Formeln der Mathematik:
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
München [u.a.]
Hanser [u.a.]
1992
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| Edition: | 7., durchges. Aufl. |
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| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
1 ARITHMETIK UND ALGEBRA 1
1.1 REELLE ZAHLEN 1
1.1.1 AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS 1
1.1.2 GLEICHHEIT 3
1.1.3 UNGLEICHUNGEN 3
1.1.4 INTERVALLE 5
1.1.5 ABSOLUTER BETRAG UND VORZEICHEN . . 5
1.1.6 KRONECKERSYMBOL 7
1.1.7 FUNKTION INT 7
1.2 GRUNDGESETZE DER ARITHMETIK 7
1.2.1 ADDITION 7
1.2.2 SUBTRAKTION 7
1.2.3 MULTIPLIKATION 8
1.2.4 DIVISION 9
1.2.5 POTENZIERUNG 11
1.2.6 RADIZIERUNG 12
1.2.7 LOGARITHMIERUNG . 16
1.3 ERGAENZUNGEN 18
1.3.1 MITTELWERTE 18
1.3.2 PROPORTIONEN . . . 18
1.3.3 LINEARE INTERPOLATION 19
1.3.4 FAKULTAET, BINOMIALKOEFTIZIENTEN 21
1.3.5 KOMBINATORIK 23
1.3.5.1 PERMUTATIONEN 23
1.3.5.2 KOMBINATIONEN 24
1.3.5.3 VARIATIONEN 25
1.3.6 DETERMINANTEN 25
1.3.6.1 DEFINITIONEN UND BEZEICHNUNGEN 25
1.3.6.2 BERECHNUNG DES WERTES VON DETERMINANTEN 26
1.3.6.3 EIGENSCHAFTEN VON DETERMINANTEN 28
1.3.7 ELEMENTARE REIHEN 29
1.3.7.1 ARITHMETISCHE REIHEN 29
1.3.7.2 GEOMETRISCHE REIHEN 32
1.3.7.3 ZINZESZINS- UND RENTENRECHNUNG 33
2 LINEARE VEKTORRAEUME 35
2.1 DEFINITION 35
2.2 VEKTOREN DES V
3
(BZW. V
1
) 36
2.2.1 GRUNDBEGRIFFE 36
2.2.1.1 DEFINITION 36
2.2.1.2 ERGAENZUNGEN 37
2.2.2 KOMPONENTENDARSTELLUNG 37
VII
HTTP://D-NB.INFO/911451927
2.2.3 LINEARE BEZIEHUNGEN, LINEARE ABHAENGIGKEIT. 41
2.2.4 PRODUKTBILDUNGEN 43
2.2.4.1 SKALARPRODUKT (INNERES PRODUKT) 43
2.2.4.2 VEKTORIELLES (AEUSSERES, KREUZ-) PRODUKT 46
2.2.4.3 MEHRFACHE PRODUKTE 47
2.3 KOERPER C DER KOMPLEXEN ZAHLEN 49
2.3.1 DEFINITION 49
2.3.2 GRUNDGESETZE DER ARITHMETIK IN C 50
2.3.3 BASISDARSTELLUNG IN C 50
2.3.4 ERGAENZUNGEN 51
2.3.5 ARITHMETIK DER KOMPLEXEN ZAHLEN IN POLARFORM, MOIVRESCHE
FORMEL.... 52
2.3.6 FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 54
3 PLANIMETRIE UND STEREOMETRIE
56
3.1 PLANIMETRIE 56
3.1.1 WINKELMESSUNG 56
3.1.2 DREIECKE 58
3.1.2.1 WINKEL- UND SEITENBEZIEHUNGEN 58
3.1.2.2 KONGRUENZSAETZE 59
3.1.2.3 AEHNLICHKEITSSAETZE 59
3.1.2.4 SPEZIELLE TRANSVERSALEN 61
3.1.2.5 ALLGEMEINE DREIECKSFORMELN 62
3.1.2.6 SPEZIELLE DREIECKE 64
3.1.3 VIERECKE 67
3.1.3.1 ALLGEMEINES VIERECK 67
3.1.3.2 TRAPEZ 67
3.1.3.3 PARALLELOGRAMM 68
3.1.3.4 RHOMBUS (RAUTE) 68
3.1.3.5 RECHTECK 68
3.1.3.6 QUADRAT 68
3.1.3.7 SEHNENVIERECK 68
3.1.3.8 TANGENTENVIERECK 69
3.1.4 REGELMAESSIGE -ECKE 70
3.1.5 KREIS 72
3.1.5.1 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN 72
3.1.5.2 KREISFORMELN 74
3.2 STEREOMETRIE 78
3.2.1 EBENFLAECHIG BEGRENZTE KOERPER. 78
3.2.1.1 ALLGEMEINE SAETZE 78
3.2.1.2 PRISMA 79
3.2.1.3 PYRAMIDE 81
3.2.1.4 REGULAERE POLYEDER 83
3.2.1.5 SONSTIGE KOERPER 84
3.2.2 KRUMMFLAECHIG BEGRENZTE KOERPER 84
3.2.2.1 ZYLINDER 84
3.2.2.2 KEGEL 88
3.2.2.3 KUGEL 89
VIII
4 TRIGONOMETRIE
92
4.1 KREISFUNKTIONEN 92
4.1.1 DEFINITION 92
4.1.2 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN FUNKTIONSWERTEN 94
4.1.2..1 UMRECHNUNGSFORMELN FUER DEN GLEICHEN WINKEL 94
4.1.2.2 ADDITIONSTHEOREME 94
4.1.2.3 WINKELVIELFACHE 95
4.1.2.4 HALBWINKELFORMELN 95
4.1.2.5 SUMMENFORMELN 96
4.1.2.6 PRODUKTFORMELN 97
4.1.2.7 POTENZEN VON FUNKTIONSWERTEN 97
4.1.2.8 FUNKTIONSWERTE BEI DREI WINKELN 97
4.2 EBENE TRIGONOMETRIE 101
4.2.1 RECHTWINKLIGES DREIECK 101
4.2.2 SCHIEFWINKLIGES DREIECK 102
4.2.2.1 ALLGEMEINE FORMELN 102
4.2.2.2 ALLGEMEINE DREIECKSBERECHNUNG 102
4.2.2.3 GEODAETISCHE GRUNDAUFGABEN 103
4.3 SPHAERISCHE TRIGONOMETRIE 106
4.3.1 GEOMETRIE AUF DER KUGEL 106
4.3.2 RECHTWINKLIGES KUGELDREIECK 107
4.3.3 SCHIEFWINKLIGES KUGELDREIECK . .110
4.3.4 ORTHODROME, LOXODROME 114
5 KOORDINATENSYSTEME UND KOORDINATENGEOMETRIE 116
5.1 PARALLELKOORDINATEN IN EBENE UND RAUM 116
5.1.1 DEFINITION 116
5.1.1.1 EBENE 116
5.1.1.2 RAUM 117
5.1.2 TRANSFORMATION KARTESISCHER KOORDINATEN 118
5.1.3 KOORDINATENGEOMETRIE 122
5.2 POLARKOORDINATEN 126
5.2.1 DEFINITION 126
5.2.2 ZUSAMMENHANG MIT KARTESISCHEN KOORDINATEN 127
5.2.3 KOORDINATENGEOMETRIE 128
5.3 ZYLINDERKOORDINATEN 128
5.3.1 DEFINITION 128
5.3.2 ZUSAMMENHANG MIT KARTESISCHEN KOORDINATEN 129
5.3.3 KOORDINATENGEOMETRIE 129
5.4 KUGELKOORDINATEN 130
5.4.1 DEFINITION 130
5.4.2 ZUSAMMENHANG MIT KARTESISCHEN KOORDINATEN 130
5.4.3 KOORDINATENGEOMETRIE 132
IX
6 FUNKTION EINER VARIABLEN 133
6.1 DEFINITIONEN 133
6.2 ALGEBRA DER FUNKTIONEN 13S
6.3 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN 136
6.3.1 MONOTONIE 136
6.3.2 BESCHRAENKTHEIT, UNBESCHRAENKTHEIT 137
6.3.3 PERIODIZITAET 138
6.3.4 GERADE UND UNGERADE FUNKTIONEN 138
6.4 UMKEHRFUNKTION 139
6.4.1 UMKEHRBARKEIT 139
6.4.2 GRAPH 140
6.4.3 TERM 140
6.4.4 HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DIE EXISTENZ 140
6.4.5 UMKEHRBARKEIT EINER EINSCHRAENKUNG 141
6.5 GRENZWERT 142
6.5.1 DEFINITION 142
6.5.2 ALLGEMEINE GRENZWERTSAETZE 145
6.5.3 SPEZIELLE GRENZWERTE 146
6.5.4 ASYMPTOTISCHE ANNAEHERUNG 146
6.5.5 GROESSENORDNUNG VON FUNKTIONEN 147
6.5.5.1 GROESSENORDNUNG DES VERSCHWINDENS 147
6.5.5.2 GROESSENORDNUNG DES UNBESCHRAENKTSEINS 148
6.6 STETIGKEIT 149
6.6.1 DEFINITION 149
6.6.2 SAETZE UEBER STETIGE FUNKTIONEN 151
6.7 ELEMENTARE FUNKTIONEN 153
6.7.1 ALGEBRAISCHE FUNKTIONEN 153
6.7.1.1 POLYNOME (GANZE RATIONALE FUNKTIONEN) 153
6.7.1.2 GEBROCHENE RATIONALE FUNKTIONEN 157
6.7.1.3 IRRATIONALE FUNKTIONEN 163
6.7.2 TRANSZENDENTE FUNKTIONEN 165
6.7.2.1 EXPONENTIALFUNKTION 165
6.7.2.2 LOGARITHMUS 165
6.7.2.3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN (KREISFUNKTIONEN) . 166
6.7.2.4 ZYKLOMETRISCHE FUNKTIONEN (ARCUSFUNKTIONEN) 170
6.7.2.5 HYPERBELFUNKTIONEN 177
6.7.2.6 AREAFUNKTIONEN 180
6.8 DIFFERENTIALRECHNUNG 184
6.8.1 ABLEITUNGSWERT 184
6.8.2 ABLEITUNG(SFUNKTION) 187
6.8.3 SAETZE UEBER ABLEITBARE FUNKTIONEN 188
6.8.4 ABLEITUNGSREGELN 189
6.8.4.1 ALLGEMEINE REGELN 189
6.8.4.2 BESONDERE FORMELN FUER VARIABLENTRANSFORMATION 193
X
6.8.4.3 HOEHERE ABLEITUNGEN DER UMKEHRFUNKTION 194
6.8.4.4 ABLEITUNG DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 195
6.8.5 DIFLERENTIAL 196
6.8.6 ABLEITUNGEN UND DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG 197
6.8.7 TAYLORFORMEL, MAC-LAURIN-FORMEL 198
6.8.8 ANWENDUNGEN 200
6.8.8.1 FUNKTIONSDISKUSSION 200
6.8.8.2 GRENZWERTBESTIMMUNG NACH BERNOULLI-L HOSPITAL 205
6.8.8.3 FEHLERSCHAETZUNG 208
6.9 INTEGRALRECHNUNG 209
6.9.1 UNBESTIMMTES UND BESTIMMTES (RIEMANNSCHES) INTEGRAL 209
6.9.1.1 DEFINITION 209
6.9.1.2 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN 210
6.9.1.3 MITTELWERTSAETZE, ABSCHAETZUNGEN 211
6.9.1.4 BEMERKUNGEN 213
6.9.2 GRUNDINTEGRALE 215
6.9.3 INTEGRATIONSVERFAHREN 216
6.9.3.1 SUBSTITUTIONSMETHODE 216
6.9.3.2 PARTIELLE INTEGRATION (PRODUKTINTEGRATION) 218
6.9.3.3 INTEGRATION NACH REIHENENTWICKLUNG 220
6.9.4 INTEGRATION ELEMENTARER FUNKTIONEN 220
6.9.4.1 INTEGRATION RATIONALER FUNKTIONEN 220
6.9.4.2 INTEGRATION IRRATIONALER FUNKTIONEN 223
6.9.4.3 INTEGRATION VON KREIS- UND HYPERBELFUNKTIONEN 227
6.9.4.4 INTEGRATION SONSTIGER TRANSZENDENTER FUNKTIONEN 229
6.9.5 INTEGRALTAFEL 232
6.9.5.1 INTEGRALE VON RATIONALEN FUNKTIONEN 232
6.9.5.2 INTEGRALE VON IRRATIONALEN FUNKTIONEN 240
6.9.5.3 INTEGRALE VON EXPONENTIALFUNKTIONEN 249
6.9.5.4 INTEGRALE VON LOGARITHMENFUNKTIONEN 251
6.9.5.5 INTEGRALE VON TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 253
6.9.5.6 INTEGRALE VON ZYKLOMETRISCHEN FUNKTIONEN . 263
6.9.5.7 INTEGRALE VON HYPERBELFUNKTIONEN 264
6.9.5.8 INTEGRALE VON AREAFUNKTIONEN 270
6.9.6 ANWENDUNGEN AUF GEOMETRIE UND MECHANIK 272
6.9.6.1 FLAECHENINHALT 272
6.9.6.2 BOGENLAENGE 278
6.9.6.3 VOLUMEN VON ROTATIONSKOERPERN 279
6.9.6.4 MANTELFLAECHE VON ROTATIONSKOERPERN 285
6.9.6.5 MOMENTE 1. ORDNUNG (STATISCHE MOMENTE) VON KURVEN- UND
FLAECHENSTUECKEN 287
6.9.6.6 MOMENTE 2. ORDNUNG (TRAEGHEITSMOMENTE) VON KURVEN- UND
FLAECHENSTUECKEN 289
6.9.6.7 SCHWERPUNKTSKOORDINATEN VON KURVEN- UND FLAECHENSTUECKEN .... 292
6.9.7 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 293
6.9.7.1 INTEGRALE MIT UNBESCHRAENKTEN. INTEGRATIONSGRENZEN 293
6.9.7.2 INTEGRALE NICHT BESCHRAENKTER FUNKTIONEN 295
XI
6.9.8 SPEZIELLE UNEIGENTLICHE UND BESTIMMTE INTEGRALE, HOEHERE FUNKTIONEN
.... 297
6.9.8.1 INTEGRALE 297
6.9.8.2 HOEHERE FUNKTIONEN 298
6.9.9 PARAMETERABHAENGIGE INTEGRALE, HOEHERE FUNKTIONEN 303
7 ANALYTISCHE GEOMETRIE DER KURVEN 305
7.1 KURVENGLEICHUNGEN 305
7.2 GERADEN IM KARTESISCHEN KOORDINATENSYSTEM 307
7.2.1 RICHTUNG, STEIGUNG 307
7.2.2 GLEICHUNGSFORMEN 308
7.2.3 BESONDERE EIGENSCHAFTEN UND GEOMETRISCHE GROESSEN 312
7.2.3.1 PARALLELITAET ZWEIER GERADEN 312
7.2.3.2 ORTHOGONALITAET ZWEIER GERADEN 314
7.2.3.3 WINKEL ZWISCHEN ZWEI GERADEN 316
7.2.3.4 SCHNITTPUNKT ZWEIER GERADEN 319
7.2.3.5 ABSTAND ZWEIER GERADEN 322
7.2.3.6 ABSTAND GERADE - PUNKT
H
325
7.2.4 WINKELHALBIERENDE 327
7.2.5 GERADENBUESCHEL 329
7.2.6 GERADEN DURCH EINEN PUNKT 329
7.3 KREIS IM EBENEN KARTESISCHEN KOORDINATENSYSTEM YY YY YY 329
7.3.1 MITTELPUNKTSGLEICHUNGEN 329
7.3.2 ALLGEMEINE QUADRATISCHE FORM 330
7.3.3 SCHNITT VON KREIS UND GERADE 331
7.3.4 TANGENTE UND NORMALE 332
7.3.5 POL UND POLARE 332
7.3.6 KONZENTRISCHE KREISE 333
7.3.7 KREISBUESCHEL, POTENZLINIE 333
7.3.8 PARAMETERDARSTELLUNG . . . , 334
7.4 KEGELSCHNITTE IM EBENEN KARTESISCHEN KOORDINATENSYSTEM 334
7.4. I IMPLIZITE GLEICHUNG EINES ALLGEMEINEN KEGELSCHNITTES 334
7.4.2 KEGELSCHNITTE IN NORMAL- UND PARALLELLAGE 339
7.4.3 TANGENTE, NORMALE, POLARE BEI KEGELSCHNITTEN IN NORMAL- UND
PARALLELLAGE . 344
7.4.4 DURCHMESSER, KONJUGIERTE DURCHMESSER 347
7.4.5 KRUEMMUNGSKREISE 349
7.4.6 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN DER KEGELSCHNITTE 349
7.4.7 KONSTRUKTIONEN 352
7.4.8 PARAMETERDARSTELLUNG 356
7.5 KEGELSCHNITTE IM POLARKOORDINATENSYSTEM 357
7.6 ROLLKURVEN IM EBENEN KARTESISCHEN KOORDINATENSYSTEM 358
7.6.1 ZYKLOIDE 358
7.6.2 EPIZYKLOIDE, HYPOZYKLOIDE 359
7.7 SPIRALEN UND WEITERE WICHTIGE KURVEN 362
XII
7.8 DIFFERENTIALGEOMETRIE 365
7.8.1 EBENE KURVEN 365
7.8.1.1 STEIGUNG UND DAVON ABHAENGIGE EIGENSCHAFTEN 365
7.8.1.2 KRUEMMUNG UND DAVON ABHAENGIGE EIGENSCHAFTEN 378
7.8.2 RAUMKURVEN 382
7.8.2.1 TANGENTE UND DAVON ABHAENGIGE EIGENSCHAFTEN 382
7.8.2.2 KRUEMMUNG UND DAVON ABHAENGIGE EIGENSCHAFTEN 383
7.8.2.3 WINDUNG UND DAVON ABHAENGIGE EIGENSCHAFTEN 384
8 FUNKTIONEN MEHRERER VERAENDERLICHER 388
8.1 DEFINITIONEN, ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN 388
8.2 GRENZWERT, STETIGKEIT 389
8.2.1 UMGEBUNG 389
8.2.2 GRENZWERT 390
8.2.3 STETIGKEIT 391
8.3 DIFFERENTIALRECHNUNG 391
8.3.1 PARTIELLE ABLEITUNG 391
8.3.1.1 PARTIELLE ABLEITUNG ERSTER ORDNUNG 391
8.3.1.2 PARTIELLE ABLEITUNG HOEHERER ORDNUNG 392
8.3.1.3 VERKETTUNG 393
8.3.2 DIFFERENZIERBARKEIT 399
8.3.2.1 DEFINITION 399
8.3.2.2 RICHTUNGSABLEITUNG 399
8.3.2.3 VOLLSTAENDIGES (TOTALES) DIFFERENTIAL ERSTER ORDNUNG 400
8.3.2.4 VOLLSTAENDIGE DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG 403
8.3.2.5 TAYLORFORMEL 403
8.3.2.6 ABLEITUNG BEI IMPLIZITER ANGABE DER FUNKTION 403
8.3.3 EXTREMWERTE 404
8.3.3.1 FREIE EXTREMA 404
8.3.3.2 EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN 406
8.4 INTEGRALRECHNUNG 409
8.4.1 GEBIETSINTEGRALE 409
8.4.1.1 DOPPELINTEGRALE 409
8.4.1.2 DREIIACHINTEGRALE 413
8.4.1.3 MEHRFACHINTEGRALE 416
8.4.2 FLAECHENINTEGRALE 416
8.4.2.1 FLAECHENINTEGRALE 1. ART 417
8.4.2.2 FLAECHENINTEGRALE 2. ART ... 418
8.4.2.3 FLAECHENINTEGRALE VON SKALARPRODUKTEN 419
8.4.3 LINIENINTEGRALE 420
8.4.3.1 LINIENINTEGRAELE 1. ART 420
8.4.3.2 LINIENINTEGRALE 2. ART 421
8.4.3.3 LINIENINTEGRALE VON SKALARPRODUKTEN 422
8.4.4 ANWENDUNGEN 424
XLLL
8.5 VEKTORANALYSIS 428
8.5.1 SKALARES FELD 428
8.5.1.1 DEFINITION 428
8.5.1.2 NIVEAULINIEN BZW. -FLAECHEN 429
8.5.1.3 DIFFERENTIALRECHNUNG 429
8.5.2 VEKTORFUNKTION 432
8.5.2.1 DEFINITION 432
8.5.2.2 DIFFERENTIALRECHNUNG 433
8.5.3 VEKTORFELD 434
8.5.3.1 DEFINITION 434
8.5.3.2 DIFFERENTIALRECHNUNG 434
8.5.4 OPERATORENRECHNUNG 440
8.5.5 INTEGRALSAETZE 441
8.5.5.1 SATZ VON GAUSS 441
8.5.5.2 SATZ VON STOKES 441
8.5.5.3 SAETZE VON GREEN 442
8.5.6 BESONDERE FELDER 442
8.5.6.1 QUELLENFREIE FELDER 442
8.5.6.2 WIRBELFREIE FELDER 444
8.5.6.3 LAPLACESCHE FELDER 445
9 ANALYTISCHE GEOMETRIE DER FLAECHEN 446
9.1 FLAECHENGLEICHUNGEN 446
9.2 EBENEN IM KARTESISCHEN KOORDINATENSYSTEM 447
9.2.1 GLEICHUNGSFORMEN 447
9.2.2 ORIENTIERUNG IM RAUM 450
9.2.3 BESONDERE EIGENSCHAFTEN UND GEOMETRISCHE GROESSEN 450
9.2.3.1 PARALLELITAET ZWEIER EBENEN, ABSTAND 450
9.2.3.2 ORTHOGONALITAET ZWEIER EBENEN 451
9.2.3.3 WINKEL ZWISCHEN ZWEI EBENEN 451
9.2.3.4 SCHNITTGERADE ZWEIER EBENEN 451
9.2.3.5 SCHNITTPUNKT UND SCHNITTWINKEL VON EBENE UND GERADE 451
9.2.3.6 ABSTAND ZWISCHEN EBENE UND GERADE 452
9.2.3.7 ABSTAND ZWISCHEN EBENE UND PUNKT
Q
452
9.2.4 WINKELHALBIERENDE EBENE 454
9.2.5 EBENENBUESCHEL 454
9.3 FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 454
9.4 DIFFERENTIALGEOMETRIE 459
9.4.1 KRUMMLINIGE KOORDINATEN 459
9.4.2 BELIEBIGE KURVEN AUF DER FLAECHE 460
9.4.3 NORMALENVEKTOR UND DAMIT ZUSAMMENHAENGENDE EIGENSCHAFTEN 461
9.4.4 KRUEMMUNG UND DAMIT ZUSAMMENHAENGENDE EIGENSCHAFTEN 466
XIV
10 UNENDLICHE FOLGEN UND REIHEN 473
10.1 UNENDLICHE FOLGEN 473
10.1.1 DEFINITIONEN 473
10.1.2 ALLGEMEINE SAETZE 473
10.2 UNENDLICHE REIHEN 476
10.2.1 DEFINITIONEN 476
10.2.2 ALLGEMEINE SAETZE 476
10.2.3 SPEZIELLE SAETZE UEBER ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 481
10.2.4 SPEZIELLE NUMERISCHE REIHEN 481
10.2.5 FUNKTIONSREIHEN 482
10.2.5.1 DEFINITIONEN . . 482
10.2.5.2 SAETZE UEBER GLEICHMAESSIG KONVERGENTE FUNKTIONSREIHEN 483
10.2.6 RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION 486
10.2.7 POTENZREIHEN 486
10.2.7.1 DEFINITIONEN 486
10.2.7.2 SAETZE UEBER POTENZREIHEN 486
10.2.7.3 RECHENREGELN FUER POTENZREIHEN 487
10.2.7.4 SPEZIELLE POTENZREIHEN 488
10.2.8 FOURIERREIHEN 495
10.2.8.1 DEFINITIONEN 495
10.2.8.2 EIGENSCHAFTEN DER FOURIERREIHEN 495
10.2.8.3 SPEZIELLE FOURIERREIHEN 496
11 GLEICHUNGEN
500
11.1 GLEICHUNGEN MIT EINER UNBEKANNTEN 500
11.1.1 ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN 500
11.1.1.1 GLEICHUNG ERSTEN GRADES (LINEARE GLEICHUNG) 500
11.1.1.2 GLEICHUNG ZWEITEN GRADES (QUADRATISCHE GLEICHUNG) 500
11.1.1.3 GLEICHUNG DRITTEN GRADES (KUBISCHE GLEICHUNG) 501
11.1.1.4 GLEICHUNG VIERTEN GRADES 502
11.1.1.5 ALLGEMEINER FALL 504
11.1.2 AUF ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN ZURUECKZUFUEHRENDE GLEICHUNGEN 510
11.1.3 ALLGEMEINE GLEICHUNGEN 511
11.1.3.1 ANZAHL DER NULLSTELLEN 511
11.1.3.2 GRAPHISCHE LOESUNG 511
11.1.3.3 NUMERISCHE NAEHERUNGSVERFAHREN 511
11.2 GLEICHUNGSSYSTEME 517
11.2.1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 517
11.2.1.1 DEFINITIONEN 517
11.2.1.2 EXISTENZ VON LOESUNGEN 518
11.2.1.3 LOESUNGSVERFAHREN 518
11.2.2 NICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 525
XV
12 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
527
12.1 ALLGEMEINES 527
12.2 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 528
12.2.1 EXISTENZ VON LOESUNGEN 528
12.2.2 LOESUNGSVERFAHREN FUER GLEICHUNGEN 1. GRADES 529
12.2.2.1 QUADRIERBARE GLEICHUNG / = G(X). 529
12.2.2.2 SEPARIERBARE GLEICHUNG /=G|(X)*G
2
UE ) 529
12.2.2.3 TRANSFORMATION DER VERAENDERLICHEN 530
12.2.2.4 GLEICHUNG MIT HOMOGENEN FAKTOREN 530
12.2.2.5 VOLLSTAENDIGE (EXAKTE) DIFFERENTIALGLEICHUNG 532
12.2.2.6 INTEGRIERENDER FAKTOR 533
12.2.2.7 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 534
12.2.2.8 BERNOULLISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 535
12.2.2.9 RICCATISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 536
12.2.3 LOESUNGSVERFAHREN FUER GLEICHUNGEN NICHT 1. GRADES 537
12.2.3.1 NACH Y AUFLOESBARE GLEICHUNGEN 537
12.2.3.2 NACH Y AUFLOESBARE GLEICHUNGEN 537
12.2.3.3 NACH X AUFLOESBARE GLEICHUNGEN 538
12.2.3.4 VON Y FREIE GLEICHUNGEN 539
12.2.3.5 VON X FREIE GLEICHUNGEN 540
12.2.3.6 GLEICHUNGEN 2. GRADES MIT HOMOGENEN FAKTOREN 540.
12.2.4 SINGULARE LOESUNGEN 541
12.2.5 SPEZIEILE ANWENDUNGEN AUS DER GEOMETRIE 542
12.2.5.1 DIFFERENTIALGLEICHUNG EINER KURVENSCHAR 542
12.2.5.2 ORTHOGONALE TRAJEKTORIEN EINER KURVENSCHAR 542
12.2.5.3 ISOGONALE TRAJEKTORIEN EINER KURVENSCHAR 543
12.3 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG - 543
12.3.1 EXISTENZ VON LOESUNGEN 543
12.3.2 LOESUNGSVERFAHREN 543
12.3.2.1 QUADRIERBARE GLEICHUNG Y = G(.X) 543
12.3.2.2 TYPY=G()0 544
12.3.2.3 TYP/ =G(/) 544
12.3.2.4 TYP Y = G(X,Y) 545
12.3.2.5 TYP Y =G(Y,/) 546
12.3.2.6 IN Y, Y , Y HOMOGENE GLEICHUNG F(Y,/,/ ) = 0 546
12.3.2.7 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ....
547
12.3.2.8 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN 550
12.4 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNG HOEHERER ORDNUNG 552
12.4.1 ALLGEMEINES 552
12.4.2 LOESUNGSVERFAHREN 552
12.4.2.1 TYP Y
N)
= G(X) 552
12.4.2.2 TYP Y = G(} ,/, 552
12.4.2.3 TYP Y = G(X,/,... 554
12.4.2.4 TYP
/ =
G(X,/
I)
/- ) MIT /.S2 554
12.4.2.5 IN Y,/,HOMOGENE GLEICHUNG F(Y, ...,Y
(
,
)=0 554
12.4.2.6 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ....
555
12.4.2.7 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN 557
XVI
12.5 SYSTEME VON GEWOEHNLICHEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN SS8
12.5.1 SYSTEME VON LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG MIT
KONSTANTEN
KOEFFIZIENTEN 558
12.5.1.1 EXISTENZ VON LOESUNGEN 559
12.5.1.2 LOESUNGSVERFAHREN 559
12.5.2 ALLGEMEINES SYSTEM VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 560
12.5.2.1 EXISTENZ VON LOESUNGEN 561
12.5.2.2 LOESUNGSVERFAHREN 561
12.6 NUMERISCHE INTEGRATION VON GEWOEHNLICHEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 562
12.6.1 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 562
12.6.1.1 GRAPHISCHE ISOKLINENMETHODE 562
12.6.1.2 EULER-CAUCHY-VERFAHREN 563
12.6.1.3 ITERATIONSVERFAHREN 564
12.6.1.4 RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 566
12.6.1.5 VERFAHREN VON ADAMS 569
12.6.2 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG 571
12.6.2.1 NYSTROEM-VERFAHREN 571
12.6.2.2 STOERMER-VERFAHREN 572
12.6.3 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 573
13 INTERPOLATION, NUMERISCHE DIFFERENTIATION UND INTEGRATION
575
13.1 INTERPOLATION 575
13.1.1 DEFINITION 575
13.1.2 DIREKTER POLYNOMANSATZ 575
13.1.3 LAGRANGESCHE INTERPOLATION 576
13.1.3.1 ALLGEMEINER FALL 576
13.1.3.2 SONDERFALL AEQUIDISTANTER STUETZSTELLEN 577
13.1.4 NEWTONSCHE INTERPOLATION 579
13.1.4.1 ALLGEMEINER FALL 579
13.1.4.2 SONDERFALL AEQUIDISTANTER STUETZSTELLEN 580
13.2 NUMERISCHE DIFFERENTIATION 585
13.3 NUMERISCHE INTEGRATION 587
13.3.1 NAEHERUNGSFORMELN OHNE BENUTZUNG EINES DIFFERENZENSCHEMAS 587
13.3.2 NAEHERUNGSFORMELN MIT BENUTZUNG EINES DIFFERENZENSCHEMAS 589
14 FEHLER- UND AEUSGLEICHSRECHNUNG
591
14.1 SCHAETZUNG EINES FEHLERS DIREKT GEMESSENER GROESSEN 591
14.1.1 BEOBACHTUNGEN GLEICHER GENAUIGKEIT 591
14.1.2 BEOBACHTUNGEN VERSCHIEDENER GENAUIGKEIT 592
14.2 FEHLERFORTPFLANZUNGSGESETZ 593
14.3 AUSGLEICHSRECHNUNG 594
14.3.1 LINEARER FALL 594
14.3.2 NICHTLINEARER FALL . . . 595
14.4 AUSGLEICH VERMITTELNDER BEOBACHTUNGEN 595
XVII
15 KOMPLEXE FUNKTIONEN 597
15.1 KOMPLEXE FOLGEN UND REIHEN 597
15.2 FUNKTION EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 597
15.2.1 DEFINITION 597
15.2.2 GRENZWERT VON FUNKTIONEN 598
15.2.3 STETIGKEIT VON FUNKTIONEN 598
15.2.4 ELEMENTARE KOMPLEXE FUNKTIONEN 599
15.2.4.1 EXPONENTIALFUNKTION 599
15.2.4.2 LOGARITHMUS 599
15.2.4.3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 600
15.2.4.4 HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN 600
15.2.4.5 ZYKLOMETRISCHE FUNKTIONEN 601
15.2.4.6 AREAFUNKTIONEN 601
XVIII
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