Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen: in zwei Bänden 1
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Teubner
1895
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| adam_text | liilialtsverzeiclmiss und Litteraturiiachwcis,
Inhalts Verzeichnis s. Litteratuvnachweis.
Historische Einleitung.
1. Problem der Integration einer Diffe-
rentialgleichung bei den älteren Ana-
lysten. Einführung der complexen
Grössen...........................S. 1.
2. Begründung der l’unctionentheorie
durch Cauchy. Existenztheorem.
Briot und Bouquet .... S. 3.
3. Entwickelung der l iinctionentheoric
in Deutschland bis 1865. Weier-
strass, ltiemann, Gauss. . S. 6.
4. Begründung der modernen Theorie der
linearen Differentialgleichungen durch
Fuchs. Uehersicht über die bisherige
Entwickelung dieser Theorie. . S. 9.
Euler, Institutiones calculi integralis
(1708-1770);
Legendre, Exercices de calcul integral
(1811);
Euler, Introductio in analysin infini-
torum (1748);
Gauss, Demonstratio nova etc. (1799);
Abel, Crelle’s Journal, Bände 2, 3;
J a c o b i, Astronom. Nacliriehten, Band 6.
Abel, Mémoires présentés etc. (1841);
Cauchy, Mémoire sur les intégrales
prises entre des limites imaginaires
(1825); Mémoires présentés etc. (1827);
Exercices d’Analyse, Band 1 (1840),
S. 209; Comptos Bendus 18401, S. 640;
ebenda 1846, Band 23, S. 261, 689;
ebenda 1843, Band 17, S. 640, 693,
921. 1159; ebenda 1844, Band 19,
S. 1069; ebenda 1855, Band 40, S. 447,
651, 713, 804;
Eisenstcin, Crclle’s Journal, Band 27,
S. 185 (Liouvillo’s Journal, Band 10,
S. 445);
Weierstrass, vergl. die Citate 7,u Nr.3;
vergl. Valson, La vie ct les travaux
du Baron Cauchv (18681, Band 2, S. 35,
63, 93.
Weierstrass, 1’rogramm des Gymna-
siums zu Dt. Crone (1842); Programm
des Gymnasiums zu Braunsberg(1848);
Crelle’s Journal, Band 47, S. 289;
ebenda Band 51, S. 1; ebenda Band 52,
S. 285;
itiemann, Tnauguraldissertation (Göt-
tingen 1851); Crelle’s Journal, Band 54,
S. 101—155;
Gauss, Ges. Werke, Band 3, S. 207, 208;
Briefwechsel mit Bes sel (1880).
1’uchs, Antrittsrede, Sitzungsberiehte
der Berliner Akad. 1884, S. 744.
VIII
Inhaltsverzeichniss und Litteraturnachweis.
Einleitung.
ö. Monogene Functionen. Cauchy’s
Existenztheorom...............S. 12.
6. Singuläre Punkte eines Integrals S.15.
7. Singularitäten monogener Functionen
überhaupt.......................S. 16.
8. Feste und bewegliche Singularitäten
der Integrale von Differentialglei-
chungen. Feste Verzweigungspunkte.
Lineare Differentialgleichungen S. 18.
Cauchy, Mémoire sur l’intégration des
équations différentielles (1835) (Exerci-
ces d’Analyse, Band 1 (1840), S. 32 7 ff.) ;
Mémoire sur la mécanique céleste
(1831) (Exercices d’Analyse, Band 2,
S. 41 ff.); Comptes Rendus, 18401,
S. 939, 957; 1840H, S. 639, 730;
1842; 1846 II, S. 702, 709, 779;
Briot et Bouquet, Journal de i’Ecolc
Polyt. cah. 36, S. 133; Théorie des
fonctions doublement périodiques
(1869), S. 45, 286; Théorie des fonc-
tions elliptiques (1875), S. 325;
vergl. Poincaré, Mécanique céleste,
Band 1 (1892), S. 51;
Königsberger, Lehrbuch der Theorie
der Differentialgleichungen (1889),
S. 18;
Weierstrass, Crelle’s Journal, Band
61, Nr. 5;
Valson, a. a. 0. S. 104 ff.
Cauchy, an den bei Nr. 5 angeführten
Stellen;
Fuchs, Orelle’s Journal, Band 66, S, 121 ff.
Weierstrass, Abhandl. der Berl. Akad.
1876;
Fuchs, Sitzungsberichte der Berl. Akad.
1886, S. 281.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 121 ff.;
Hamburger, ebenda, Band 83, S. 186;
Fuchs, Sitzungsberichte der Berl. Akad.
1884, S. 699;
Poincaré, Acta Mathcmatica, Band 7,
S. 1;
Fuchs, Sitzungsberichte der Berl. Akad.
1887, S. 1077.
Erster Abschnitt.
Allgemeine Grundlagen der Theorie.
Erstes Kapitel.
*
9. Existenztheorem fur lineare homogene
Differentialgleiehungen. Methode des
limitos. Anfangsbedingungen . S. 21.
10. Singuläre Stellen linearer Differen-
tialgleichungen. Fortsetzung der Inte-
grale ..........................S. 25.
Fuchs, Programm der stadt. Gewerbe-
schule zu Berlin (1865) (Crellc’s Journal,
Band 66, S. 122 ff.);
vergl. Cauchy, Citate bei Nr. 5;
Poincaré, Mécanique céleste (1892),
S. 48;
T annery, Annales de l’Ecole Normale,
Sérié ÏI, Band 4, S. 113 ff.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66
S. 122 ff.
Inhaltsverzeichniss und Litteratumachwcis.
IX
Zweites Kapitel.
11. Ptirticuläre Integrale. Fundamental-
system. Allgemeines Integral. S. 28.
12. Andere Definition des Fundamental-
systems, Verhalten bei einem Umlaut.
Lineare Substitution .... S. 31,
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 126 ff.;
vergi. Tannery, a. a. O. S. 121 ff.;
He ff ter, Einleitung in dio Theorie
der linearen Differentialgleichungen
(1894), S. 49.
Fuchs, Crollc’s Journal, Band 66,
S. 128, 132.
Zweiter Abschnitt.
Formale Theorieen.
Erstes Kapitel.
13. Analogie mit den algebraischen Glei-
chungen .......................S. 35.
14. Determinante eines Systems von
Functionen. Differentialgleichung für
ein System von n linear unab-
hängigen Functionen .... S. 36.
15. Invariante Functionen einer gegebe-
nenDifferentialgleichung. Der Ap pe 11-
sche Satz.....................S. 38.
16. Gemeinsame Lösungen linearer Dif-
ferentialgleichungen ...........S. 42.
17. Zusammensetzung von Difterential-
ausdrücken.................S. 45.
Christoffel. Crelle’s Journal, Band 55,
S. 298;
Fuchs, ebenda, Band 66, S. 127;
vergl. Petz val, Integration der linearen
Differentialgleichungen, Band 1
(1853), S. 17, 24;
Frobenius, Crelle’s Journal, Band 76,
S. 237; Band 77, S. 246;
Pasch, ebenda, Band 80, S. 177;
Heffter, Einleitung etc. S. 233.
Appell, Annales de l’Ecole Normale,
Serie H, Band 10, S. 400;
vergl. Vessiot, Thèses (Paris 1892),
S. 18.
Libri, Crelle’s Journal, Band 10, S. 193;
Brassine, in Sturm’s Cours d’Analyse,
Band 2, Note III;
Frobenius, Crelle’s Journal, Band 76,
S. 256;
v. Escherich, Denkschriften der Wiener
Akademie, Band 46, S. 61.
Thomé, Crelle’s Journal, Band 76,
S. 273ff.;
Frobenius, ebenda, Band 80, S. 321;
Band 85, S. 185;
vergl. Heffter, Einleitung etc. S. 182.
Zweites Kapitel.
18. Reduction cinerDifferentialgleichung D’Alembert, Miscellanea Taurinensia,
bei Kcnntniss einiger particulitrer Band 3, S. 362If.;
Integrale...................S. 47. Libri, Crelle’s Journal, Band 10,
S. 185 ff.;
Fuchs, ebenda, Band 66, S. 129;
Thome, ebenda, Band 74, S. 193ff.
X
Inhalts verzeichn iss und Litteraturnachweis.
19. Zusammensetzung eines Differential -
ausdruckes aus Differentialausdrüeken
erster Ordnung·................S. 50.
Drittes
‘20. Multiplicatoron. Adjungirte Diffe-
rentialgleichung·. Beziehung von La-
grange..........................S. 53.
21. Der einem zusammengesetzten Diffe-
rcntialauHdrucke adjungirte. Reuipro-
citätssatz....................S. 55.
‘22. Sätze über die Determinante eines
Systems von Functionen. Neue Form
der Multiplicatoren...........S. 60.
‘23. Beziehungen zwischen adjungirten
Fundamcntalsystemen. Yerhalteu bei
Umläufen. Rcciproke Substitution S. 62.
24. Explicite Darstellung des adjungirten
und des begleitenden bilinearen Dif-
ferentialausdruckes. Sätze von Fro-
benius und ITesse............S. 66.
25. Differentialgleichungen, die ihren
adjungirten gleich oder entgegenge-
setzt gleich sind. Sätze von Jacobi
und Darboux..................S. 70.
Viertes
26. Integration der nicht homogenen Dif-
ferentialgleichung. Ha.uptintegral. An-
wendung auf die Reduction von Diffe-
rentialgleichungen, vergl.Nr. 18. S. 76.
Frobenius, Crelle’s Journal, Band 76,
S. 264; Band 80, S. 325;
vergl. Floquct, Annales de l’Ecole
Normale, Serie II, Band 8, Suppl.
S. 79;
Heffter, Einleitung etc. S. 190.
Kapitel.
Lagrange, Misceli. Taurin., Band 3,
S. 179;
Abel, Oeuvres, Band 2, S. 47;
Jacobi, Crelle’s Journal, Band 32,
S. 189;
Thomé, ebenda, Band 75, S. 274;
Fuchs, ebenda, Band 76, S. 177;
Frobenius, ebenda, Band 76, S. 262;
Band 77, S. 255; Band 80, S. 320;
Band 85, S. 1.
Thomé, Crelle’s Journal, Band 76, S. 277 ;
Frobenius, ebenda, Band 76, S. 263;
vergl. die Citate zu Nr. 20.
Hesse, Crclle’s Journal, Band 54,
S. 249ff.;
Frobenius, ebenda, Band 77, S. 245;
vergl. die Citate zu Nr. 20.
Jacobi, a. a. O.;
Fuchs, Crclle’s Journal, Band 76, S. 194;
Frobenius, ebenda, Band 76, S. 266;
Band 77, S. 248;
Jürgens, ebenda, Band 80, S. 150.
Vergi, die Citate zu IMr. 20, und ferner
Hesse, Crelle’s Journal, Band 54, S. 232;
Frobenius, ebenda, Band 77, S. 252;
Band 85, S. 188.
Jacobi, a. a. 0. und Crelle’s Journal,
Band 17, S. 71;
Frobenius, ebenda, Band 85, S. 190.
Kapitel.
D’Alcmbert, a. a. 0.;
Lagrange, Solution de différentes
problèmes de calcul intégral; Nou-
veaux Mémoires de l’Académie de
Berlin 1775, S. 190;
Libri, Crelle’sJoumal,Band 10, S. 155 ff.;
Malmstén, ebenda, Band 39, S. 91;
Joachimsthal, ebenda, Band 40, S.48;
Fuchs, Annali di Matematica, Serie 11,
Band 4, S. 36ff.;
Frobenius, Crelle’s Journal, Band 77,
S. 256;
vergl. Huler, Institutiones calculi inte-
gralis, Band 2 (1827), S. 332;
Lacroix, Traité du calcul différentiel
etc. (1810—1819), Band 3, S. 502,567;
Baltzer, Theorie der Determinanten
(5. Aufl., 1881), S. 77.
Inhaltsverr.eiehniss un l Litteraturnuclrweis.
XI
27. Begriff der Irreductibilität linearer
Differentialgleichungen. Sätze von
Frobenius......................S. 81.
28. Begriff der Irreductibilität im Falle
eindeutiger Coëfficiënten. . . S. 80.
29. Analytische Bedeutung des lrrc-
ductibilitätsbegriffs für Differential-
gleichungen mit eindeutigen Coëffi-
ciënten........................S. 88.
Frobenius, Crelle’s Journal, Band 76,
S. 236 ff., S. 268 ff ; Band 80, S. 322 ff.
Frobenius, a. a. 0.;
vergl. Puiscux, Recherches sur les
fonctions algébriques, in Liouvillc’s
Journal, Blinde 15, 16;
Königsberger, Allgemeine Unter-
suchungen aus der Theorie der Diffe-
rentialgleichungen (1882), S. 1 ff.
Dritter Abschnitt.
Theorie der Fundamentalgleichung.
Erstes
30, Lineare Substitutionen von n Grössen.
Composition und Determinantenbe-
ziehungen ................ S. »1.
31. Verhalten der Integrale einer linearen
Differentialgleichung in einem zwei-
fach zusammenhängenden Bereiche.
Satz von Fuchs. Fundamentalglei-
chung, Fall ungleicher Wurzeln S. 96.
32. Transformation linearer Substitu-
tionen. Determinantenbeziehungen.
Invarianz der Fundamentalgleichung.
Canonisches Fundamentalstem im
Falle ungleicher Wurzeln . . S. 102.
Z weites
33. Andere Bedeutung der Fundamental-
gleichung. Beziehungen zwischen den
Fundamentalgleichungen von Diffe-
rentialgleichungen, die Integrale mit
einander gemein haben. . . S. 107.
34. Sätze über Systeme linearer Glei-
chungen. Rang. Anwendung auf die
Fundamentalgleichung . . . S. 112.
35. Weitere Untersuchung der Beziehung
zwischen den Fundamentalgleichungen
von Differentialgleichungen mit ge-
meinsamen Integralen ... S. 115.
Drittes
36. Canonisches Fundamentalsystem im
Falle mehrfacher Wurzeln der Funda-
mentalgleichung ..........S. 121.
37. Die Hamburger’sehen Untergrup-
pen. Canonische Form der zu einem
Umlaufe gehörigen linearen Substitu-
tion .....................S. 124.
Kapitel.
Laplace, Histoire de l’Académie de
Paris 1772*4;
Cauchy, Journal de l’Ecole Polytechni-
que, cah. 17, S. 107 ;
Baltzer, Theorie der Determ. §§ 4—7;
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66, S. 132,
S. 141.
Fuchs, Grelle s Journal, Band 66,
S. 181 ff;
vergl. Tannery, a. a. 0., S. 135;
ITef ft er, Einleitung etc., S. 150 ff.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66, S. 133;
Hamburger, ebenda, Band 76, S. 113.
Kapitel.
Casorati, Annali cli Matcmatica,
Serie II, Band 10, S. 10 ff.;
vergl. eine Arbeit des Verfassers, Crelle s
Journal, Band 114, S. 143 ff.
Vergl. Baltzer, Theorie der Determ.;
Eduard Weyr, Monatshefte für
Mathem., Band 1, S. 163.
Vergl. des Verfassers bei Nr. 33 ge-
nannte Arbeit.
Kapitel.
Fuchs, Crelle’s J oumal, Band 66, S. 134ff. ;
Hamburger, ebenda, Band76, S. 115ff.;
Casorati, Comptes Rendus, 18811,
S. 175, 238;
Jürgens, Crelle’s Journal, Band 80,
S. 150;
Sauvage, Annales de l’École Normale,
Serie III, Band 8, S. 312ff.;
хіт
Inhaltsverzciclmiss und Litterat,nrnachweis.
Eduard Weyr, a. a. O.; .
vergl. Weierstrass, Monatsberichte d er
Berl. Akademie, 1868, S. 810 ff.;
Jordan, Comptes Bendus, 18711,
S. 787;
Heffter, Einleitung etc., S. 152 ff.
Viertes Kapitel.
38. Analytische Form des canonischen
Fundamental Systems .... S. 129.
39. Natur der Singularität der Integrale
in der Umgehung einer Stelle, wo
sich die Coëfficiënten wie rationale
oder wie algebraische Functionen
verhalten....................S. 132,
Siche die Citate zu Nrn. 36, 37, ferner
Casorati, Annali di Matern., Serie II,
Band 10, S. 10 ff.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 134 ff.; Sitzungsberichte der Berl.
Akad. 1885, S. 279 ff.
Vierter Abschnitt.
Die singulären Stellen, an denen sich, die Integrale bestimmt
verhalten.
Erstes Kapitel.
40. Formulirung der Aufgabe nach
Fuchs. Der Exponent, zu dem ein
sieh bestimmt verhaltendes Integral
gehört....................... S. 138.
41. Charakter der Coeffieienten einer
Differentialgleichung in einem Punkte,
wo sich die Integrale bestimmt ver-
halten .......................S. 142.
42. Fortsetzung der Untersuchung. Ein
Hülfssatz über die mit Logarithmen
behafteten Integrale .... S. 146.
43. Nothwendige Form der Coeffieienten
in der Umgebung einer singulären
Stelle, wo sich die Integrale bestimmt
verhalten.......................S. 150.
Fuchs, Crello’s Journal, Band 66,
S. 139 ff.; Band 68, S. 355 ff.;
vergl. Tannery a. a. 0. S. 146;
Heffter, Einleitung etc. S. 241.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66, S. 143;
Band 68, S. 358 ff.;
vergl. Thome, ebenda, Band 74, S. 200ff.
Fuchs, a. a. 0.;
Tannery, a. a. 0. S. 150;
Heffter, Einleitung etc. S. 107;
Jürgens, Crelle’s Journal, Band 80,
S. 151.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 68, S. 360.
Zweites
44. Normalform der Differentialglei-
chung in der Umgebung einer Stelle,
wo die Coeffieienten den Charakter
rationaler Functionen besitzen. Cha-
rakteristische Function . . . S. 154.
45. Rccursionsformcl für die der Diffe-
rentialgleichung genügenden Potenz-
reihen. Die cleterminirende Funda-
mentalgleichung ............S, 158.
46. Formale Bildung einer Reihe, die der
Differentialgleichung genügt. S. 161
Kapitel.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66, S. 148;
Band 68, S. 361;
Frobenius, ebenda, Band 80, S. 317ff.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 148 ff.; Band 68, S. Збій՜.;
Frobenius, ebenda, Band 76, S. 216ff.;
vergl. Heffter, Einleitung etc., S. lOff.;
Petzval, Integration etc., Band 2,
S. 225 ff.
Inhaltsverzeichnis» und Litteratumacbweis,
xni
47. Der Frobcnius’sehe Convergenz-
beweis....................S. 164.
48. Die gleichmässigcConvergenz S. 168.
49. Untersuchung der Itecursionsformel.
Wurzelgruppen der determinirenden
Fundamentalgleichung und zugehörige
Integrale ..................S. 171.
50. Nachweis, dass die in Nr. 43 ge-
fundene Gestalt der Coofficienten auch
hinreichend dafür ist, dass sich die
Integrale bestimmt verhalten. S. 174.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 148 ff.;
Frobenius, ebenda, Band 76, S. ‘218ff.
Frobenius, a. a. 0.;
vergl. Weierstrass, Monatsberichte,
iéso.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 68, S. 364;
Frobenius, ebenda, Band 76, S. 221;
Thomé, ebenda, Bund 74, S. 195.
Fuchs, Crelle’s Journal,Band66, S. 157;
vergl.Thomé, ebenda, Band74, S. 195ff.;
Heffter, Einleitung etc., S. 84 ff.
Drittes Kapitel.
öl. Zusammenhang zwischen detormini-
render Fundamentalgleichung und
Fundamentalgleichung. Canonisches
Fundamentalsystem im Falle der Be-
stimmtheit ..................S. 178.
52. Bin Satz aus der Theorie der Systeme
linearer Gleichungen .... S. 182.
53. Kriterium für die Existenz eines in
Roihenform darstellbaren Integrals,
welches zu einer bestimmten Wurzel
der determinirenden Fundamentalglei-
chung als Exponenten gehört. S. 184. I
54. Aufstellung der lla.nibnrger’schen
Untergruppen im Falle der Bestimmt-
heit ......................S. 190.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 156 ft .; Band 68, S. 365 ff.;
vergl. Heffter, Einleitung etc., S. 149ff.
Frobenius, Crelle’s Journal, Band 82,
S. 238;
vergl. eine Arbeit des Verfassers, ebenda,
Band 114, S. 159 ff.
1 Fuchs, Crelle’s Journal, Band 68,
S. 375 ff.;
Frobenius, ebenda, Band 76, S. 224ff.;
Jürgens, ebenda, Band 80, S. 150ff.;
Heffter, ebenda, Band 111, S. 59ff.;
Habil ita li o ii such ri ft (Giessen, 1888),
S. 14 ff;
vergl. Heffter, Einleitung etc., S. 133ff.;
siehe auch die hei Nr. 52 genannte
Arbeit des Verfassers.
Viertes Kapitel.
55. Das allgemeinste zu einer Wurzel-
gruppe gehörige Integral ist loga-
rithmenfrei. Scheinbare und ausser-
wesentliche singuläre Stellen S. 195.
56. Exponenten, zu denen die Elemente
des durch das Rednetionsverfahren
erhaltenen Fundamentalsystems ge-
hören.........................S. 197.
57. Kriterien für die ausserwesentlichen
singulären Stellen. Die Differential-
gleichung, der die Ableitungen der
Integrale einer gegebenen Differential-
gleichung genügen.............S. 200.
Sielic die Citate zu Nrn. 53, 54;
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 68, S. 378;
Poincaré, Acta Mathematica, Band 4,
S. 217.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 68,
S. 362 ff
Fuchs, Creile’» Journal, Band 68,
S. 379 ff.;
vergl. Heffter, Einleitung etc., S. 61 ff.
Fünftes Kapitel.
58. Die nicht homogene Differential- Fuchs, Crelle’s Journal, Band 68,
gleichung in der Umgebung einer S. 368 ff.
Stelle der Bestimmtheit . . S. 206.
XIV
Inhaltsverzeichnis» und LitteraturnachweÌ8։
59. Die Integrale einer homogenen Diffe-
rentialgleichung in der Umgebung des
unendlich fernen Punktes und eines al-
gebraischen Windungspunktes. S. ‘208.
60. Windungspunkt der Cocfiicicnton,
wo dieselben nicht unendlich wer-
den..........................S. 212.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 138 ff.; .
vergi, Hofftor, Einleitung etc., S. 198ff.
Fünfter Abschnitt.
Differentialgleichungen der Fuchs’schen Classe.
Erstes
01. Differentialgleichungen mit alge-
braischen Coëfficiënten . . . S. 217.
02. Differentialgleichungen, deren Inte-
grale überall bestimmt sind. Die
Fuehs’sche Classe.............S. 219.
63. Recursionsformel für Differential-
gleichungen mit rationalen Coefii-
cienten.....................S. 221.
64. Iteihenalgorithmus für einen im
Endlichen gelegenen und für den un-
endlich fernen Punkt . . . . S. 225.
apitel.
Poincare, Acta Mathematica, Band 4,
S. 205;
vergl. Puiscux, Liouvillc’s Journal,
Bände 15, 16.
Puchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 139 ff.
Puchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 149 ff.;
Frobenius, ebenda, Band 76, S. 224ff.;
Seiffert, Inauguraldissertation (Döt-
tingen 1875);
Heffter, Inauguraldissertation (Berlin
1886); Crellc’s Journal, Band 106,
S. 269; Band 109, S. 212; Einleitung
etc., S. 212 ff.;
vergl. Pochhammer, Crelle’s Journal,
Band 102, S. 76; Band 108, S. 50;
Schafheitlin, ebenda, Band 106,
S. 285.
Zweites Kapitel.
65. Convergenz von Potenzreihen auf ’
dem Convorgenzkreise. Satz von
Thomo..................... S. 228.
66. Gesonderte Untersuchung der regu-
lären und der singulären Stellen des
Convergenzkreises...........S. 233.
67. Anwendung auf die Differential-
gleichungen der Puchs’sehen Classe.
S. 237. ,
Thomö, Crelle’s Journal, Band 87,
8. 247 ff., 331 ff .; Band 95, S. 97;
Band 100, S. 167 ff .;
vergl. Abel, ebenda, Baud 1, S. 311ff.;
Dirichlet, ebenda,, Band4, S, 157ff.;
Band 17, S. 64;
Riemann, Abhandlungen der Göt-
tinger Societät, Band 7, Art. 8.
Drittes Kapitel.
68. Herstellung einer Differentialglei-
gleiehung, deren determinirende Glei-
chungen vorgeschriebene Wurzeln
haben........................S. 240.
69. Differentialgleichungen der Fuchs-
schen Classe mit einem singulären
Punkte. Differentialgleichung mit
constanten Coëfficiënten . . S. 243.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 76,
S. 183 ff.; Band 66, S. 142, 145, 159.
D’Alembert, Mémoires de l’Académie
de Berlin, 1748, S. 283 ff.;
Euler, Institutiones calcul! integralis,
Band 2 (1827), S. 317 ff.;
Cauchy, Exercices de Mathémat. (1826),
Inhaltsverzeiclmiss und Litteratumaolxweia.
XV
70. Differentialgleichungen erster und
zweiter Ordnung. lliemann sche
Differentialgleichung .... 8. 248.
Vierte s
71. Gauss’sche Differentialgleichung.
Fundamentalsystem für x = 0 und
für x — oo ................S. 253.
72. Kolken. die nach Potenzen von 1—x
fortschreiten. Das Kuninjer’scke
Princip....................S. 258.
73. Transformation der Gauss’schen
Differentialgleichung .... S. 261.
74. Die vierundzwanzig Integrale. Con-
vergenz auf dem Convcrgenzkreise.
S. 2G5.
75. Contigue Functionen. Die II-Func-
tion .........................S. 208.
Band 1, S. 261; Band 2, S. 25, 210;
Exorcices d’Analyse (1840), Band 1,
S. 53;
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 06, S, 158.
Riemann, Abhandlungen der Göttinger
Societät, Band 7;
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66, S. 159;
vorgl. Th omé, ebenda, Band87, S. 327ff.;
Hcffter, Inauguraldissertation (Ber-
lin, 1886). S. 5 ff.; Einleitung etc.,
S. 224 ff.
Kapitel.
(Euler, Nova Acta Acad. Petropol.,
Band 12, S. 48 flf.;
Pfaff, Disquisitiones analyt. (Helm-
stadii, 1797);
(tauss, Commcntationes socict. Gotting.
reeent,, Band 2;
Gudermann, Crclle’s Journal, Band 7,
S. 300;
Kummer, ebenda, Band 15, S. 39 ft.,
Ց. 63;
Jacobi, ebenda, Band 56, S. 149;
Gauss, Ges. Wcrke, Band 3, S. 207ff;
Riemann, a. a. O.;
vergl. Frobenius, Crelle’s Journal,
Band 76, Ց. 250ff.;
Thomé, ebenda, Band 87, Ց. 306fl՜.;
G oursat, Annales de 1’EcoleNormale,
Serie II, Band 10, Suppl. S. 3 ff.;
Jordan, Cours dIAnalysc, Band 3
(1887), Ց. 220 ff,;
Heffter, Einleitung etc., S. 227ff.
Kumnier, Crelle’s Journal, Band 15,
S. 39—50;
vergl. Kummer, De generali quadam
etc., Programm des Gymnasiums
zu Liegnitz, 1834;
Schwarz, Crelle’s Journal, Band 75,
S. 292 ff.
Kummer. Crelle’s Journal, Band 15,
S. 51 ff.;
Gauss, Commentationes soeietatis Got-
ting. rccent., Band 2, Art. 15 ff.;
Riemann, a. a. O. Art. 8;
vergl. Weierstrass, Crelle’s Journal,
Band 51, Nr. 5.
Gauss, a. a. O. Art. 7ff., 17ff;
vergl. die Citate zu Nm. 71, 72.
XVI
Inhaltsverzeichniss und Littoraturnachweis.
Sechster Abschnitt.
Die Entwickelung der Integrale innerhalb eines Kreisringes.
Erstes Kapitel.
76. Recursionsformel für die innerhalb
eines Kreisringes gültigen Reihenent-
wickelungen ................S.272.
77. Begriff derunendlichenDeterminante.
Normalform. Convcrgonz. . S. 274.
78. Sätze über unendliche Determinan-
ten. Multiplicationstheorem. Verall-
gemeinerung.................S. 277.
79. Gleichmässige Conyergenz einer un-
endlichen Determinante. Differen-
tiation ....................S. 282.
80. Die Systeme von unendlich vielen
linearen Gleichungen mit unendlich
vielen Unbekannten .... S. 284. .
Helge von Koch, Acta Mathematica,
Band 15, S. 53ff.; Band 16, S. 217ff.;
vergi, llill, ebenda, Band 8, S. Iff.;
Poincaré, Bulletin de la Société
mathém., Band 14.
Zweites
81. Transformation der gegebenen Diffe-
rentialgleichung ............S. 287.
82. Transformation der Recursionsformel.
Convergenz und Eigenschaften der aus
den Coëfficiënten derselben gebildeten
unendlichen Determinante. . S. 289.
83. Darstellung der die Differentialglei-
chung befriedigenden Reihen in der
form unendlicher Determinanten.
Pall einfacher NullsteUen. Funda-
mentalgleichung ...........S. 295.
84. Pall mehrfacher Nullstellen. Inte-
gralgvuppen und Untergruppen. S. 297.
Drittes
85. Natur der Abhängigkeit der Coëffi-
ciënten der Fundamentalgleichung
von den in den Coëfficiënten der
Differentialgleichung auftretenden Pa-
rametern ..................S. 303.
86. Die Recursionsformel und Fundamen-
talgleichung einer Differentialglei-
chung, die aus mehreren Differential-
gleichungen zusammengesetzt ist.
S. 307.
87. Beziehungen zwischen den Recur-
sionsformeln und Fundamentalglei-
chungen von adjungirten Differential-
gleichungen ...............S. 311.
Viertes
88. Die Hamburger’sche Methode für
die Entwickelung der Integrale inner-
halb eines Kreisringes . . . S. 314.
89. Berechnung der Coëfficiënten der
Fundamentalgleichung . . . S. 319.
Kapitel.
Puchs, Acta Mathematica, Band 1,
S. 346.
Helge von Koch, a. a. 0.;
’ vergi, die Citate bei Nm. 31—39.
Kapitel.
Poincaré, Acta Mathematica, Band 4,
S. 212ff.;
Helge von Koch, a. a. 0.
vergl. Probenius, Crelle’s Journal,
Band 80, S. 321;
Thome, ebenda, Band 76, S. 284;
Heffter, Einleitung etc., S. 186.
vergl. Jacobi, Crelle’s Journal, Band 32,
S. 189;
Fuchs, ebenda, Band 76, S. 180;
Thornd, ebenda, Band 76, 8. 284;
Probenius, ebenda, Band 80, S. 320.
Kapitel.
Hamburger, Crelle’s Journal, Band 83,
S. 185 ff; Band 84, S. 264;
Poincar 6, ActaMathem., Band4, S. 211;
Mittag-Leffler, ebenda, Band 15,
S. Iff.
Inhaltsverzeiehniss und Literaturnachweis.
xyn
Fünftes Kapitel.
90. Singuläre Stellen, an denen sieh
einige Integrale bestimmt verhalten.
Fundamentalgleichung· und Recur-
sionsformel................ S. 323.
91. Stellen, an denen die Coëfficiën-
ten den Charakter rationaler Func-
tionen haben. Charakteristischer In-
des. Satz über die determinirendc
Function...................S. 328.
92. Sätze über Differentialgleichungen,
die einige sich an einer singulären
Stelle bestimmt verhaltende Integrale
besitzen...................S. 330.
93. Differentialgleichungen mit n —· 1
sich bestimmt verhaltenden Integralen.
Allgemeine Bemerkungen , . S. 335.
Thomé, Crelle’s Journal, Band 74,
S. 193 tf.; Band 75, S. 26511 .; Band 76,
S. 273tf.;
Frobenius, ebenda, Band 80, S. 317ff.;
Heffter, Einleitung etc,, S. 181ff.
Thomé, Crelle’s Journal, Band 75,
S. 278;
Frobenius, ebenda, Band 80, S. 322;
vergl.Thomo, ebenda,Band78, S.223ff.;
Band 81, S. Iff.; Band 96, S. 185 ff.
Sechstes Kapitel.
94. Untersuchung einer Differentialglei-
chung in der Umgehung des unendlich
fernen Punktes. Rang . . . S. 337.
95. Integration einer besonderen Diffe-
rentialgleichung, deren allgemeine
Lösung eine ganze transcendente
Function ist. Charakteristische Glei-
chung.......................S. 339.
96. Normalreihen und Xormalintegralc.
Fundamentale determinirende Fac-
toren ......................S. 343.
97. Fall mehrfacher Wurzeln der cha-
rakteristischen Gleichung. Normale
Differentialausdrücke.... S. 347.
98. Differentialgleichungen, deren linke
Seite ans normalen Differentialaus-
drücken zusammengesetzt ist. S. 351.
Poincaré, Acta Mathem., Band 8,
S. 305.
Thonré, Crelle’s Journal, Band 83,
S. 89 fl’.; Band 91, S. 79 ff.; Band 95,
S. 44 11 .; Band 96, S. 185ff.;
Floquct, Annales de l’École Normale,
Serie II, Band 8, Suppl. S. 3 ff. ;
Fabry, Thèses (Faculté des Sciences,
Paris, 1885);
Cayley, Crelle’s Journal, Band 100,
S. 286 ff.;
Hamburger, ebenda, Band 103,
S. 238 t?.;
Günther, Inauguraldissertation (siehe
Crelle’s Journal, Band 105);
vergl. Petzval, Integration etc., Band 2,
S. 482 ff.
Siebentes Kapitel.
99. Rang der Normalreihen. Reduction
der allgemeinen Untersuchung auf
die von Differentialgleichungen vom
Range Eins....................S. 355.
100. Verhalten der Lösungen einer Dif-
ferentialgleichung vom Range Eins
in der Nähe des unendlich fernen
Punktes........................S. 359.
101. Rückblick auf die bisherigen Unter-
suchungen.......................S. 364.
Schlesinger, Differentialgleichungen. L
Poincaré, Acta Mathem., Band 8,
S. 328 ff.
Poincaré, American Journal, Band 7,
S. 203 ff.
b
XVIII
Inhaltsverzeichnis® und Litteratumachweis.
Siebenter Abschnitt.
Allgemeingültige Darstellungen der Integrale von Differential-
gleichungen mit rationalen Coefflcienten.
Erstes Kapitel.
102. Das Integrationsproblem für eine
Differentialgleichung· mit rationalen
Coefflcienten. Querschnitte. . S. 367.
103. Darstellung eines Particulärintegrals
in Form einer Reihe .... S. 370.
104. Untersuchung der einzelnen Glieder
einer Reihe, allgemein und unter einer
besonderen Annahme . . . S. 372.
105. Untersuchung des Restgliedes und
Convcrgenzbeweis............S. 375.
Zweites
106. Untersuchung der Integrale als
Functionen der in den Coefflcienten
auftretenden Parameter. Darstellung
des Substitutionscoefflcienten. S. 378.
107. Die Günther’sckc Entwickelung
der Coefflcienten der zu einem Kreis-
ringe gehörigen Fundamentalgleichung
für Differentialgleichungen zweiter
Ordnung....................S. 382.
108. Entwickelung der Integrale einer
Differentialgleichung vom Range
Eins.......................S. 387.
Drittes
109. Herstellung einer Differentialglei-
chung und ihrer adjungirten aus der
Reeursionsformel............S. 390.
110. Differentialgleichungen vom Range
Eins. Reeursionsforme] für die Nor-
malreihen.............. S. 393.
111. Aufstellung der Laplace’schen
Transformation und der ihr adjungir-
ten Differentialgleichung . . S. 396.
112. Differentialgleichungen mit ein-
fachen singulären Punkten. Eigen-
schaften der Laplace’schen Trans-
formirten. Convergenz der Normal-
reihen.....................S. 401.
Viertes
113. Directe Herleitung der Laplace-
schen Transformirten, . . . S. 407.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 66,
S. 125, 131, 140.
Fuchs, Annali di Matematica, Serie II,
Band 4, S. 40ff.;
vergl. Ca que, Liouville’s Journal,
Serie II, Band 9, S. 185 ff.
Kapitel.
Poincaré, Acta Matematica, Band 4,
S. 212 ff.;
vergl. Vogt, Thèses (Annales de l’Ecole
Normale, 1889, Suppl.);
Günther, Crelle’s Journal, Band 106,
S. 330ff.; Band 107, S. 298ff.
Günther, Orclle’s Journal, Band 107,
S. 298ff.;
vergl. Vogt, a. a. O.
vergl. Fuchs, a. a. O.
Kapitel.
Vergl. Heun, American Journal, Band 11,
S. 215.
Siehe die Citate zu Xrn. 95—08, und
Poincaré. Acta Mathem., Band 8,
S. 304, 309.
Vergl. die Citate zu Xm. 113, 114.
Pochhammer, Crelle’s Journal, Band 73,
S. 69 ff. ;
Poincaré, American Journal, Band 7,
S. 219; Acta Mathem., Band 8,
S. 306 ff., 315 ff.,. 321 ff.
Kapitel.
Laplace, Théorie analytique des Pro-
babilités, Livre I, Première partie;
Journal de l’École Polytech. cah. 15;
Mémoires de l’Académie de Paris.
1782 ;
Tub al ts verzeieliniss und Litteraturnachweis.
XIX
114. Die Laplace’sche Differentialglei-
chung. Integration derselben durch
Quadraturen.....................S. 409.
115. Differentialgleichungen vom Range
Eins, die von höherer Ordnung sind,
als ihre Laplaoe’sehen Transfer-
mirten.....................S. 414.
116. Die allgemeine Differentialgleichung
vom Range Eins. Convergenz der Nor-
malreihen (vcrgl. Nr. 112). . S. 417.
117. Bedingung für die Existenz eines
Integrals, das abgesehen von einem
Exponentialfactor eine ganze rationale
Function ist. Asymptotische Dar-
stellung von Integralen durch Normal-
reihen. Bemerkung über die Laplace-
sche Transformirte..........S. 422. j
Poincaré, American Journal, Band 7,
S. 217 ff.;
vergi. Lacroix, Traité etc., Band 3,
(1819), S. 502, 507;
Petz val, Integration etc., Band 1,
S. 328 if. ; Band 2, S. 144 ff.
Laplace, a. a. 0.;
Jordan, Cours d Analyse, Band 3,
(1887), S. 253 ff. ;
vergi. Lacroix, a. a. 0.;
Pctzval, a. a. 0., Band 1, S. 38 ff.
Poincaré, American Journal, Band 7,
S. 222 ff.
Poincaré, American Journal, Band 7,
S. 225 ff. ; Acta Matkom., Band 8,
S. 306 ff.;
vergi. Laplace, a. a. 0.
Acliter Abschnitt.
Die Berechnung der Funüamentalsubstitutionen für eine Differential-
gleichung mit rationalen Coefftcienten.
Erstes Kapitel.
118. Fortsetzung eines Fundamental-
systems ................S. 427.
119. Fall, wo die Convergenzkreise in
einander greifen. Abbildung durch
eine lineare Function. Allgemeinere
Abbildung .............S. 430.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 75, S. 177,
Abtheil. II;
Thomé, ebenda, Band 87, S. 224ff.;
Poincaré, Acta Mathem., Band 4,
S. 209 ff.
Zweites Kapitel.
120. Methoden für die Berechnung der
Substitutionscoefficientcu. Fundamen-
talsubstitntionen...........S. 436.
121. Fundamentalinvarianten. Berech-
nung derselben................S. 438.
122. Die Fuchs’sehe Methode der Ueber-
gangssubstitutionen ..... S. 442.
123. Berechnung der Uebergangssubsti-
tutionen für die Differentialgleichungen
der Fuchs’sehen Classe . . S. 447.
124. Convergenzfragen. Fall, wo die
singulären Punkte auf einem Kreise
liegen. Die Fuchs’sehe Abbil-
dung . ......................S. 454.
Fuchs, a. a. 0.;
Poincare, Acta Mathem., Band 4,
S. 201 ff.
Fuchs, Crelle’s Journal, Band 75,
S. 20511 ,
Fuchs, a. a. 0. S. 209ff.
Thomé, Crelle’s Journal, Band 87,
S. 210ff., 341 ff.;
Fuchs, Orelle’s Journal, Band 75,
S. 177ff.; Band 106, S. Iff.; Band 108,
S. 181 ff.
b*
XX
Inhaltsverzeichniss und Litteratnmachweis.
Drittes Kapitel.
125. System von Fundamentalinvarianten
für eine Differentialgleichung zweiter
Ordnung . ..................S. 461.
126. Bestimmung der Fundamentalsub-
stitutionen aus den Fundamentalin-
varianten. Mehrdeutigkeit . S. 465.
127. Darstellung der Invariante einer
heliehigen Substitution durch die
Fundamentalinvarianten . . S. 469.
128. Invariantensysteme, die eine ein-
deutige Bestimmung der Fundamen-
talsubstitutionen liefern. Ausnahme-
fälle. Berechnung der Invarian-
ten ..........................S. 472. .
129. Berechnung der Uebergangssubsti-
tutionen für die Gauss’scbe Differen-
tialgleichung im Falle unbestimmter
a, ß, y.......................S. 477.
130. Schlussbemerkung .... S. 484.
Poincaré, Liouville s Journal, Ser·. IV,
Band 3, § 5;
Vogt, Thèses (Paris 1889), S. 5 ff. ;
Mittag-Lefflor, Acta Mathematiea,
Band 15, S. 31 ff.
Siehe die Citate zu Nm. 71, 72.
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Teilbibliothek Mathematik & Informatik
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0104 MAT 340b 2001 A 29986-1 Lageplan |
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| Exemplar 1 | Nicht ausleihbar Am Standort |