf statisch bestimmte Systeme............................ 426
23.5.3.1 Formulierung der Auflagerkräfte.............................. 426
23.5.3.2 Benennung von eingeprägten Kräften.......................... 427
23.5.3.3 Einführung einer Hilfskraft................................... 428
23.5.4 Anwendung auf statisch unbestimmte Systeme.......................... 429
23.5.4.1 Berechnung der statisch Unbestimmten........................ 429
23.5.4.2 Bestimmung von Verformungen............................... 430
23.6 Weitere Beispiele......................................................... 431
24 Ritzsches Verfahren............................................................ 444
XII Inhaltsverzeichnis
25 Knickung..................................................................... 449
25.1 Knicken als Stabilitätsproblem.............................................. 449
25.2 Eulersche Knickfälle....................................................... 454
25.3 Knicken im elastischen Bereich............................................. 464
25.4 Knicksicherheit........................................................... 465
25.5 Knicken im plastischen Bereich............................................. 465
25.6 Biegeknicken............................................................. 469
25.7 Allgemeine Knickgleichung................................................. 472
25.8 Rayleigh-Quotient ........................................................ 475
26 Achsensymmetrischer Spannungszustand......................................... 481
26.1
Spannungs-
und Deformationsgleichungen.................................... 481
26.2 Zylinder und Rohr mit gleichmäßiger Axialbelastung.......................... 484
26.3 Dickwandiges Rohr unter Überdruck........................................ 485
26.4 Rotierende Scheibe........................................................ 488
Weiterführende Literatur.......................................................... 494
Sachwortverzeichnis............................................................... 495
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