Mathematik als Denkerziehung: eine psychologische Untersuchung über die Rolle des Denkens in der mathematischen Früherziehung
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Klett
1973
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Zur Einführung von Hans Aebli XI
Vorwort 1
1. Denk- und lernpsychologische Grundlagen ...... 5
1.1. Die Entwicklung des operatorischen Denkens bei Piaget ... 5
1.1.1. Vom voroperatoristhen zum konkret-operatorischen Denken . 7
1.1.1.1. Die elementaren logischen Operationen 8
1.1.1.1.1. Die Klassifikationen unter ihrem denkpsychologischen Aspekt . 9
Die additiven Klassifikationen 9
Die multiplikativen Klassifikationen 14
Retroaktive und antizipatorische Mobilität . . . . . 16
Einfache Multiplikationen oder InterSektionen .... 20
1.1.1.1.2. Die Klassifikationen unter ihrem logischen Aspekt .... 22
1.1.1.1.3. Die Seriationen 24
Vom voroperatorischen zum operatorischen Seriierungsverhalten 25
Die Multiplikation asymmetrischer transitiver Relationen . . 28
1.1.1.1.4. Zusammenfassung 30
1.1.1.1.5. Tabelle 1: Typische Verhaltensweisen als Ausdruck der Entwick¬
lung der elementaren logischen Strukturen 32
1.1.1.2. Der Zahlbegriff . . 35
1.1.1.2.1. Der logische Aspekt des Zahlbegriffs 35
1.1.1.2.2. Der denkpsychologische Aspekt des Kardinalzahlbegriffs . . 36
1.1.1.2.3. Quantität und Quotität 46
1.1.1.2.4. Der Ordinal- und der Kardinalzahlbegriff 48
1.1.1.2.5. Zusammenfassung 52
1.1.1.2.6. Tabelle 2: Typische Verhaltensweisen in der Entwicklung des
Zahlbegriffs 53
1.1.1.3. Elementare arithmetische Operationen oder: L arithm£tique n est
pas la logique du pauvre 54
1.1.1.3.1. Weitere Aspekte des Zahlbegriffs 54
Die additive und die multiplikative Komposition der Zahl . . 55
Die Kommutativität der Addition 60
1.1.1.3.2. Die Iteration und das schlußfolgernde arithmetische Denken . . 63
Zur Konnexität der Folge der ersten natürlichen Zahlen . . 63
Die arithmetische Struktur der Iteration (+1) 64
Differenzen zwischen je zwei Zahlen der Zahlenreihe ... 65
Versuche an der Zahlenreihe zur kardinalen Iteration ... 67
Kompensatorische Operationen und die Struktur der Iteration . 69
V
Die arithmetische Struktur der Iteration, die Vielfachen von n
und die Teilbarkeit der natürlichen Zahlen 72
1.1.1.3.3. Die Iteration und Piagets erkenntnistheoretische Sicht des
Zahlbegriffs 75
1.1.1.3.4. Zusammenfassung 76
1.1.1.3.5. Tabelle: Typische Verhaltensweisen als Ausdruck der Entwick¬
lung der elementaren arithmetischen Strukturen .... 78
1.1.1.4. Räumliche (infralogische) Operationen 77
1.1.1.4.1. Topolqgische Probleme 80
Elementare topologische Relationen 80
Topologische Ordnungsrelationen: lineare und zyklische
Ordnungen 82
Knoten als topologische Gegebenheiten 86
1.1.1.4.2. Probleme der projektiven Geometrie 89
Einfache Probleme der Perspektive 89
Der Drei-Berge-Versuch 92
Die „spontane Darstellende Geometrie 95
1.1.1.4.3. Probleme der euklidischen Geometrie 98
Das Koordinatensystem 98
Der Stadtplan und sein räumliches Bezugssystem .... 99
1.1.1.4.4. Spezifisch metrische Probleme 105
Das Messen von Längen und die Längeninvarianz .... 105
Das Messen von Flächen und die Flächeninvarianz . . . .109
Der Begriff des Bruchs 112
1.1.1.4.5. Zusammenfassung 115
1.1.1.4.6. Tabelle 4: Typische Verhaltensweisen als Ausdruck der
Entwicklung der infralogischen (räumlichen) Strukturen . . 118
1.1.1.5. Vom voroperatorischen zum konkret-operatorischen Denken:
Zusammenfassung 121
1.1.2. Vom konkret-operatorischen zum formalen Denken .... 122
1.1.2.1. Formales Denken ist hypothetisch-deduktives Denken.
Das Problem der Dichte oder des spezifischen Gewichts . . .123
1.1.2.2. Die Kombinatorik als konstituierendes Moment des formalen
Denkens: Der Versuch mit dem Pendel 127
1.1.2.3. Negation und Reziprozität — zwei Formen der Reversibilität:
Der Versuch mit der Balkenwaage 129
1.1.2.4. Arithmetische Strukturen im formalen Denken .... 132
1.1.2.5. Vom konkret-operatorischen zum formalen Denken:
Zusammenfassung 132
1.1.2.6. Tabelle 5: Typische Verhaltensweisen im Übergang vom
konkret-operatorischen zum formalen Denken 134
1.2. Piagets Theorie der geistigen Entwicklung im weiteren Rahmen
der heutigen Entwkklungs- und Kognitionspsychologie . . . 135
1.2.1. Die Strukturen in Piagets Theorie 135
VI
1.2.1.1. Die logisdi-mathematisdien Strukturen . . . . . . 136
1.2.1.2. Die psydiologische Relevanz der logisch-mathematischen
Strukturen 138
1.2.1.3. Aebli: „Gruppierungen sind keine Tiefenstrukturen des Denkens 141
1.2.2. Piagets Äquilibrationstheorie 141
1.2.2.1. Die Kritik an Piagets Äquilibrationsmodell 144
1.2.2.2.- Das Problem der Motivation 146
Piagets intrinsische Motivation . . 146
Aeblis Modifikation von Piagets Motivationstheorie . . . 147
1.2.2.3. Die psychologisch-pädagogische Relevanz des Äquilibrations-
modells 148
1.2.3. Zur Problematik von Piagets Stufentheorie 148
1.2.3.1. Die Synchronizität der Operationen und das Problem
der decalages 149
1.2.3.2. Aeblis Interpretation der decalages im Rahmen eines
— gegenüber Piaget — erweiterten Entwicklungsbegriffs . . 151
1.2.3.3. Flavell/Wohlwills Stellung zur Synchronizität der Operationen
und zum Problem der decalages 154
1.2.3.4. Abschließende Betrachtung und pädagogisch-psychologische
Konsequenzen aus der Diskussion von Piagets Stufentheorie . 156
1.2.4. Die Rolle der Sprache in der Entwicklung der kognitiven
Strukturen 157
1.2.4.1. Das Verhältnis von Sprache und Denken bei Piaget . . . 157
1.2.4.2. Furth: Denken ohne Sprache 163
1.2.4.3. Schichtenspezifische Sprachformen und ihr Einfluß auf die
kognitive Entwicklung 164
1.2.4.4. Pädagogisch-psychologische Konsequenzen 166
1.2.5. Bruners Theorie der kognitiven Entwicklung 167
1.2.5.1. Die Theorie der Genfer Schule und ihre Modifikation
durch Bruner 167
1.2.5.2. Bruners Theorie in den Versuchssituationen 169
Versuche zur Bildung von Äquivalenzrelationen . . . .169
Versuch zur multiplen Klassifikation 171
Versuch zum Umgang mit relationalen Begriffen . . . .174
Invarianzversuche 176
Fragespiele 179
1.2.5.3. Die Strukturen der Sprache und der kognitiven Verhaltens¬
weisen 182
1.2.6. Produktives und kreatives Denken 182
1.2.6.1. Kreativität als Erweiterung des Intelligenzkonzepts . . . 184
1.2.6.2. Piagets Konstruktivismus als eine Theorie des kreativen Denkens 189
1.3. Lernpsychologische Aspekte 193
VII
1.3.1. Entwicklung und Lernen bei Piaget 193
1.3.2. Vom Erlernen operatorischer Strukturen 195
1.3.2.1. Lernversuche und für den Lernprozeß relevante Faktoren . . 195
1.3.2.2. Die didaktische Konsequenz: operatorisches Oben .... 202
1.3.3. Lernpsychologische Konsequenzen aus Bruners Theorie der
kognitiven Entwicklung 205
1.3.4. Zum Problem der Förderung des kreativen Denkens . . .213
1.3.5. Das Transferproblem 215
1.3.5.1. Piagets structures d ensemble und das Transferproblem . . . 216
1.3.5.2. Bruners Repräsentationsweisen und das Transferproblem . . 220
1.3.6. Unterrichtssituation und Lehrerverhalten als relevante Faktoren
für den Erwerb kognitiver Strukturen 221
1.3.6.1. Die Unterrichtssituation ist anders 221
1.3.6.2. Lehrerverhalten und kognitive Entwicklung 223
2. Analyse der Unterrichtsmethoden der mathematischen
Früherziehung 225
2.1. Unser Standort und die allgemeine Fragestellung .... 225
2.1.1. Kriterien für eine Analyse 225
2.1.2. Unser Vorgehen 230
2.2. Charakterisierung der Unterrichtsmethoden nach ihren
wesentlichen denkpsychologischen Merkmalen 231
2.2.1. Ganzheits- und gestaltpsychologisch orientierte Methoden . .231
2.2.1.1. J. Wittmann: Der ganzheitliche analytisch-synthetische Rechen¬
unterricht als „mengengeometrisches Rechnen . . . .231
2.2.1.2. Karaschewskis Präzisierung und Modifizierung des
Wittmannschen Rechenunterrichts 243
2.2.1.3. Das Gestaltrechnen nach Kern/Gieding 251
2.2.2. Operative oder operatorische Methoden 258
2.2.2.1. Operatives Rechnen nach Fricke/Besuden 258
2.2.2.2. Stube: Ordnungsrelationen in der Grundschule .... 279
Ein Exkurs von theoretischer Bedeutung 286
2.2.2.3. Bärmann/Resag: Verschränkung von Mengenlehre und Zahlen¬
rechnen 287
2.2.2.4. Brinkmann: Ein „Lehrgang operativer Denkschulung . . . 298
2.2.3. Mengentheoretisch orientierte Methoden 301
2.2.3.1. Der Aufbau der Mathematik bei Dienes 301
2.2.3.2. Der konstruktiv-dynamische Lehrgang von N. Picard für den
Anfangsunterricht in Mathematik 324
VIII
2.2.3.3. Neunzig/Sorger: Wir lernen Mathematik 333
2.2.3.4. Bauersfeld u. a.: „alef — Wege zur Mathematik .... 346
2.2.4. Die Analyse nach den weiteren Kriterien 377
2.2.4.1. Mathematikunterricht und Kreativität 377
2.2.4.2. Die Unterrichtsmethoden und das Transferproblem . . . 383
2.2.4.3. Die Sprache im Mathematikunterricht 386
2.2.4.4. Die Motivation im Mathematikunterricht 390
2.2.4.5. Denkerziehung im Bereich der infralogischen Strukturen . . 393
2.3. Über die Rolle des Denkens in der mathematischen Früherziehung:
Zusammenfassung 400
Nachwort: Über die pädagogisch-anthropologische Dimension der
mathematischen Früherziehung 405
Literatur 408
IX
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