Verfügbarkeit: Höhere Mathematik | Technische Universität München

Höhere Mathematik: eine Einführung für Studierende und zum Selbststudium 3 Integralrechnung und ihre Anwendungen, Funktionentheorie, Differentialgleichungen

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Bibliographische Detailangaben
Beteiligte Personen:	Mangoldt, Hans von 1854-1925 (VerfasserIn), Knopp, Konrad 1882-1957 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Stuttgart Hirzel 1990
Ausgabe:	15. Aufl.
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Umfang:	XVI, 640 S. graph. Darst.
ISBN:	3777604631

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS Erster Abschnitt Unbestimmte Integrale Die Aufgabe der Integralrechnung 1. Einleitende Betrachtungen über die Aufgabe der Integralrechnung..... ι 2. Das Flächeninhaltsproblem und das bestimmte Integral.......... 3 3. Der Begriff des unbestimmten Integrals. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung............................ 5 4. Überblick über den Inhalt der folgenden Abschnitte ........... 8 Grundregeln zur Berechnung unbestimmter Integrale 5. Grundintegrale und einfachste Grundregeln................ 11 6. Beispiele und Übungsaufgaben ..................... 14 7. Teilweise Integration.......................... 16 8. Integration eines Quotienten...................... 19 9. Einführung einer neuen Veränderlichen ................. 23 10. Gründe für die Unzulänglichkeit der Integrationsmethoden ........ 28 Übersicht über die wichtigsten Arten von Funktionen, deren Integrale in geschlossener Form darstellbar sind A. Integration der rationalen Funktionen 11. Integration rationaler Funktionen.................... 30 12. Die rechnerische Herstellung der Teilbruchzerlegung einer rationalen Funktion . 33 13. Das Integral J—^+^_dx..................... 38 14. Beispiele............................... 42 15. Völlige Vermeidung komplexer Größen.................. 44 16. Stärkere Benutzung komplexer Größen ................. 46 17. Besondere Kunstgriffe......................... 47 B. Integration einiger entwickelter algebraischer Funktionen 18. Die wichtigsten Arten entwickelter algebraischer Funktionen, die sich geschlossen integrieren lassen........................... 48 IX Inhaltsverzeichnis iq. Die Integrale der Form I R x , αχζ + bx + c)dx............. 52 20. Unzulänglichkeit der angegebenen drei Integrationsverfahren........ 58 21. Zurückführung auf Grundintegrale.................... 60 22. Das Integral ƒ ^==7^..................... 6l /dx ------------------- ■ ..................65 (x—a1)aYaxz + bx+c 24. Das Integral I ----■---------------■— д ■..............66 J (ax^+bx + c)y Уах2+Ьх+с /Ax + B --------------------- t dx ..............68 í2- 26. Binomische Integrale..........................74 C. Integration einiger transzendenter Funktionen 27. Die wichtigsten Arten transzendenter Funktionen, die geschlossen integriert werden können ............................76 28. Beispiele...............................83 Zweiter Abschnitt bestimmte (Riemannsche) Integral Begriff und Handhabung des bestimmten Integrals 29. Flächeninhalt und bestimmtes Integral.................. 91 30. Das untere und obere (Riemannsche) Integral.............. 95 31. Das bestimmte (Riemannsche) Integral und dessen Summendefinition .... 102 32. Das Riemannsche Integrabilitätskriterium ................ 107 33. Integrierbarkeit der monotonen und der stetigen Funktionen. Gleichmäßige Stetigkeit............................... 109 34. Einfache Ergänzungen und Sätze. Erster Mittelwertsatz.......... 113 35. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung........... 119 36. Das Rechnen mit bestimmten Integralen................. 124 37. Die Hauptlemmata der Integralrechnung................ 131 Erste Anwendungen 38. Einfache Quadraturen. Mittelwerte ................... 136 39. Einige physikalische Anwendungen des Integralbegriffs .......... 145 40. Neuer Beweis des Taylorschen Satzes.................. 147 41. Das Wallissche Produkt........................ 149 42. Die Stirlingsche Formel ........................ 151 43. Berechnung besonderer bestimmter Integrale. Übungsaufgaben....... 155 44. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung.............. 159 X Inhaltsverzeichnis Integration unendlicher Reihen 45. Hinreichende Bedingungen für die gliedweise Integrierbarkeit....... 164 46. Einfache Beispiele gliedweiser Integration................ 168 47. Darstellung unbestimmter und bestimmter Integrale durch unendliche Reihen 170 Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale 48. Die Sehnen- und die Tangentenformel.................. 173 49. Die Keplersche Faßregel........................ 175 50. Die Simpsonsche Regel......................... 180 51 Graphische Integration. Mathematische Instrumente............ 181 Dritter Abschnitt Inhalte 52. Das Inhaltsproblem .......................... 187 53. Der Riemannsche Inhalt beschränkter Punktmengen ........... 189 54. Inhaltsberechnung ebener Bereiche ................... 201 55. Weitere Beispiele und Übungsaufgaben ................. 211 56. Inhaltsberechnung räumlicher Bereiche.................. 216 57. Beispiele zur Berechnung von Rauminhalten............... 218 Vierter Abschnitt Längenberechnungen und Kurvenintegrale Längenberechnungen 58. Problemstellung..............,..............224 59. Die Länge eines Kurvenstücks.....................225 öo. Funktionen von beschränkter Schwankung................229 61. Die Berechnung der Länge rektifizierbarer Kurven............235 62. Beispiele zur Berechnung von Längen..................238 63. Rein analytische Definition der trigonometrischen Funktionen.......241 Riemann-Stieltjes-Integrale. Kurvenintegrale 64. Riemann-Stieltjes-Integrale....................... 245 65. Bogenlänge und Bogendifferential .................... 252 66. Zusätze zur Lehre von der Krümmung ................. 257 67. Bewegung auf kiummliniger Bahn. Vektordifferentiation.......... 262 68. Kurvenintegrale............................ 267 69. Skalar- und Vektorfelder........................ 271 70. Beispiele von Kurvenintegralen..................... 273 XI Inhaltsverzeichnis Fünfter Abschnitt Integrale der Funktionen einer komplexen Veränderlichen Unbestimmte und bestimmte Integrale 71. Unbestimmtes Integral einer Funktion komplexen Argumentes...... 278 72. Ausdehnung der Grundformeln der Integralrechnung........... 279 73. Der Begriff des bestimmten Integrals einer Funktion komplexen Argumentes 280 74. Einfache Integralsätze......................... 285 75. Berechnung bestimmter Integrale.................... 287 Der Cauchysche Integralsatz 76. Der Cauchysche Integralsatz. Einfach zusammenhängende Gebiete..... 292 77. Beweis des Cauchyschen Integralsatzes................. 294 78. Folgerungen. Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral 300 7g. Die Cauchysche Integralformel..................... 306 Potenzreihenentwicklung. Analytische Fortsetzung. Singulare Punkte 80. Darstellbarkeit regulärer Funktionen durch Potenzreihen......... 307 81. Folgerungen aus dem Entwicklungssatz................. 309 82. Der Identitätssatz für analytische Funktionen.............. 315 83. Analytische Fortsetzung. Singulare Punkte.............. 318 84. Die Laurentsche Entwicklung. Pole und wesentlich singulare Punkte . . . 325 85. Der Residuensatz........,.................. 331 Sechster Abschnitt Mehrfache Integrale Darstellung von Funktionen durch bestimmte Integrale 86. Stetigkeit und Diöerenzierbarkeit der durch bestimmte Integrale dargestellten Funktionen.............................. 334 87. Ausdehnung auf den Fall veränderlicher Grenzen............ 336 88. Begriff des zweifachen Integrals.................... 338 89. Umkehrung der Integrationsfolge.................... 338 90. Anwendung zur Berechnung einiger bestimmter Integrale......... 340 Gebiets- und Raumintegrale 91. Volumen und Gebietsintegral...................... 343 92. Das untere und obere Gebietsintegral.................. 344 93. Das (Riemannsche) Gebietsintegral und dessen Summendefinition..... 349 94. Integrabilitatskriterium. Stetige Funktionen............... 350 95. Allgemeines zur Berechnung von Gebietsintegralen............ 351 96. Das Rechnen mit Gebietsintegralen................... 354 XII Inhaltsverzeichnis 97. Verwandlung in ein zweifaches Integral................. 355 98. Beispiele............................... 358 99. Verwandlung in ein Randintegral. {Gaußscher Integralsatz)........ 360 100. Transformation von Gebietsintegralen.................. 363 101. Einführung von Polarkoordinaten ................... 372 102. Beispiele............................... 373 103. Raum- und mehrdimensionale Integrale................. 378 104. Durch mehrdimensionale Integrale dargestellte Funktionen........ 381 Siebenter Abschnitt Anwendungen mehrfacher Integrale Volumenberechnungen 105. Volumenberechnung durch Zerlegung in, Säulen............. 383 106. Volumenberechnung durch Zerlegung in Pyramiden ........... 383 107. Volumenberechnung durch Zerlegung in Schichten............ 386 Inhalt krummer Flächenstücke. Oberflächenintegrale 108. Problemstellung. Notwendigkeit einer gewissen Einschränkung....... 387 109. Der Begriff des Inhalts eines räumlichen Flächenstücks......... 389 no. Inhalt einer Rotationsfläche...................... 399 m. Beispiele............................... 401 112. Gewöhnliche Bereiche, Flächenstücke und Körper............ 404 113. Einseitige Flächenstücke........................ 406 114. Der Begriff des Oberflächenintegrals.................. 407 Schwerpunkte. Trägheitsmomente. Potentiale 115. Dichte................................ 408 116. Schwerpunkte ............................ 410 117. Guldinsche Regeln.......................... 414 118. Trägheitsmoment.......... ................. 417 119. Beispiele zur Berechnung von Trägheitsmomenten............ 418 120. Potential............................... 424 121. Beispiele zur Berechnung von Potentialen................ 427 Integration vollständiger Differentiale 122. Integration der Differentiale von Funktionen zweier Veränderlicher ... 430 123. Beispiele............................... 4З6 124. Integration der Differentiale von Funktionen von drei und mehr Veränderlichen 437 Die Integralsätze von Gauß, Green und Stokes 125. Der Gaußsche Integralsatz....................... 443 126. Der Greensche Satz.......................... 447 17. Geschwindigkeitsfelder......................... 449 XIII Inhaltsverzeichnis 128. Divergenz einer Vektorfunktion.................... 452 129. Physikalische Bedeutung der Divergenz................. 455 130. Rotation einer Vektorfunktion..................... 45S 131. Der Stokessche Integralsatz...................... 461 Achter Abschnitt Uneigentliche Integrale und deren Anwendungen Uneigentliche Integrale 132. Integrale über unbeschränkte Intervalle................. 468 133. Konvergenzkriterien. Absolute Konvergenz ............... 471 134. Integrale von nicht beschränkten Funktionen.............. 474 135. Konvergenzkriterien. Absolute Konvergenz ............... 478 136. Das Rechnen mit uneigentlichen Integralen............... 481 137. Uneigentliche Gebiets- und Raumintegrale............... 482 138. Darstellung von Funktionen durch uneigentliche Integrale. Gleichmäßige Kon¬ vergenz............................... 486 Die Gammafunktion 139. Die Eulersche Definition der Gammafunktion.............. 491 140. Die Funktionalgleichung und die Ableitung der Gammafunktion ..... 492 141. Die Gaußsche Definition der Gammafunktion.............. 494 142. Weitere Eigenschaften der Gammafunktion. Ihr geometrisches Bild .... 498 Besondere uneigentliche Integrale + 00 143. Berechnung des Integrals / —-----dt..................503 0 144. Weitere Beispiele...........................507 145. Anwendung der komplexen Integration.................512 Neunter Abschnitt Fouriersche Reihen 146. Periodische Funktionen........................ 515 147. Trigonometrische Reihen........................ 517 148. Die Fouriersche Reihe einer Funktion ................. 519 149. Eine Minimumseigenschaft der Fourierkoeffizienten............ 523 150. Die Größenordnung der Fourierkoeffizienten............... 524 151. Das Dirichletsche Integral und der Riemannsche Lokalisationssatz .... 528 152. Konvergenzbedingungen........................ 531 153. Das Fejérsche Integral. Der Weierstraßsche Approximationssatz...... 536 154. Darstellung willkürlicher Funktionen.................. 540 155. Einzigkeitssätze ........................... 545 XIV Inhaltsverzeichnis Zehnter Abschnitt Differentialgleichungen Erklärungen und Existenzsätze 156. Beispiele für das Auftreten von Differentialgleichungen..........546 157. Begriff einer Differentialgleichung und ihrer Integrale .......... 549 158. Geometrische Bedeutung einer Differentialgleichung...........551 159. Existenzbeweis............................554 160. Eindeutigkeit der Lösung.......................560 161. Abhängigkeit von den Anfangswerten und von Parametern........562 162. Durchführbarkeit der Integration....................563 Differentialgleichungen erster Ordnung 163. Trennung der Veränderlichen...................... 565 164. Homogene Differentialgleichungen.................... 567 165. Lineare Differentialgleichungen..................... 569 166. Exakte Differentialgleichungen..................... 571 167. Integrierender Faktor oder Multiplikator................ 572 168. Die implizite Differentialgleichung erster Ordnung ............ 574 169. Singulare Integrale. Diskriminantenort.................. 580 170. Trajektorien............................. 586 Differentialgleichungen höherer Ordnung 171. Beschränkung der Aufgabe ......................589 172. Fälle der Zurückführbarkeit auf eine Differentialgleichung erster Ordnung . . 589 173. Homogene lineare Differentialgleichungen................590 174. Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . 596 175. Schwingungsgleichung.........................597 176. Inhomogene lineare Differentialgleichungen................600 177. Erzwungene Schwingungen.......................601 Differentialgleichungen im komplexen Gebiet 178. Potenzreihen in mehreren Veränderlichen................ 605 179. Funktionen von mehreren komplexen Veränderlichen........... 608 180. Entwicklung in mehrfach unendliche Potenzreihen............ 609 181. Vollständige Differentiale....................... 613 182. Integration von Differentialgleichungen erster Ordnung durch Potenzreihen . .614 183. Ausdehnung auf Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung...... 617 184. Differentialgleichungen höherer Ordnung................. 621 185. Beispiele............................... 623 186. Singulare Stellen. Besselsche Differentialgleichung............626 Namen- und Sachverzeichnis........................633 XV V. MANGOLDT * KNOPP HOEHERE MATHEMATIK EINE EINFUEHRUNG FUER STUDIERENDE UND ZUM SELBSTSTUDIUM DRITTER BAND INTEGRALRECHNUNG UND IHRE ANWENDUNGEN FUNKTIONENTHEORIE DI F FERENTIALGLEICHUNGEN 15. AUFLAGE MIT 107 ABBILDUNGEN S. HIRZEL WISSENSCHAFTLICHE VERLAGSGESELLSCHAFT STUTTGART 1990 INHALTSVERZEICHNIS ERSTER ABSCHNITT UNBESTIMMTE INTEGRALE DIE AUFGABE DER INTEGRALRECHNUNG I. EINLEITENDE BETRACHTUNGEN UEBER DIE AUFGABE DER INTEGRALRECHNUNG I 2. DAS FLAECHENINHALTSPROBLEM UND DAS BESTIMMTE INTEGRAL 3 3. DER BEGRIFF DES UNBESTIMMTEN INTEGRALS. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 5 4. UEBERBLICK UEBER DEN INHALT DER FOLGENDEN ABSCHNITTE 8 GRUNDREGELN ZUR BERECHNUNG UNBESTIMMTER INTEGRALE 5. GRUNDINTEGRALE UND EINFACHSTE GRUNDREGELN 11 6. BEISPIELE UND UEBUNGSAUFGABEN 14 7. TEILWEISE INTEGRATION 16 8. INTEGRATION EINES QUOTIENTEN . . 19 9. EINFUEHRUNG EINER NEUEN VERAENDERLICHEN 23 10. GRUENDE FUER DIE UNZULAENGLICHKEIT DER INTEGRATIONSMETHODEN 28 UEBERSICHT UEBER DIE WICHTIGSTEN ARTEN VON FUNKTIONEN, DEREN INTEGRALE IN GESCHLOSSENER FORM DARSTELLBAR SIND A. INTEGRATION DER RATIONALEN FUNKTIONEN 11. INTEGRATION RATIONALER FUNKTIONEN 30 12. DIE RECHNERISCHE HERSTELLUNG DER TEILBRUCHZERLEGUNG EINER RATIONALEN FUNKTION . 33 ^ * ^ , * AX + B 13. DAS INTEGRAL I-** NRDX 38 J (AX^ + BX+C) J 14. BEISPIELE 42 15. VOELLIGE VERMEIDUNG KOMPLEXER GROESSEN 44 16. STAERKERE BENUTZUNG KOMPLEXER GROESSEN 46 17. BESONDERE KUNSTGRIFFE 47 B. INTEGRATION EINIGER ENTWICKELTER ALGEBRAISCHER FUNKTIONEN 18. DIE WICHTIGSTEN ARTEN ENTWICKELTER ALGEBRAISCHER FUNKTIONEN, DIE SICH GESCHLOSSEN INTEGRIEREN LASSEN 48 IX INHALTSVERZEICHNIS 19. DIE INTEGRALE DER FORM I R X , YAX 2 + BX + C)DX 52 20. UNZULAENGLICHKEIT DER ANGEGEBENEN DREI INTEGRATIONSVERFAHREN 58 21. ZURUECKFAEHRUNG AUF GRUNDINTEGRALE 60 * G(X) 22. DAS INTEGRAL W , , , = D X OEI J *** * + ** + * 23. DAS INTEGRAL I 65 J IX-AJ A YA + BX + C 24. DAS INTEGRAL 1 DX 66 J (* + ** + ) * 2 + +* / A AR -4- R DX 68 (* * + * 1* + *** + +* 26. BINOMISCHE INTEGRALE 74 C. INTEGRATION EINIGER TRANSZENDENTER FUNKTIONEN 27. DIE WICHTIGSTEN ARTEN TRANSZENDENTER FUNKTIONEN, DIE GESCHLOSSEN INTEGRIERT WERDEN KOENNEN 76 28. BEISPIELE 83 ZWEITER ABSCHNITT DAS BESTIMMTE (RIEMANNSCHE) INTEGRAL BEGRIFF UND HANDHABUNG DES BESTIMMTEN INTEGRALS 29. FLAECHENINHALT UND BESTIMMTES INTEGRAL 91 30. DAS UNTERE UND OBERE (RIEMANNSCHE) INTEGRAL 95 31. DAS BESTIMMTE (RIEMANNSCHE) INTEGRAL UND DESSEN SUMMENDEFINITION . . . . 102 32. DAS RIEMANNSCHE INTEGRABILITAETSKRITERIUM 107 33. INTEGRIERBARKEIT DER MONOTONEN UND DER STETIGEN FUNKTIONEN. GLEICHMAESSIGE STETIGKEIT 109 34. EINFACHE ERGAENZUNGEN UND SAETZE. ERSTER MITTELWERTSATZ 113 35. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 119 36. DAS RECHNEN MIT BESTIMMTEN INTEGRALEN 124 37. DIE HAUPTLEMMATA DER INTEGRALRECHNUNG 131 ERSTE ANWENDUNGEN 38. EINFACHE QUADRATUREN. MITTELWERTE 136 39. EINIGE PHYSIKALISCHE ANWENDUNGEN DES INTEGRALBEGRIFFS 145 40. NEUER BEWEIS DES TAYLORSCHEN SATZES 147 41. DAS WALLISSCHE PRODUKT 149 42. DIE STIRLINGSCHE FORMEL 151 43. BERECHNUNG BESONDERER BESTIMMTER INTEGRALE. UEBUNGSAUFGABEN 155 44. DER ZWEITE MITTELWERTSATZ DER INTEGRALRECHNUNG 159 X INHALTSVERZEICHNIS INTEGRATION UNENDLICHER REIHEN 45. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DIE GLIEDWEISE INTEGRIERBARKEIT 164 46. EINFACHE BEISPIELE GLIEDWEISER INTEGRATION 168 47. DARSTELLUNG UNBESTIMMTER UND BESTIMMTER INTEGRALE DURCH UNENDLICHE REIHEN 170 NAEHERUNGSWEISE BERECHNUNG BESTIMMTER INTEGRALE 48. DIE SEHNEN- UND DIE TANGENTENFORMEL 173 49. DIE KEPLERSCHE FASSREGEL 175 50. DIE SIMPSONSCHE REGEL 180 51 GRAPHISCHE INTEGRATION. MATHEMATISCHE INSTRUMENTE 181 DRITTER ABSCHNITT INHALTE 52. DAS INHALTSPROBLEM 187 53. DER RIEMANNSCHE INHALT BESCHRAENKTER PUNKTMENGEN 189 54. INHALTSBERECHNUNG EBENER BEREICHE ZOI 55. WEITERE BEISPIELE UND UEBUNGSAUFGABEN 211 56. INHALTSBERECHNUNG RAEUMLICHER BEREICHE 216 57. BEISPIELE ZUR BERECHNUNG VON RAUMINHALTEN 218 VIERTER ABSCHNITT LAENGENBERECHNUNGEN UND KURVENINTEGRALE LAENGENBERECHNUNGEN 58. PROBLEMSTELLUNG 224 59. DIE LAENGE EINES KURVENSTUECKS 225 T O. FUNKTIONEN VON BESCHRAENKTER SCHWANKUNG 229 61. DIE BERECHNUNG DER LAENGE REKTIFIZIERBARER KURVEN . 235 62. BEISPIELE ZUR BERECHNUNG VON LAENGEN 238 63. REIN ANALYTISCHE DEFINITION DER TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 241 RIEMANN-STIELTJES-INTEGRALE. KURVENINTEGRALE 64. RIEMANN-STIELTJES-INTEGRALE 245 65. BOGENLAENGE UND BOGENDIFIERENTIAL 252 66. ZUSAETZE ZUR LEHRE VON DER KRUEMMUNG 257 67. BEWEGUNG AUF KIUMMLINIGER BAHN. VEKTORDIFFERENTIATION 262 68. KURVENINTEGRALE 267 69. SKALAR- UND VEKTORFELDER 271 70. BEISPIELE VON KURVENINTEGRALEN 273 XI INHALTSVERZEICHNIS FUENFTER ABSCHNITT INTEGRALE DER FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN UNBESTIMMTE UND BESTIMMTE INTEGRALE 71. UNBESTIMMTES INTEGRAL EINER FUNKTION KOMPLEXEN ARGUMENTES 278 72. AUSDEHNUNG DER GRUNDFORMELN DER INTEGRALRECHNUNG 279 73. DER BEGRIFF DES BESTIMMTEN INTEGRALS EINER FUNKTION KOMPLEXEN ARGUMENTES 280 74. EINFACHE INTEGRALSAETZE 285 75. BERECHNUNG BESTIMMTER INTEGRALE 287 DER CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ 76. DER CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ. EINFACH ZUSAMMENHAENGENDE GEBIETE 292 77. BEWEIS DES CAUCHYSCHEN INTEGRALSATZES 294 78. FOLGERUNGEN. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN BESTIMMTEM UND UNBESTIMMTEM INTEGRAL 300 79. DIE CAUCHYSCHE INTEGRALFORMEL 306 POTENZREIHENENTWICKLUNG. ANALYTISCHE FORTSETZUNG. SINGULARE PUNKTE 80. DARSTELLBARKEIT REGULAERER FUNKTIONEN DURCH POTENZREIHEN 307 81. FOLGERUNGEN AUS DEM ENTWICKLUNGSSATZ 309 82. DER IDENTITAETSSATZ FUER ANALYTISCHE FUNKTIONEN 315 83. ANALYTISCHE FORTSETZUNG. SINGULARE PUNKTE 318 84. DIE LAURENTSCHE ENTWICKLUNG. POLE UND WESENTLICH SINGULARE PUNKTE . . . 325 85. DER RESIDUENSATZ 331 SECHSTER ABSCHNITT MEHRFACHE INTEGRALE DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN DURCH BESTIMMTE INTEGRALE 86. STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT DER DURCH BESTIMMTE INTEGRALE DARGESTELLTEN FUNKTIONEN 334 87. AUSDEHNUNG AUF DEN FALL VERAENDERLICHER GRENZEN 336 88. BEGRIFF DES ZWEIFACHEN INTEGRALS 338 89. UMKEHRUNG DER INTEGRATIONSFOLGE 338 90. ANWENDUNG ZUR BERECHNUNG EINIGER BESTIMMTER INTEGRALE 340 GEBIETS- UND RAUMINTEGRALE 91. VOLUMEN UND GEBIETSINTEGRAL 343 92. DAS UNTERE UND OBERE GEBIETSINTEGRAL 344 93. DAS (RIEMANNSCHE) GEBIETSINTEGRAL UND DESSEN SUMMENDEFINITION 349 94. INTEGRABILITAETSKRITERIUM. STETIGE FUNKTIONEN . 350 95. ALLGEMEINES ZUR BERECHNUNG VON GEBIETSINTEGRALEN 351 96. DAS RECHNEN MIT GEBIETSINTEGRALEN 354 XII INHALTSVERZEICHNIS 97. VERWANDLUNG IN EIN ZWEIFACHES INTEGRAL 355 98. BEISPIELE 358 99. VERWANDLUNG IN EIN RANDINTEGRAL. (GAUSSSCHER INTEGRALSATZ) 360 100. TRANSFORMATION VON GEBIETSINTEGRALEN 363 101. EINFUEHRUNG VON POLARKOORDINATEN 372 102. BEISPIELE 373 103. RAUM- UND MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE 378 104. DURCH MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE DARGESTELLTE FUNKTIONEN 381 SIEBENTER ABSCHNITT ANWENDUNGEN MEHRFACHER INTEGRALE VOLUMENBERECHNUNGEN 105. VOLUMENBERECHNUNG DURCH ZERLEGUNG IN, SAEULEN 383 106. VOLUMENBERECHNUNG DURCH ZERLEGUNG IN PYRAMIDEN 383 107. VOLUMENBERECHNUNG DURCH ZERLEGUNG IN SCHICHTEN 386 INHALT KRUMMER FLAECHENSTUECKE. OBERFLAECHENINTEGRALE 108. PROBLEMSTELLUNG. NOTWENDIGKEIT EINER GEWISSEN EINSCHRAENKUNG 387 109. DER BEGRIFF DES INHALTS EINES RAEUMLICHEN FLAECHENSTUECKS 389 110. INHALT EINER ROTATIONSFLAECHE 399 IN. BEISPIELE 401 112. GEWOEHNLICHE BEREICHE, FLAECHENSTUECKE UND KOERPER 404 113. EINSEITIGE FLAECHENSTUECKE 406 114. DER BEGRIFF DES OBERFLAECHENINTEGRALS 407 SCHWERPUNKTE. TRAEGHEITSMOMENTE. POTENTIALE 115. DICHTE . 408 116. SCHWERPUNKTE 410 117. GULDINSCHE REGELN 414 118. TRAEGHEITSMOMENT - 417 119. BEISPIELE ZUR BERECHNUNG VON TRAEGHEITSMOMENTEN 418 120. POTENTIAL 424 IA 1. BEISPIELE ZUR BERECHNUNG VON POTENTIALEN 427 INTEGRATION VOLLSTAENDIGER DIFIERENTIALE 122. INTEGRATION DER DIFIERENTIALE VON FUNKTIONEN ZWEIER VERAENDERLICHER . . . 430 123. BEISPIELE 436 124. INTEGRATION DER DIFFERENTIALE VON FUNKTIONEN VON DREI UND MEHR VERAENDERLICHEN 437 DIE INTEGRALSAETZE VON GAUSS, GREEN UND STOKES 125. DER GAUSSSCHE INTEGRALSATZ 443 126. DER GREENSCHE SATZ 447 127. GESCHWINDIGKEITSFELDER 449 XIII INHALTSVERZEICHNIS 128. DIVERGENZ EINER VEKTORFUNKTION 452 129. PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER DIVERGENZ 455 130. ROTATION EINER VEKTORFUNKTION 458 131. DER STOKESSCHE INTEGRALSATZ 461 ACHTER ABSCHNITT UNEIGENTLICHE INTEGRALE UND DEREN ANWENDUNGEN UNEIGENTLICHE INTEGRALE 132. INTEGRALE UEBER UNBESCHRAENKTE INTERVALLE 468 133. KONVERGENZKRITERIEN. ABSOLUTE KONVERGENZ 471 134. INTEGRALE VON NICHT BESCHRAENKTEN FUNKTIONEN 474 135. KONVERGENZKRITERIEN. ABSOLUTE KONVERGENZ 478 136. DAS RECHNEN MIT UNEIGENTLICHEN INTEGRALEN 481 137. UNEIGENTLICHE GEBIETS- UND RAUMINTEGRALE 482 138. DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN DURCH UNEIGENTLICHE INTEGRALE. GLEICHMAESSIGE KON- VERGENZ 486 DIE GAMMAFUNKTION 139. DIE EULERSCHE DEFINITION DER GAMMAFUNKTION 491 140. DIE FUNKTIONALGLEICHUNG UND DIE ABLEITUNG DER GAMMAFUNKTION 492 141. DIE GAUSSSCHE DEFINITION DER GAMMAFUNKTION 494 142. WEITERE EIGENSCHAFTEN DER GAMMAFUNKTION. IHR GEOMETRISCHES BILD . . . . 498 BESONDERE UNEIGENTLICHE INTEGRALE + 00 / SIN DT 503 0 144. WEITERE BEISPIELE 507 145. ANWENDUNG DER KOMPLEXEN INTEGRATION 512 NEUNTER ABSCHNITT FOURIERSCHE REIHEN 146. PERIODISCHE FUNKTIONEN 515 147. TRIGONOMETRISCHE REIHEN 517 148. DIE FOURIERSCHE REIHE EINER FUNKTION 519 149. EINE MINIMUMSEIGENSCHAFT DER FOURIERKOEFFIZIENTEN 523 150. DIE GROESSENORDNUNG DER FOURIERKOEFFIZIENTEN . 524 151. DAS DIRICHLETSCHE INTEGRAL UND DER RIEMANNSCHE LOKALISATIONSSATZ . . . . 528 152. KONVERGENZBEDINGUNGEN 531 153. DAS FEJERSCHE INTEGRAL. DER WEIERSTRASSSCHE APPROXIMATIONSSATZ 536 154. DARSTELLUNG WILLKUERLICHER FUNKTIONEN 540 155. EINZIGKEITSSAETZE 545 XIV INHALTSVERZEICHNIS ZEHNTER ABSCHNITT DIFIERENTIALGLEICHUNGEN ERKLAERUNGEN UND EXISTENZSAETZE 156. BEISPIELE FUER DAS AUFTRETEN VON DIFIERENTIALGLEICHUNGEN 546 157. BEGRIFF EINER DIFFERENTIALGLEICHUNG UND IHRER INTEGRALE 549 158. GEOMETRISCHE BEDEUTUNG EINER DIFFERENTIALGLEICHUNG 551 159. EXISTENZBEWEIS 554 160. EINDEUTIGKEIT DER LOESUNG 560 161. ABHAENGIGKEIT VON DEN ANFANGSWERTEN UND VON PARAMETERN 562 162. DURCHFUEHRBARKEIT DER INTEGRATION 563 DIFIERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 163. TRENNUNG DER VERAENDERLICHEN 565 164. HOMOGENE DIFIERENTIALGLEICHUNGEN 567 165. LINEARE DIFIERENTIALGLEICHUNGEN 569 I66. EXAKTE DIFIERENTIALGLEICHUNGEN 571 167. INTEGRIERENDER FAKTOR ODER MULTIPLIKATOR 572 168. DIE IMPLIZITE DIFFERENTIALGLEICHUNG ERSTER ORDNUNG 574 169. SINGULARE INTEGRALE. DISKRIMINANTENORT 580 170. TRAJEKTORIEN 586 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG 171. BESCHRAENKUNG DER AUFGABE 589 172. FAELLE DER ZURUECKFUEHRBARKEIT AUF EINE DIFFERENTIALGLEICHUNG ERSTER ORDNUNG . . 589 173. HOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 590 174. HOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN . . 596 175. SCHWINGUNGSGLEICHUNG 597 176. INHOMOGENE LINEARE DIFIERENTIALGLEICHUNGEN 600 177. ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN 601 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IM KOMPLEXEN GEBIET 178. POTENZREIHEN IN MEHREREN VERAENDERLICHEN 605 179. FUNKTIONEN VON MEHREREN KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 608 180. ENTWICKLUNG IN MEHRFACH UNENDLICHE POTENZREIHEN 609 I8I. VOLLSTAENDIGE DIFFERENTIALE 613 182. INTEGRATION VON DIFIERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG DURCH POTENZREIHEN . . 614 183. AUSDEHNUNG AUF SYSTEME VON DIFIERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 617 184. DIFIERENTIALGLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG 621 185. BEISPIELE 623 186. SINGULARE STELLEN. BESSELSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 626 NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS 633 XV
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