Anwendung algebraischer Methoden:
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München-Pullach [u.a.]
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung 13
1. Grundlagen 19
1.1. Modell und Wirklichkeit 19
1.2. Axiomatische Methode und Aufbau
einer Theorie 23
1.3. Einführung in die Mengenlehre 23
2. Boolesche Algebra als axiomatisierte Theorie ...... 27
2.1. Grundgesetze einer Booleschen Algebra .... 27
2.2. Basisdarstellung der Elemente einer
Booleschen Algebra 27
2.3. Homomorphie und Isomorphie Boolescher
Algebren 32
2.4. Einige konkrete Modelle
für Boolesche Algebren 36
2.4.1. Boolesche Algebra der Ereignisklassen .... 36
2.4.2. Boolesche Algebra der Aussagen über einen
bestimmten Gegenstandsbereich ............ 38
2.4.3. Boolesche Algebra der Paarzerlegungen
einer Menge 41
2.4.4. Bedingte Boolesche Algebren 42
2.5. Unteralgebren einer Booleschen Algebra ... 43
3. Boolesche Algebra in der Wahrscheinlichkeits¬
rechnung 47
3.1. Wahrscheinlichkeitsbewertung der Elemente
einer Booleschen Algebra 47
3.2. Endliche Schemata 53
3.3. Zufallsgröfien endlicher Schemata 68
3.3.1. Eindimensionale Zufallsgrößen 68
3.3.1.1. 7erteilungsfunktion einer eindimensionalen
Zufallsgröße 69
3.3.1.2. Momente einer eindimensionalen diskreten
Zufallsgröße 71
7
3.3.1.3. Anfangsmomente und Zentralmomente
von Zufallsgrößen 72
3.3.1.4. Charakteristische Funktion einer
Zufallsgröße 73
3.3.2. Mehrdimensionale Zufallsgrößen 74
3.3.2.1. Zweidimensionale Wahrscheinlichkeits¬
verteilung 75
3.3.2.2. Momente einer zweidimensionalen Zufalls
größ 77
3.3.2.3. Charakteristische Punktion einer zwei¬
dimensionalen Zufallsgröße 79
3.3.2.4. Funktionen von Zufallsgrößen 80
3.4. Diskrete zufällige Prozesse 82
3.4.1. Einführung des Begriffs des diskreten
zufälligen Prozesses ............*........ 82
3.4.2. Bernoullische Signalquellen (Schema unab¬
hängiger Versuche) 86
3.4.3. Harkoffsehe Signalquellen ................ 88
3.5. Unbestimmtheitsmaß eines endlichen Schemas
als Grundlage der diskreten Informations¬
theorie ... 101
3.5.1. Forderungen an ein Unbestimmtheitsmaß
endlicher Schemata 101
3.5.2. Additivitätsforderungen an ein Unbestimmt¬
heitsmaß endlicher Schemata 105
3.5.3. Der Informationsbegriff in der Infor¬
mationstheorie 107
3.5.4. Die Entropie als eine Schranke für die
mittlere Kodelänge bei irreduzibler Kodie¬
rung 111
3.6. Monte Carlo Methoden und ihre Fehler¬
schranken 114
4. Boolesche Algebra und Schaltalgebra 121
4.1. Schaltfunktionen 121
4.2. Mathematische Modelle für die Gesamtheit
von Sohaltfunktionen einer gegebenen An¬
zahl von Variablen 126
8
4.2.1. Beschreibung von Schaltfunktionen durch
Belegungstabellen 126
4.2.2. Schaltfunktionen als Eckenfunktionen des
mehrdimensionalen Kubus 137
4.2.3. Wertpolynome von Schaltfunktionen ........ 140
4.2.4. Ein Vektormodell für Schaltfunktionen .... 146
4.2.5. Modell der Schelgalkinschen Polynome für
Schaltfunktionen 152
4.3« Behandlung der Beispiele aus Abschn. 4.1.
mit den im Abschn. 4.2. behandelten Hilfs¬
mitteln 155
4.3.1. Eine Anwendung der Wertpolynome in der Zu¬
verlässigkeitstheorie 155
4.3.2. Entwurf einer Kontaktschaltung 157
4.3.3» Realisierung der Steuerungsbedingung an
eine Förderbandsteuerung durch eine
Schaltfunktion 160
4.3.4. Schaltalgebraisches Modell für einen stark
vereinfachten Mechanismus der Ausarbeitung
bedingter Reflexe 161
4.4. Spezielle Klassen von Schaltfunktionen ... 162
4.4.1. Monotone Schaltfunktionen 162
4.4.2. Lineare Schaltfunktionen 164
4.4.3. Vollständigkeitssatz von Kusnezow 165
4.4.4. Symmetrische Schaltfunktionen 167
4.5. Bestimmung minimaler disjunktiver Normal¬
formen zu einer gegebenen Schaltfunktion . 169
4.5.1. Theoretische Grundlagen der Minimalformen¬
bestimmung 169
4.5.2. Praktische Verfahren der Minimalformen¬
bestimmung 176
4.6. Partiell definierte Schaltfunktionen 190
4.7. Binäre Übertragungsglieder 19g
4.7.1. Statische binäre Übertragungsglieder 196
4.7.2. Sequentielle Glieder 200
4.7.2.1. Taktbetrieb von binären Gliedern 200
4.7.2.2. Sequentielle Glieder erster Art 200
9
4.7.2.3. Sequentielle Glieder zweiter Art
Autonome binäre Glieder 205
4.7.2.4. Sequentielle Glieder dritter Art
Endliche Automaten 210
4.7.2.5. Binäre Glieder mit einem beliebigen zeit¬
variablen Ubertragungsverhalten 215
5. Einführung in die Gruppentheorie und ihre Anwen¬
dungen 221
5.1. Axiomatiacher Aufbau der Gruppentheorie .. 221
5.2. Untergruppe einer Gruppe 232
5.3« Homomorphie und Isomorphie von Gruppen ... 239
5.4. Beispiele für die Anwendung von Gruppen
in der Kybernetik 245
5.4.1. Gruppe der gebrochenen linearen Substitu¬
tionen und die durch lineare Vierpole be¬
wirkte Widerstandstransformation ......... 245
5.4.2. Gruppentheorie und Binärkode nach Hamming. 251
5.4.3. Bedeutung der Gruppen für die Wellenpara
metertheorie kommutatlv symmetrischer ;
mehrdimensionaler Systeme 256
5.4.4. Die Rolle der Gruppentheorie beim Problem
der Formerkennung 259
6. Einführung in die Ringtheorie und ihre Anwendungen. 262
6.1. Axiomatischer Aufbau der Ringtheorie 262
6.2. Unterringe und Ideale eines Ringes ....... 267
6.3. Homomorphie und Isomorphie von Ringen .... 273
6.4. Weitere Beispiele für die Anwendung
von Ringen in der Kybernetik 275
6.4.1. Ring der stetigen Funktionen nach
Hikusinski 275
6.4.2. Ring der integralen Operatorreihen 279
6.4.3. Folgenring 285
6.4.4. Charakterisierung und Konstruktion der
zyklischen Gruppenkode der Wortlänge n ... 289
7. Einführung in die Körpertheorie und ihre Anwen¬
dungen 294
10
7.1. Axiomatischer Aufbau der Körpertheorie ... 294
7.2. Unterkörper eines Körpers 300
7.3. Einige Ausführungen über endliche kommu
tative Körper (Galois Felder) 302
7.4. Beispiele für die Anwendung von Körpern
in der Kybernetik 305
• 7.4.1. Körper der Mikusinski Operatoren 305
7.4.2. Quotientenkörper des¦Folgenringes......... 310
8. Verschiedene Anwendungen algebraischer Methoden ... 315
8.1. Zeitvariable analoge lineare Systeme ..... 315
8.2. Zeitvariable diskrete lineare Systeme .... 320
8.3. Standarddarstellungen der Übertragungs¬
operatoren analoger linearer Systeme ..... 329
8.4. Diskrete Modelle für analoge Übertragungs¬
glieder 333
8.5. Polynomkode über endlichen Körpern 345
8.6. Eine Einführung in die mehrwertige Schalt¬
algebra 348
8.6.1. Einführung der mehrwertigen Schaltfunk¬
tionen 348
8.6.2. Homomorphie und Isomorphie von m wertigen
Schaltalgebren 353
8.6.3. Wertpolynome in der mehrwertigen Schalt¬
algebra 356
Anhang 1 ............................................. 363
Anhang 2 374
Anhang 3 396
Literaturverzeichnis 413
11
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