Dynamische Prozesse und ihre Mathematisierung durch Differenzengleichungen:
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| Veröffentlicht: |
Paderborn
Ferdinand Schöningh
1984
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|---|---|
| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort 9
I Einführung in die Problematik 11
§ 1 Arithmetische Folgen 11
§ 2 Einige Bemerkungen zur Verwendung von Taschenrechnern
und Computern 15
§ 3 Geometrische Folgen 19
3.1 Geometrisches Wachstum 19
3.2 Graphische Darstellung geometrischer Folgen 22
§ 4 Vollständige Induktion 25
§ 5 Folgen und Differenzen 31
5.1 Erste und zweite Differenzen 31
5.2 Folgen mit konstanten zweiten Differenzen 32
5.3 Höhere Differenzen 33
5.4 ümkehrung der Fragestellung: Folgen, die durch
Polynome gegeben sind 36
5.5 Differenzen bei geometrischen Folgen 39
§ 6 Zum Begriff der Differenzengleichung 40
II Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung 46
§ 7 Die Tilgungsgleichung (lineare Differenzengleichun-
gen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten) 46
§ 8 Die Tilgungsgleichung im Lichte graphischer Ver¬
fahren 52
§ 9 Angebot-Nachfrage-Zyklen 61
§ 10 Die Lösungsgesamtheit linearer homogener Differen¬
zengleichungen erster Ordnung 6 4
S 11 Lineare inhomogene Differenzengleichungen erster
Ordnung 72
11.1 Die empirische Methode zum Auffinden von Ein¬
zellösungen 72
11.2 Diskussion der Lösungsgesamtheit am Spezial-
fall der Tilgungsgleichung 75
11.3 Die Lösungsgesamtheit der inhomogenen linea¬
ren Gleichung erster Ordnung 78
11.4 Die Methode der unbestimmten Koeffizienten,
erläutert am Beispiel der Dynamischen-Prämien-
Gleichung 80
§ 12 Homogenisierung 82
12.1 Konstante Inhomogenität 82
12.2 Lineare Inhomogenität 83
12.3 Polynomiale Inhomogenität 84
III Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung 87
§ 13 Die verallgemeinerte Fibonacci-Gleichung (lineare
homogene Differenzengleichungen zweiter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten) 87
§ 14 Die Lösungsgesamtheit linearer homogener Differen¬
zengleichungen zweiter Ordnung 91
14.1 Der allgemeine Fall: nicht konstante Koeffi¬
zienten 91
14.2 Die Lösung der verallgemeinerten Fibonacci-
Gleichung (im Falle verschiedener Wurzeln des
charakteristischen Polynoms) 98
14.3 Ein Fundamentalsystem der verallgemeinerten
Fibonacci-Gleichung im Falle einer Doppel¬
wurzel des charakteristischen Polynoms 100
§ 15 Komplexe Lösungen der charakteristischen Gleichung 103
15.1 Die Problemstellung: komplexe Lösungsfolgen
trotz reeller Koeffizienten 103
15.2 Kleiner Exkurs über komplexe Zahlen 104
15.3 Die Rückführung komplexer auf reelle Lösungs¬
folgen 108
§ 16 Lineare inhomogene Differenzengleichungen zweiter
Ordnung 112
16.1 Der allgemeine Fall: nicht konstante Koeffi¬
zienten 112
16.2 Die Lagerhaltungs-Gleichung (lineare Differen¬
zengleichungen zweiter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten und konstanter Inhomogenität) 113
IV Der Ausbau induktiver Techniken zur Behandlung von linearen Dif¬
ferenzengleichungen höherer Ordnung 114
S 17 Die Lösungsgesamtheit linearer homogener Differen¬
zengleichungen beliebig hoher Ordnung 114
17.1 Kriterien für die lineare Unabhängigkeit von
Vektoren im Rn 114
17.2 Lineare Gleichungssysteme 115
17.3 Die Grundzüge des Gaußschen Algorithmus ¦ 117
17.4 Bemerkung zu Determinanten 126
17.5 Das charakteristische Polynom 129
17.6 Mehrfachwurzeln der charakteristischen Glei¬
chung 134
17.7 Komplexe Wurzeln 139
§ 18 Die Lösungsgesamtheit inhomogener linearer Diffe¬
renzengleichungen 142
18.1 Konstante Inhomogenität 143
18.2 Das charakteristische Polynom im Prozeß der
Homogenisierung 143
18.3 Diskussion von Beispielen und speziellen
Funktionstypen 146
18.4 Versuchslösungen 151
18.5 Konvergenz, Stabilität, Gleichgewicht 153
V Innermathemathische Anwendungen 158
§ 19 Figurierte Zahlen 158
19.1 Polygonalzahlen 161
19.2 Pyramidalzahlen 162
§ 20 Summierung 163
§ 21 Flächeninhalte 165 .
§ 22 Irrfahrten 171
22.1 Die symmetrische Irrfahrt 171
22.2 Die asymmetrische Irrfahrt 175
22.3 Untersuchung von Strategien bei Glücksspielen 178
§ 23 Mittelwerte und gleitende Durchschnitte 183
§ 24 Das Verfahren von Heron 190
VI Wachstumsprozesse in rekursiver Darstellung 193
§ 25 Vorbemerkungen zu Fragen der Begriffsbildung;
Abgrenzung der behandelten Problemkreise 193
§ 26 Einige Typen vorwiegend endogen erklärter Wachs¬
tumsprozesse von isolierten Populationen 197
26.1 Freies Wachstum und Tilgungswachstum 198
26.2 Logistisches Wachstum 201
26.3 Ertrag, Phasenkurve, Gleichgewicht 203
26.4 Wachstum bei Selbstvergiftung 206
§ 27 Einige Typen vorwiegend exogen erklärter Wachs¬
tumsprozesse von isolierten Populationen 210
27.1 Sättigungswachstum 210
27.2 Sättigungswachstum mit Schwellenwert 211
27.3 Abhängigkeit der Zuwachsrate von der Popula¬
tionsgröße; Linearisierung 213
§ 28 Zwei interagierende Populationen 216
28.1 Räuber-Beute-Systeme (Modellbeschreibung) 217
28.2 Gleichgewichtszustände in Räuber-Beute-
Systemen 219
28.3 Konkurrenz 223
§ 29 Modelle mit drei Populationen 225
29.1 Wachstum und Absterben einer Bakterienkultur 225
29.2 Stoffmengenänderungen bei chemischen Reak¬
tionen 226
VII Anwendungen wirtschaftlicher Natur 232
§ 30 Beschreibung, Gliederung und Abgrenzung der
behandelten Problemkreise 232
§ 31 Die Zuteilung von Bausparverträgen anhand des Sal¬
densummen-Kriteriums 232
§ 32 Ein Lagerhaltungsmodell 237
32.1 Die allgemeine Modellbeschreibung 237
32.2 Ein spezielles Zahlenbeispiel 241
§ 33 Die Darstellung periodischer Lösungen durch
Amplitude und Phasenverschiebung 245
§ 34 Grundbegriffe aus der Theorie des Wirtschafts¬
kreislaufs und des Volkseinkommens 247
34.1 Die Darstellung des Wirtschaftsprozesses im
Kontensystem 248
34.2 Der Begriff der autonomen und der induzierten
Investitionen 252
34.3 Bemerkungen zur ex-post -Gleichheit von In¬
vestition und Ersparnis und zu den Beschrän¬
kungen des begrifflichen Rahmens 253
§ 35 Modelle ohne induzierte Investitionen 254
35.1 Einmaliger Investitionsstoß 254
35.2 Arithmetisch steigende Investitionen 255
35.3 Geometrisch wachsende Investitionen 256
§ 36 Modelle mit induzierten Investitionen 258
36.1 Die Grundannahmen der Modelle von
Samuelson, Harrod und Hicks 258
3 6.2 Das Modell von Samuelson 259
36.3 Das Modell von Hicks 261
VIII Anwendungen in der Physik 264
§ 37 Beschreibung von Bewegungen 264
37.1 Registrierung von Bewegungen 264
37.2 Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit 266
37.3 Bewegungen mit nichtkonstanter Geschwindigkeit 267
§ 38 Die Grundgleichung der Mechanik 271
38.1 Herleitung der Gleichung 271
38.2 Fallbewegungen 272
§ 39 Harmonische Schwingungen 275
39.1 Freie, ungedämpfte Schwingungen 276
39.2 Gedämpfte Schwingungen 280
39.3 Erzwungene Schwingungen; Resonanz 281
§ 40 Himmelsmechanik 283
40.1 Das Gravitationsgesetz 283
40.2 Satelliten- und Planetenbahnen 284
§ 41 Radioaktivität 288
41.1 Zerfallsprozesse 288
41.2 Produktion radioaktiver Substanzen 290
41.3 Zerfallsreihen 291
IX Schlußbemerkungen 294
§ 42 Methodologische Bemerkungen 294
42.1 Integration, Kontinuität, Ausgewogenheit 296
42.2 Heuristik und Methodologie 298
§ 43 Das Arbeiten mit Modellen 304
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