Differentialgleichungen: eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen ; mit 68 Aufgaben mit Lösungen und zahlreichen Beispielen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Teubner
1973
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| Ausgabe: | 5. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik
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| Beschreibung: | Bis 2. Aufl. u.d.T.: Collatz, Lothar: Differentialgleichungen für Ingenieure |
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Inhalt
Einteilung der Differentialgleichungen
1 Bezeichnungen 11
2 Physikalische Beispiele für Differentialgleichungen 12
I Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung
§ 1 Richtungsfeld und einfachste integrierbare Typen
3 Lösungskurven im Richtungsfeld 14
4 Trennung der Veränderlichen 15
5 Ähnlichkeitsdifferentialgleichung 18
6 Einfache, auf die Ähnlichkeitsdifferentialgleichung zurückführbare
Fälle 19
§ 2 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
7 Homogene, inhomogene Gleichung, triviale Lösung 20
8 Lösung der homogenen Gleichung 21
9 Lösung der inhomogenen Gleichung 21
§ 3 Bernoullische Differentialgleichung
10 Zurückführung auf eine lineare Differentialgleichung 23
11 Die Riccatische Differentialgleichung 24
§ 4 Der integrierende Faktor
12 Exakte Differentialgleichung 25
13 Der integrierende Faktor 28
§ 5 Vorbereitungen zur Existenz- und Eindeutigkeitsfrage
14 Ein- und mehrdeutige Richtungsfelder 27
15 Nichteindeutigkeit der Lösung 28
16 Die Lips chit z-Bedingung, schärfere und schwächere Form 29
17 Das Verfahren der schrittweisen Näherungen 30
§ 6 Der allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitssatz
18 Der Existenzsatz 31
19 Der Eindeutigkeitsbeweis 35
20 System von Differentialgleichungen 36
21 Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung 37
§ 7 Singuläre Linienelemente
22 Reguläre und singuläre Linienelemente 39
23 Beispiele für singuläre Lösungen 39
24 Isolierte singuläre Punkte 42
25 Allgemeine Theorie der isolierten singulären Punkte 44
26 Die Clairautsche und d’Alembertsche Differentialgleichung 46
27 Schwingungen bei einem Freiheitsgrad, Phasenkurven 48
28 Beispiele von Schwingungen und Phasenkurven 60
8 Inhalt
§ 8 Vermischte Aufgaben und Lösungen
29 Aufgaben
30 Lösungen
II Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung
§ I Einige Typen nichtlinearer Differentialgleichungen
1 Die abhängige Veränderliche y kommt nicht explizit vor
2 Die Gleichung y = f(y) und das Energieintegral
3 Die allgemeine Differentialgleichung, in der x nicht explizit auftritt
y(v)
4 Die Differentialgleichung enthält nur die Verhältnisse
§ 2 Grundlegende Sätze über lineare Differentialgleichungen
5 Bezeichnungen
6 Der Überlagerungssatz
7 Reduktion der Ordnung einer linearen Differentialgleichung
§ 3 Fundamentalsysteme einer linearen Differentialgleichung
8 Lineare Abhängigkeit von Funktionen
9 Die Wronskische Determinante für lineare Unabhängigkeit von
Funktionen
10 Allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung
§ 4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
11 Lösungsansatz und charakteristische Gleichung
12 Mehrfache Nullstellen der charakteristischen Gleichung
13 Stabilitätskriterium
14 Die Gleichung für erzwungene Schwingungen
16 Lösung der homogenen Schwingungsgleichung
§ 5 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen linearen Diffe
rentialgleichung
16 Das Verfahren der Variation der Konstanten
17 Die „Faustregel“
18 Einführung einer komplexen Differentialgleichung
19 Der Resonanzfall
§ 6 Die Eulersche Differentialgleichung
20 Lösungsansatz und charakteristische Gleichung
21 Beispiele
§ 7 Systeme linearer Differentialgleichungen
22 Beispiel: Schwingungen eines Kraftfahrzeugs (Kopplungsarten)
23 Fundamentalsystem von Lösungen
24 Lösung des inhomogenen Systems mit Hilfe der Variation der Kon
stanten
26 Matrix A konstant, charakteristische Zahlen der Matrix
26 Die drei Hauptklassen in der Theorie der quadratischen Matrizen
27 Anwendung auf die Schwingungslehre
28 Beispiel eines physikalischen Systems mit nicht normalisierbarer
Matrix
Inhalt 9
29 Transformation normaler und normalisierbarer Matrizen auf Dia
gonalgestalt 101
§ 8 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
30 Technische Beispiele für Differentialgleichungen mit periodischen
Koeffizienten 106
31 Periodische Lösungen des homogenen Systems 107
32 Stabilität 108
33 Periodische Lösungen beim inhomogenen System 110
34 Beispiel für die Stabilitätstheorie 111
DI Rand-, insbesondere Eigenwertaufgaben
1 Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben 112
§ 1 Beispiele linearer Randwertaufgaben
2 Ein Träger Mehrere Felder der Differentialgleichung 113
3 Die Anzahl der Lösungen bei linearen Randwertaufgaben 115
§ 2 Beispiele nichtlinearer Randwertaufgaben
4 Differentialgleichung der Kettenlinie 117
5 Die Differentialgleichung y = yz 119
6 Abzählbar unendlich viele Lösungen der Randwertaufgabe bei
y = —ya 122
§ 3 Die Alternative bei linearen Randwertaufgaben gewöhnlicher Diffe
rentialgleichungen
7 Halbhomogene und vollhomogene Randwertaufgaben 123
8 Die allgemeine Alternative 124
§ 4 Lösung von Randwertaufgaben mit Hilfe der Greenschen Funktion
9 Einfachste Beispiele Gr een scher Funktionen 125
10 Die Greensche Funktion als Einflußfunktion 128
11 Allgemeine Definition der Green sehen Funktion 129
12 Die Lösungsformel für die Randwertaufgabe 131
§ 5 Beispiele von Eigenwertaufgaben
13 Die vollhomogene Randwertaufgabe 133
14 Die nichtlineare Randwertaufgabe 135
15 Partielle Differentialgleichung der Torsionsschwingungen von
Wellen 136
16 Der Bernoulli -Ansatz für Eigenschwingungen 137
§ 6 Eigenwertaufgaben und Orthonormalsysteme
17 Selbstadjungierte und volldefinite Eigenwertaufgaben 140
18 Orthogonalität der Eigenfunktionen 142
19 Orthonormalsystem 143
20 Orthogonalsysteme mit Polynomen 148
21 Approximation im Mittel 148
22 Zum Entwicklungssatz 149
10 Inhalt
§ 7 Vermischte Aufgaben und Lösungen zu Kapitel II und III
23 Aufgaben 151
24 Lösungen 153
IV Spezielle Differentialgleichungen
§ 1 Kugelfunktionen
1 Lösung der Potentialgleichung 156
2 Die erzeugende Funktion 159
t 3 Kugelfunktionen zweiter Art 161
4 Eine andere explizite Darstellung der Le gen dreschen Polynome 162
5 Orthogonalität 163
| 2 Zylinderfunktionen
, 6 Partielle Schwingungsgleichung einer Membran 164
! 7 Bernoulli-Ansatz für die Membranschwingungen 165
; 8 Die erzeugende Funktion 166
i! 9 Folgerungen mit Hilfe der erzeugenden Funktion 167
10 Integraldarstellung 170
11 Beispiel aus der Astronomie: Die Kepler sehe Gleichung 171
12 Bessel-Funktionen zweiter Art 172
13 Allgemeinere Differentialgleichungen 172
14 Schwingungsformen der Kreismembran 175
§ 3 Reihenentwicklung, hypergeometrische Funktion
15 Reihenansatz, determinierende Gleichung 176
16 Wurzeln der determinierenden Gleichung 177
17 Beispiele Hypergeometrische Gleichung 179
V Ergänzungen
§ I Allgemeine Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten
1 Einfache lineare partielle Differentialgleichungen 181
2 Wellengleichung und Potentialgleichung 183
§ 2 Randwertaufgabe der Potentialtheorie
3 Lösung der Randwertaufgabe für den Kreisbereich 186
4 Beispiel: Temperaturverteilung 187
§ 3 Einige Näherungsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differential
gleichungen
5 Vorbemerkungen und einige grobe Näherungsverfahren 189
6 Angenäherte rechnerische Integration nach Runge und Kutta 190
7 Verfahren der zentralen Differenzen 192
8 Differenzenverfahren 195
9 Mehrstellenverfahren 196
10 Ritzsches Verfahren 197
VI Anhang: Weitere Übungsaufgaben und Lösungen 199
Verzeichnis einiger deutschsprachiger Bücher 222
Sachverzeichnis 223
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