Verfügbarkeit: Höhere Mathematik | Technische Universität München

Höhere Mathematik: eine Einführung für Studierende und zum Selbststudium 2 Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie

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Bibliographische Detailangaben
Beteiligte Personen:	Mangoldt, Hans von 1854-1925 (VerfasserIn), Knopp, Konrad 1882-1957 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Stuttgart Hirzel 1990
Ausgabe:	16. Aufl.
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Umfang:	XIV, 624 S. graph. Darst.
ISBN:	3777604623

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS Erster Abschnitt Grundregeln der Differentialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen Begriff und Bedeutung eines Differentialquotienten Nr. S«ite 1. Einleitende Betrachtungen....................... ι 2. Differentialrechnung und Integralrechnung................ 9 3. Differenzierbarkeit........................... 11 4. Einseitige und unendliche Ableitungen.................. 16 5. Difierenzierbarkeit in einem Intervall.................. 18 6. Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung ......... 19 Grundregeln der Differentialrechnung 7. Vorbemerkungen........................... 20 8. Differentiationen einer Konstanten und der Funktion χ .......... 23 9. Differentiation einer Summe...................... 24 10. Differentiation eines Produktes..................... 25 11. Differentiation einer Potenz...................... 27 12. Differentiation eines Quotienten.................... 28 13 Differentiation der rationalen Funktionen................ 29 14. Differentiation der Exponentialfunktion................. 3° 15. Differentiation der Logarithmen, Natürliche Logarithmen......... 31 16. Differentiation der Kreis- und Hyperbelfunktionen............ 34 17 Differentiation einer mittelbaren Funktion................ 36 18. Differentiation der allgemeinen Potenz und der Wurzeln......... 41 19. Differentiation einer inversen Funktion................. 45 20. Differentiation der zyklometrischen und der Area-Funktionen....... 48 21. Differenzierbarkeit geschlossener analytischer Ausdrücke.......... 53 22. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.................... 56 23. Gründetür die Unzulänglichkeit der Anschauung und für die Bevorzugung diffe¬ renzierbarer Funktionen........................ 60 24. Vermischte Übungsaufgaben...................... 63 VII Inhaltsverzeichnis Zweiter Abschnitt Differentiale. Mittelwertsatz. Taylorscher Satz Differentiale. Mittelwertsatz Nr. Seite 25. Das Differential einer Funktion ƒ(x)................... 67 26. Vorteile der differentiellen Schreibweise................. 70 27. Die Bedeutung des Vorzeichens der Ableitung.............. 72 28. Der Satz von Rolle.......................... 74 29. Der Mittehvertsatz der Differentialrechnung............... 76 30. Einfachste Anwendungen des Mittelwertsatzes.............. 78 31. Erweiterung des Mittelwertsatzes.................... 80 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung 32. Die Ableitung / (x) als Funktion von χ ................. 8i 33. Ableitungen zweiter und höherer Ordnung................ 83 34. Physikalische Bedeutung der zweiten Ableitung............. 84 35. Die höheren Ableitungen der elementaren Funktionen.......... 86 36. Die höheren Ableitungen einer Summe und eines Produktes........ 89 37. Die höheren Ableitungen einer mittelbaren Funktion........... 90 38. Höhere Differenzen.......................... 91 3g. Differentiale höherer Ordnung..................... 94 40. Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung. Konvexität und Konkavität 96 41. Ermittlung der Gestalt des geometrischen Bildes einer Funktion...... 101 42. Newtons Näherungsverfahren zur Auflösung einer Gleichung und die Regula falsi ................................. 104 Der Taylorsche Satz 43. Entwicklung einer ganzen rationalen Funktion nach Potenzen eines Zuwachses ihres Argumentes........................... 110 44. Die Sätze von Taylor und MacLaurin ................. in 45. Beweis der Sätze von Taylor und MacLaurin.............. r 14 Entwicklung der elementaren Funktionen 46. Bedeutung des Taylorschen Satzes................... 116 47. Darstellung der Exponentialfunktion.................. n8 48. Berechnung der Exponentialfunktion, insbesondere der Zahle....... 118 49. Irrationalität von e .......................... 122 50. Entwicklung der Funktionen sin* und cos я· ............... 123 51. Entwicklung der Logarithmusfunktion ................. 125 52. Berechnung der Logarithmen...................... 127 53. Allgemeine Exponentialfunktion und allgemeine Potenz.......... 132 54. Erweiterung des Binomiallehrsatzes................... 133 55. Entwicklung der Funktion arctg#................... 137 56. Berechnung der Zahl π ........................ i39 57. Entwicklung der Funktion arcsin.................. . 142 VTII Inhaltsverzeichnis Dritter Abschnitt Minima und Maxima. Grenzwerte Minima und Maxima Nr. Seite 58. Begriff eines Minimums oder Maximums................. 144 <o Bedingungen für das Auftreten eines Minimums oder Maximums..... 145 60. Beispiele............................... 15° Bestimmung von Grenzwerten 61. Allgemeine Bemerkungen über die Bestimmung von Grenzwerten.....164 62. Erste Grundaufgabe: Bestimmung des Grenzwertes eines Bruches, dessen Zähler und Nenner beide gegen Null streben.................. 169 63. Zweite Grundaufgabe: Bestimmung des Grenzwertes eines Bruches, dessen Nenner gegen +00 oder —00 strebt................... 174 64. Zorückführung anderer Aufgaben auf die Grundaufgaben......... 17S 65. Zusätze............................... 180 Unendlich klein, unendlich groß 66. Unendlich klein werdende Funktionen ................. 183 67. Von verschiedener Ordnung unendlich klein werdende Funktionen..... 184 68. Von verschiedener Ordnung unendlich groß werdende Funktionen..... 187 69. о und О ............................... i8g Vierter Abschnitt Unendliche Reihen 70. Vorbemerkungen........................... 194 71. Unendliche Reihen.......................... 195 72. Konvergenz und Divergenz....................... 198 73. Die Taylorsche Reihe......................... 201 Reihen mit positiven Gliedern 74. Das I. Hauptkriterium......................... 204 75. Die beiden Vergleichskriterien..................... 207 76. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium................ 211 Reihen mit beliebigen Gliedern 77. Das II. Hauptkriterium........................ 214 78. Das Rechnen mit konvergenten Reihen................. 216 79. Absolute Konvergenz......................... 221 80. Bedingte und unbedingte Konvergenz.................. 224 81. Der große Umordnungssatz...................... 228 82. Multiplikation unendlicher Reihen................... 233 83. Das Abelsche Konvergenzkriterium................... 237 IX Inhaltsverzeichnis Potenzreihen Nr. Seite 84. Konvergenzradius einer Potenzreihe.................. 239 85. Identitätssatz für Potenzreihen.................... 242 86. Transformation auf einen neuen Mittelpunkt. Stetigkeit und Differenzierbarkeit 246 87. Die Taylorschen Reihen....................... 249 88. Der Abelsche Grenzwertsatz...................... 250 89. Das Rechnen mit Potenzreihen.................... 253 90. Einsetzen einer Potenzreihe in eine andere............... 256 91. Bemerkungen und Beispiele...................... 259 92. Division durch eine Potenzreihe.................... 261 93. Die Bernouillischen Zahlen...................... 264 94. Übungsaufgaben........................... 266 Funktionenfolgen. Reihen mit veränderlichen Gliedern 95. Erklärungen............................. 266 96. Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz............. 269 97. Gliedweise Grenzübergänge...................... 273 98. Kriterien für gleichmäßige Konvergenz................. 277 99. Anwendungen und Beispiele...................... 279 100. Beispiel einer durchweg stetigen, nirgends differenzierbaren Funktion . . . 280 Unendliche Produkte 101. Unendliche Produkte......................... 283 102. Unendliche Produkte mit positiven Gliedern.............. 285 103. Produkte mit beliebigen Gliedern. Absolute Konvergenz......... 287 104. Nicht-absolute Konvergenz...................... 289 Fünfter Abschnitt Grenzwerte und Stetigkeit der Funktionen von mehreren Veränderlichen Punktmengen in mehrdimensionalen Räumen 105. Mehrdimensionale Räume....................... 291 106. Abstand. Dreiecksungleichung. Intervalle. Kugeln. Umgebungen...... 293 107. Geraden. Polygonzüge. Kurven. Vektoren................ 296 108. Koordinatentransformation...................... 298 109. Punktmengen in «-dimensionalen Räumen............... 300 110. Häufungspunkte........................... 301 in. Punktfolgen. Konvergenz....................... 303 112. Weitere Erklärungen und Sätze.................... 304 113. Gebiete, Kontinua .......................... 305 Funktionen von mehreren Veränderlichen 114. Feste und veränderliche Stellen. Funktionen.............. 307 115. Geometrische Darstellung einer Funktion von mehreren Veränderlichen . . 309 116. Grenzwerte............................. 311 117. Stetigkeit.............................. 312 X Inhaltsverzeichnis Nr. Seitc 1x8. Stetigkeit einer mittelbaren Funktion................. 315 це. Sätze über Funktionen, die in einem abgeschlossenen Bereiche stetig sind. . 318 Sechster Abschnitt Ausdehnung der Differentialrechnung auf Funktionen von mehreren Veränderlichen Partielle Ableitungen 120. Partielle Ableitungen erster Ordnung ................. 321 131. Partielle Ableitungen höherer Ordnung................. 326 122. Hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit der Gleichung jxy = jvx ■ ■ ■ 329 123. Unabhängigkeit partieller Ableitungen höherer Ordnung von der Reihenfolge der Differentiationen......................... 334 124. Vollständige Diflerenzierbarkeit und vollständige Differentiale...... 335 125. Richtungsableitung. Gradient..................... 342 126. Ausdehnung der Regel für die Differentiation einer mittelbaren Funktion . . 343 127. Ausdehnung des Mittelwertsatzes................... 348 128. Ausdehnung des Taylorschen Satzes.................. 350 129. Harmonische Funktionen....................... 353 Siebenter Abschnitt Unentwickelte Funktionen Minima und Maxima der Funktionen von mehreren Veränderlichen Unentwickelte Funktionen 130. Gleichungen zwischen mehreren Veränderlichen............. 358 131. Unentwickelte oder implizite Funktionen................ 35g 132. Höhere Ableitungen einer unentwickelten Funktion........... 367 133. Unentwickelte Funktionen von mehreren Veränderlichen........ 370 134. Systeme unentwickelter Funktionen von mehreren Veränderlichen .... 374 135. Abbildung ebener Bereiche...................... 378 136. Inverse Abbildungen......................... 382 Minima und Maxima der Funktionen von mehreren Veränderlichen 137. Minima und Maxima der Funktionen von mehreren Veränderlichen .... 386 138. Beispiele.............................. 392 r 39. Minima und Maxima mit Nebenbedingungen.............. 394 Achter Abschnitt Die Begriffe Kurve und Fläche 140. Notwendigkeit einer genauen Erklärung................ 398 141. Stetige Kurven........................... 398 142. Beispiele.............................. 400 XI Inhaltsverzeichnis Nr. Seite 143. Beispiel einer Peanokurve....................... 406 144. Jordansche Kurvenstücke....................... 410 145. Die v. Kochsche Kurve........................ 412 146. Rektifizierbare Kurven. Wege..................... 415 147. Glatte Kurven............................ 416 148. Stetig gekrümmte und analytische Kurvenstücke............ 417 149. Parameterdarstellung eines Kurvenstücks................ 418 150. Darstellung eines ebenen Kurvenstücks durch eine Gleichung. Implizite und explizite Darstellung......................... 420 151. Darstellung eines räumlichen Kurvenstücks durch zwei Gleichungen .... 424 152. Darstellung eines Kurvenstücks in Polarkoordinaten........... 425 153. Der Begriff Fläche.......................... 426 154. Darstellung eines Flächenstücks durch eine einzige Gleichung...... 430 Neunter Abschnitt Kurven und Flächen zweiter Ordnung Kurven zweiter Ordnung 155. Gleichwertigkeit algebraischer Gleichungen............... 433 156. Parabel, Ellipse, Hyperbel....................... 434 157. Ausartungen............................. 444 158. Zurückführung der Gleichung zweiten Grades auf möglichst einfache Formen 444 159. Zusammenfassung.......................... 450 Flächen zweiter Ordnung 160. Die Hauptachsentransformation.................... 457 161. Übersicht über die Flächen zweiter Ordnung.............. 461 Zehnter Abschnitt Elemente der Differentialgeometrie Tangenten und Normalen 162. Tangente, Normale und Normalebene................. 471 163. Gleichungen von Tangente, Normale und Normalebene......... 473 164. Richtungskosimis der Tangente einer ebenen Kurve........... 475 165. Richtungskosinus der Tangente einer räumlichen Kurve......... 478 166. Beispiele und Übungsaufgaben.................... 480 167. Tangentenebene eines Flächenstücks.................. 487 Krümmung ebener Kurvenstücke 168. Krümmungsmittelpunkt als Grenzlage des Schnittpunktes zweier Normalen 491 169. Krümmungskreis als Grenzlage eines Kreises durch drei Punkte..... 495 170. Krümmung eines durch eine einzige Gleichung gegebenen Kurvenstücks . . 499 171. Art der Berührung von Kurve und Krümmungskreis.......... 501 172. Evolute............................... 503 173. Beispiele und Übungsaufgaben..................... 506 XII Inhaltsverzeichnis Einhüllende ebener Kurvenscharen Nr. Seite 174. Beispiele.............................. 175. Einhüllende einer einfach-unendlichen ebenen Kurvenschar........ 519 176. Hinreichende Bedingungen für das Vorhandensein einer Einhüllenden . . . 519 J77. Schnittpunkte benachbarter Kurven einer Schar............ 525 Elfter Abschnitt Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern und Funktionen einer komplexen Veränderlichen 178. Vorbemerkungen........................... 529 Zahlenfolgen und unendliche Reihen mit komplexen Gliedern 179. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern................. 530 180. Punktmengen in der Ebene der komplexen Zahlen. Gebiete und Wege . . 534 181. Unendliche Reihen und Produkte mit komplexen Gliedern........ 536 182. Potenzreihen, Konvergenzkreis ................... . 539 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 183. Funktionen einer komplexen Veränderlichen.............. 539 184. Grenzwerte von Funktionen...................... 541 185. Stetigkeit.............................. 543 186. Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen.............. 543 187. Reihen mit veränderlichen Gliedern (Funktionenfolgen)......... 544 Die elementaren analytischen Funktionen 188. Polynome. Fundamentalsatz der Algebra................ 545 189. Produktdarstellung der ganzen rationalen Funktionen......... . 550 190. Rationale Funktionen. Teilbruchzerlegung............... 553 191. Die Exponentialfunktion....................... 557 192. Die trigonometrischen Funktionen................... 560 193. Die Hyperbelfunktionen........................ 565 194. Die Logarithmusfunktion....................... 566 195. Die allgemeine Potenz........................ 368 196. Die zyklometrischen und die Area- Funktionen............. 571 Zwölfter Abschnitt Analytische Funktionen und konforme Abbildung Grundregeln der Differentialrechnung für Funktionen einer komplexen Veränderlichen 197. Begriff der Differenzierbarkeit. Analytische Funktionen......... 574 198. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen............ 577 199. Die Laplacesche Differentialgleichung.................. 578 200. Hinreichende Bedingungen iür die Differenzierbarkeit.......... 580 XIII Inhaltsverzeichnis Nr. Seite 201. Grundregeln äer Differentialrechnung ................. 581 20z. Differentiation inverser Funktionen.................. 583 203. Differentiation des Logarithmus, der zyklometrischen und der Area-Funk- tionen ............................... 585 Konforme Abbildung 204. Abbildung durch reguläre Funktionen. Konforme Abbildung........ 588 205. Beispiele.............................. 591 206. Abbildung durch ganze lineare Funktionen............... 597 207. Die Abbildung durch w = i/z. Reziproke Radien............ 599 208. Der Punkt 00 (unendlich)....................... 603 209. Spiegelung an einem beliebigen Kreise................. 604 210. Reziproke Radien im Räume..................... 605 211. Stereographische Projektion. Die Riemannsche Zahlenkugel........ 608 212. Abbildung durch beliebige lineare Funktionen. Fixpunkte. Doppelverhältnisse 611 Namen- und Sachverzeichnis zum zweiten Bande.............. 616 XIV V. MANGOLDT KNOPP HOEHERE MATHEMATIK EINE EINFUEHRUNG FUER STUDIERENDE UND ZUM SELBSTSTUDIUM ZWEITER BAND DIFFERENTIALRECHNUNG * UNENDLICHE REIHEN ELEMENTE DER DIFFERENTIALGEOMETRIE UND DER FUNKTIONENTHEORIE 16. AUFLAGE MIT 115 ABBILDUNGEN S. HIRZEL WISSENSCHAFTLICHE VERLAGSGESELLSCHAFT STUTTGART 1990 INHALTSVERZEICHNIS ERSTER ABSCHNITT GRUNDREGELN DER DIFFERENTIALRECHNUNG FUER FUNKTIONEN EINER VERAENDERLICHEN BEGRIFF UND BEDEUTUNG EINES DIFFERENTIALQUOTIENTEN NR. SEITE I. EINLEITENDE BETRACHTUNGEN I 2. DIFFERENTIALRECHNUNG UND INTEGRALRECHNUNG 9 3. DIFFERENZIERBARKEIT N 4. EINSEITIGE UND UNENDLICHE ABLEITUNGEN 16 5. DIFFERENZIERBARKEIT IN EINEM INTERVALL 18 6. GEOMETRISCHE UND PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER ABLEITUNG 19 GRUNDREGELN DER DIFFERENTIALRECHNUNG 7. VORBEMERKUNGEN . 20 8. DIFFERENTIATIONEN EINER KONSTANTEN UND DER FUNKTION X 23 9. DIFFERENTIATION EINER SUMME 24 TO. DIFFERENTIATION EINES PRODUKTES 25 11. DIFFERENTIATION EINER POTENZ 27 12. DIFFERENTIATION EINES QUOTIENTEN 28 13 DIFFERENTIATION DER RATIONALEN FUNKTIONEN 29 14. DIFFERENTIATION DER EXPONENTIALFUNKTION 30 15. DIFFERENTIATION DER LOGARITHMEN. NATUERLICHE LOGARITHMEN 31 16. DIFFERENTIATION DER KREIS- UND HYPERBELFUNKTIONEN . 34 17 DIFFERENTIATION EINER MITTELBAREN FUNKTION 36 18. DIFFERENTIATION DER ALLGEMEINEN POTENZ UND DER WURZELN 41 19. DIFFERENTIATION EINER INVERSEN FUNKTION 45 20. DIFFERENTIATION DER ZYKLOMETRISCHEN UND DER AREA-FUNKTIONEN 48 21. DIFFERENZIERBARKEIT GESCHLOSSENER ANALYTISCHER AUSDRUECKE 53 22. STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT 56 23. GRUENDE FUER DIE UNZULAENGLICHKEIT DER ANSCHAUUNG UND FUER DIE BEVORZUGUNG DIFFE- RENZIERBARER FUNKTIONEN 60 24. VERMISCHTE UEBUNGSAUFGABEN 63 VII INHALTSVERZEICHNIS ZWEITER ABSCHNITT DIFFERENTIALE. MITTELWERTSATZ. TAYLORSCHER SATZ DIFFERENTIALE. MITTELWERTSATZ NR. SEITE 25. DAS DIFFERENTIAL EINER FUNKTION F(X) 67 26. VORTEILE DER DIFFERENTIELLEN SCHREIBWEISE 70 27. DIE BEDEUTUNG DES VORZEICHENS DER ABLEITUNG 72 28. DER SATZ VON ROLLE 74 29. DER MITTELWERTSATZ DER DIFFERENTIALRECHNUNG 76 30. EINFACHSTE ANWENDUNGEN DES MITTELWERTSATZES 78 31. ERWEITERUNG DES MITTELWERTSATZES 80 ABLEITUNGEN UND DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG 32. DIE ABLEITUNG F (X) ALS FUNKTION VON X 81 33. ABLEITUNGEN ZWEITER UND HOEHERER ORDNUNG 83 34. PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER ZWEITEN ABLEITUNG 84 35. DIE HOEHEREN ABLEITUNGEN DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 86 36. DIE HOEHEREN ABLEITUNGEN EINER SUMME UND EINES PRODUKTES 89 37. DIE HOEHEREN ABLEITUNGEN EINER MITTELBAREN FUNKTION 90 38. HOEHERE DIFFERENZEN 9 1 39. DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG 94 40. GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DER ZWEITEN ABLEITUNG. KONVEXITAET UND KONKAVITAET 96 41. ERMITTLUNG DER GESTALT DES GEOMETRISCHEN BILDES EINER FUNKTION 101 42. NEWTONS NAEHERUNGSVERFAHREN ZUR AUFLOESUNG EINER GLEICHUNG UND DIE REGULA FALSI 104 DER TAYLORSCHE SATZ 43. ENTWICKLUNG EINER GANZEN RATIONALEN FUNKTION NACH POTENZEN EINES ZUWACHSES IHRES ARGUMENTES 110 44. DIE SAETZE VON TAYLOR UND MACLAURIN IN 45. BEWEIS DER SAETZE VON TAYLOR UND MACLAURIN . 114 ENTWICKLUNG DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 46. BEDEUTUNG DES TAYLORSCHEN SATZES 116 47. DARSTELLUNG DER EXPONENTIALFUNKTION 118 48. BERECHNUNG DER EXPONENTIALFUNKTION, INSBESONDERE DER ZAHLE 118 49. IRRATIONALITAET VON E 122 50. ENTWICKLUNG DER FUNKTIONEN SIN- UND COS# 123 51. ENTWICKLUNG DER LOGARITHMUSFUNKTION * 125 52. BERECHNUNG DER LOGARITHMEN 127 53. ALLGEMEINE EXPONENTIALFUNKTION UND ALLGEMEINE POTENZ 132 54. ERWEITERUNG DES BINOMIALLEHRSATZES 133 55. ENTWICKLUNG DER FUNKTION ARCTG* 137 56. BERECHNUNG DER ZAHL N 139 57. ENTWICKLUNG DER FUNKTION ARESIN ; I4 2 VIII INHALTSVERZEICHNIS DRITTER ABSCHNITT MINIMA UND MAXIMA. GRENZWERTE MINIMA UND MAXIMA NR. SEITE 58. BEGRIFF EINES MINIMUMS ODER MAXIMUMS 144 59. BEDINGUNGEN FUER DAS AUF TRETEN EINES MINIMUMS ODER MAXIMUMS 145 60. BEISPIELE 15 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN 61. ALLGEMEINE BEMERKUNGEN UEBER DIE BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN 164 62. ERSTE GRUNDAUFGABE: BESTIMMUNG DES GRENZWERTES EINES BRUCHES, DESSEN ZAEHLER UND NENNER BEIDE GEGEN NULL STREBEN 169 63. ZWEITE GRUNDAUFGABE: BESTIMMUNG DES GRENZWERTES EINES BRUCHES, DESSEN NENNER GEGEN +ODER 00 STREBT 174 64. ZURUECKFUEHRUNG ANDERER AUFGABEN AUF DIE GRUNDAUFGABEN 178 65. ZUSAETZE 180 UNENDLICH KLEIN, UNENDLICH GROSS 66. UNENDLICH KLEIN WERDENDE FUNKTIONEN 183 67. VON VERSCHIEDENER ORDNUNG UNENDLICH KLEIN WERDENDE FUNKTIONEN 184 68. VON VERSCHIEDENER ORDNUNG UNENDLICH GROSS WERDENDE FUNKTIONEN 187 69. * UND * 189 VIERTER ABSCHNITT UNENDLICHE REIHEN 70. VORBEMERKUNGEN 194 71. UNENDLICHE REIHEN 195 72. KONVERGENZ UND DIVERGENZ 198 73. DIE TAYLORSCHE REIHE 201 REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN 74. DAS I. HAUPTKRITERIUM 204 75. DIE BEIDEN VERGLEICHSKRITERIEN 207 76. DAS WURZEL- UND DAS QUOTIENTENKRITERIUM 211 REIHEN MIT BELIEBIGEN GLIEDERN 77. DAS II. HAUPTKRITERIUM 214 78. DAS RECHNEN MIT KONVERGENTEN REIHEN 216 79. ABSOLUTE KONVERGENZ 221 80. BEDINGTE UND UNBEDINGTE KONVERGENZ 224 81. DER GROSSE UMORDNUNGSSATZ 228 82. MULTIPLIKATION UNENDLICHER REIHEN 233 83. DAS ABELSCHE KONVERGENZKRITERIUM 237 IX INHALTSVERZEICHNIS POTENZREIHEN NR. SEITE 84. KONVERGENZRADIUS EINER POTENZREIHE 239 85. IDENTITAETSSATZ FUER POTENZREIHEN 242 86. TRANSFORMATION AUF EINEN NEUEN MITTELPUNKT. STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT 246 87. DIE TAYLORSCHEN REIHEN 249 88. DER ABELSCHE GRENZWERTSATZ 250 89. DAS RECHNEN MIT POTENZREIHEN 253 90. EINSETZEN EINER POTENZREIHE IN EINE ANDERE 256 91. BEMERKUNGEN UND BEISPIELE 259 92. DIVISION DURCH EINE POTENZREIHE 261 93. DIE BERNOUILLISCHEN ZAHLEN 264 94. UEBUNGSAUFGABEN 266 FUNKTIONENFOLGEN. REIHEN MIT VERAENDERLICHEN GLIEDERN 95. ERKLAERUNGEN 266 96. GLEICHMAESSIGE UND UNGLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 269 97. GLIEDWEISE GRENZUEBERGAENGE 273 98. KRITERIEN FUER GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 277 99. ANWENDUNGEN UND BEISPIELE 279 IOO. BEISPIEL EINER DURCHWEG STETIGEN, NIRGENDS DIFFERENZIERBAREN FUNKTION . . . 280 UNENDLICHE PRODUKTE 101. UNENDLICHE PRODUKTE 283 102. UNENDLICHE PRODUKTE MIT POSITIVEN GLIEDERN 285 103. PRODUKTE MIT BELIEBIGEN GLIEDERN. ABSOLUTE KONVERGENZ 287 104. NICHT-ABSOLUTE KONVERGENZ 289 FUENFTER ABSCHNITT GRENZWERTE UND STETIGKEIT DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN PUNKTMENGEN IN MEHRDIMENSIONALEN RAEUMEN 105. MEHRDIMENSIONALE RAEUME 291 106. ABSTAND. DREIECKSUNGLEICHUNG. INTERVALLE. KUGELN. UMGEBUNGEN 293 107. GERADEN. POLYGONZUEGE. KURVEN. VEKTOREN 296 108. KOORDINATENTRANSFORMATION 298 109. PUNKTMENGEN IN -DIMENSIONALEN RAEUMEN 300 NO. HAEUFUNGSPUNKTE 301 IN. PUNKTFOLGEN. KONVERGENZ 303 112. WEITERE ERKLAERUNGEN UND SAETZE 304 113. GEBIETE, KONTINUA 305 FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 114. FESTE UND VERAENDERLICHE STELLEN. FUNKTIONEN 307 115. GEOMETRISCHE DARSTELLUNG EINER FUNKTION VON MEHREREN VERAENDERLICHEN . . 309 116. GRENZWERTE 311 117. STETIGKEIT 312 X INHALTSVERZEICHNIS NR. SEITE- NS. STETIGKEIT EINER MITTELBAREN FUNKTION 315 119. SAETZE UEBER FUNKTIONEN, DIE IN EINEM ABGESCHLOSSENEN BEREICHE STETIG SIND. . 318 SECHSTER ABSCHNITT AUSDEHNUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG AUF FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN PARTIELLE ABLEITUNGEN 120. PARTIELLE ABLEITUNGEN ERSTER ORDNUNG 321 121. PARTIELLE ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG 326 122. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DIE GUELTIGKEIT DER GLEICHUNG F XV F VX . . . 329 123. UNABHAENGIGKEIT PARTIELLER ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG VON DER REIHENFOLGE DER DIFFERENTIATIONEN 334 124. VOLLSTAENDIGE DIFFERENZIERBARKEIT UND VOLLSTAENDIGE DIFFERENTIALE 335 125. RICHTUNGSABLEITUNG. GRADIENT 342 126. AUSDEHNUNG DER REGEL FUER DIE DIFFERENTIATION EINER MITTELBAREN FUNKTION . . 343 127. AUSDEHNUNG DES MITTELWERTSATZES 348 128. AUSDEHNUNG DES TAYLORSCHEN SATZES 350 129. HARMONISCHE FUNKTIONEN 353 SIEBENTER ABSCHNITT UNENTWICKELTE FUNKTIONEN MINIMA UND MAXIMA DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN UNENTWICKELTE FUNKTIONEN 130. GLEICHUNGEN ZWISCHEN MEHREREN VERAENDERLICHEN 358 131. UNENTWICKELTE ODER IMPLIZITE FUNKTIONEN 359 132. HOEHERE ABLEITUNGEN EINER UNENTWICKELTEN FUNKTION 367 133. UNENTWICKELTE FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 370 134. SYSTEME UNENTWICKELTER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN . . . . 374 135. ABBILDUNG EBENER BEREICHE 378 136. INVERSE ABBILDUNGEN 382 MINIMA UND MAXIMA DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 137. MINIMA UND MAXIMA DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN . . . . 386 138. BEISPIELE 392 139. MINIMA UND MAXIMA MIT NEBENBEDINGUNGEN 394 ACHTER ABSCHNITT DIE BEGRIFFE KURVE UND FLAECHE 140. NOTWENDIGKEIT EINER GENAUEN ERKLAERUNG 398 141. STETIGE KURVEN 398 142. BEISPIELE 400 XI INHALTSVERZEICHNIS NR. SEITE 143. BEISPIEL EINER PEANOKURVE 406 144. JORDANSCHE KURVENSTUECKE 410 145. DIE V. KOCHSCHE KURVE 412 146. REKTIFIZIERBARE KURVEN. WEGE 415 147. GLATTE KURVEN 416 148. STETIG GEKRUEMMTE UND ANALYTISCHE KURVENSTUECKE 417 149. PARAMETERDARSTELLUNG EINES KURVENSTUECKS 418 150. DARSTELLUNG EINES EBENEN KURVENSTUECKS DURCH EINE GLEICHUNG. IMPLIZITE UND EXPLIZITE DARSTELLUNG 420 151. DARSTELLUNG EINES RAEUMLICHEN KURVENSTUECKS DURCH ZWEI GLEICHUNGEN. . . . 424 152. DARSTELLUNG EINES KURVENSTUECKS IN POLARKOORDINATEN 425 153. DER BEGRIFF FLAECHE 426 154. DARSTELLUNG EINES FLAECHENSTUECKS DURCH EINE EINZIGE GLEICHUNG 430 NEUNTER ABSCHNITT KURVEN UND FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG KURVEN ZWEITER ORDNUNG 155. GLEICHWERTIGKEIT ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN 433 156. PARABEL, ELLIPSE, HYPERBEL 434 157. AUSARTUNGEN 444 158. ZURUECKFUEHRUNG DER GLEICHUNG ZWEITEN GRADES AUF MOEGLICHST EINFACHE FORMEN 444 159. ZUSAMMENFASSUNG 450 FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 160. DIE HAUPTACHSENTRANSFORMATION 457 161. UEBERSICHT UEBER DIE FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 461 ZEHNTER ABSCHNITT ELEMENTE DER DIFFERENTIALGEOMETRIE TANGENTEN UND NORMALEN 162. TANGENTE, NORMALE UND NORMALEBENE 471 163. GLEICHUNGEN VON TANGENTE, NORMALE UND NORMALEBENE 473 164. RICHTUNGSKOSINUS DER TANGENTE EINER EBENEN KURVE 475 165. RICHTUNGSKOSINUS DER TANGENTE EINER RAEUMLICHEN KURVE 478 166. BEISPIELE UND UEBUNGSAUFGABEN 480 167. TANGENTENEBENE EINES FLAECHENSTUECKS 487 KRUEMMUNG EBENER KURVENSTUECKE 168. KRUEMMUNGSMITTELPUNKT ALS GRENZLAGE DES SCHNITTPUNKTES ZWEIER NORMALEN 491 169. KRUEMMUNGSKREIS ALS GRENZLAGE EINES KREISES DURCH DREI PUNKTE 495 170. KRUEMMUNG EINES DURCH EINE EINZIGE GLEICHUNG GEGEBENEN KURVENSTUECKS . . 499 171. ART DER BERUEHRUNG VON KURVE UND KRUEMMUNGSKREIS 501 172. EVOLUTE 503 173. BEISPIELE UND UEBUNGSAUFGABEN 506 XII INHALTSVERZEICHNIS EINHUELLENDE EBENER KURVENSCHAREN NR. SEITE 174. BEISPIELE 513 175. EINHUELLENDE EINER EINFACH-UNENDLICHEN EBENEN KURVENSCHAR 519 176. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DAS VORHANDENSEIN EINER EINHUELLENDEN . . . 519 177. SCHNITTPUNKTE BENACHBARTER KURVEN EINER SCHAR 525 ELFTER ABSCHNITT ZAHLENFOLGEN MIT KOMPLEXEN GLIEDERN UND FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 178. VORBEMERKUNGEN 529 ZAHLENFOLGEN UND UNENDLICHE REIHEN MIT KOMPLEXEN GLIEDERN 179. ZAHLENFOLGEN MIT KOMPLEXEN GLIEDERN 530 180. PUNKTMENGEN IN DER EBENE DER KOMPLEXEN ZAHLEN. GEBIETE UND WEGE . . 534 181. UNENDLICHE REIHEN UND PRODUKTE MIT KOMPLEXEN GLIEDERN 536 182. POTENZREIHEN, KONVERGENZKREIS 539 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 183. FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 539 184. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 541 185. STETIGKEIT 543 186. DURCH POTENZREIHEN DARGESTELLTE FUNKTIONEN 543 187. REIHEN MIT VERAENDERLICHEN GLIEDERN (FUNKTIONENFOLGEN) 544 DIE ELEMENTAREN ANALYTISCHEN FUNKTIONEN 188. POLYNOME. FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 545 189. PRODUKTDARSTELLUNG DER GANZEN RATIONALEN FUNKTIONEN 550 190. RATIONALE FUNKTIONEN. TEILBRUCHZERLEGUNG 553 191. DIE EXPONENTIALFUNKTION 557 192. DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 560 193. DIE HYPERBELFUNKTIONEN 565 194. DIE LOGARITHMUSFUNKTION 566 195. DIE ALLGEMEINE POTENZ 568 196. DIE ZYKLOMETRISCHEN UND DIE AREA-FUNKTIONEN 571 ZWOELFTER ABSCHNITT ANALYTISCHE FUNKTIONEN UND KONFORME ABBILDUNG GRUNDREGELN DER DIFFERENTIALRECHNUNG FUER FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 197. BEGRIFF DER DIFFERENZIERBARKEIT. ANALYTISCHE FUNKTIONEN 574 198. DIE CAUCHY-RIEMANNSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 577 199. DIE LAPLACESCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 578 200. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DIE DIFFERENZIERBARKEIT 580 XIII INHALTSVERZEICHNIS NR. SEITE 20I. GRUNDREGELN DER DISSERENTIALRECHNUNG 581 202. DIFIERENTIATION INVERSER FUNKTIONEN 583 203. DIFIERENTIATION DES LOGARITHMUS, DER ZYKLOMETRISCHEN UND DER AREA-FUNK- TIONEN 585 KONFORME ABBILDUNG 204. ABBILDUNG DURCH REGULAERE FUNKTIONEN. KONFORME ABBILDUNG 588 205. BEISPIELE 591 206. ABBILDUNG DURCH GANZE LINEARE FUNKTIONEN 597 207. DIE ABBILDUNG DURCH W = ILZ. REZIPROKE RADIEN 599 208. DER PUNKT 00 (UNENDLICH) 603 209. SPIEGELUNG AN EINEM BELIEBIGEN KREISE 604 210. REZIPROKE RADIEN IM RAEUME 605 211. STEREOGRAPHISCHE PROJEKTION. DIE RIEMANNSCHE ZAHLENKUGEL 608 212. ABBILDUNG DURCH BELIEBIGE LINEARE FUNKTIONEN. FIXPUNKTE. DOPPELVERHAELTNISSE 611 NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS ZUM ZWEITEN BANDE 616 XIV V. MANGOLDT * KNOPP HOEHERE MATHEMATIK EINE EINFUEHRUNG FUER STUDIERENDE UND ZUM SELBSTSTUDIUM ZWEITER BAND DIFFERENTIALRECHNUNG * UNENDLICHE REIHEN ELEMENTE DER DIFFERENTIALGEOMETRIE UND DER FUNKTIONENTHEORIE 16. AUFLAGE MIT 115 ABBILDUNGEN S. HIRZEL WISSENSCHAFTLICHE VERLAGSGESELLSCHAFT STUTTGART 1990 INHALTSVERZEICHNIS ERSTER ABSCHNITT GRUNDREGELN DER DIFFERENTIALRECHNUNG FUER FUNKTIONEN EINER VERAENDERLICHEN BEGRIFF UND BEDEUTUNG EINES DIFFERENTIALQUOTIENTEN NR. SEITE I. EINLEITENDE BETRACHTUNGEN I 2. DIFFERENTIALRECHNUNG UND INTEGRALRECHNUNG 9 3. DIFFERENZIERBARKEIT N 4. EINSEITIGE UND UNENDLICHE ABLEITUNGEN 16 5. DIFFERENZIERBARKEIT IN EINEM INTERVALL 18 6. GEOMETRISCHE UND PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER ABLEITUNG 19 GRUNDREGELN DER DIFFERENTIALRECHNUNG 7. VORBEMERKUNGEN . 20 8. DIFFERENTIATIONEN EINER KONSTANTEN UND DER FUNKTION X 23 9. DIFFERENTIATION EINER SUMME 24 TO. DIFFERENTIATION EINES PRODUKTES 25 11. DIFFERENTIATION EINER POTENZ 27 12. DIFFERENTIATION EINES QUOTIENTEN 28 13 DIFFERENTIATION DER RATIONALEN FUNKTIONEN 29 14. DIFFERENTIATION DER EXPONENTIALFUNKTION 30 15. DIFFERENTIATION DER LOGARITHMEN. NATUERLICHE LOGARITHMEN 31 16. DIFFERENTIATION DER KREIS- UND HYPERBELFUNKTIONEN . 34 17 DIFFERENTIATION EINER MITTELBAREN FUNKTION 36 18. DIFFERENTIATION DER ALLGEMEINEN POTENZ UND DER WURZELN 41 19. DIFFERENTIATION EINER INVERSEN FUNKTION 45 20. DIFFERENTIATION DER ZYKLOMETRISCHEN UND DER AREA-FUNKTIONEN 48 21. DIFFERENZIERBARKEIT GESCHLOSSENER ANALYTISCHER AUSDRUECKE 53 22. STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT 56 23. GRUENDE FUER DIE UNZULAENGLICHKEIT DER ANSCHAUUNG UND FUER DIE BEVORZUGUNG DIFFE- RENZIERBARER FUNKTIONEN 60 24. VERMISCHTE UEBUNGSAUFGABEN 63 VII INHALTSVERZEICHNIS ZWEITER ABSCHNITT DIFFERENTIALE. MITTELWERTSATZ. TAYLORSCHER SATZ DIFFERENTIALE. MITTELWERTSATZ NR. SEITE 25. DAS DIFFERENTIAL EINER FUNKTION F(X) 67 26. VORTEILE DER DIFFERENTIELLEN SCHREIBWEISE 70 27. DIE BEDEUTUNG DES VORZEICHENS DER ABLEITUNG 72 28. DER SATZ VON ROLLE 74 29. DER MITTELWERTSATZ DER DIFFERENTIALRECHNUNG 76 30. EINFACHSTE ANWENDUNGEN DES MITTELWERTSATZES 78 31. ERWEITERUNG DES MITTELWERTSATZES 80 ABLEITUNGEN UND DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG 32. DIE ABLEITUNG F (X) ALS FUNKTION VON X 81 33. ABLEITUNGEN ZWEITER UND HOEHERER ORDNUNG 83 34. PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER ZWEITEN ABLEITUNG 84 35. DIE HOEHEREN ABLEITUNGEN DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 86 36. DIE HOEHEREN ABLEITUNGEN EINER SUMME UND EINES PRODUKTES 89 37. DIE HOEHEREN ABLEITUNGEN EINER MITTELBAREN FUNKTION 90 38. HOEHERE DIFFERENZEN 9 1 39. DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG 94 40. GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DER ZWEITEN ABLEITUNG. KONVEXITAET UND KONKAVITAET 96 41. ERMITTLUNG DER GESTALT DES GEOMETRISCHEN BILDES EINER FUNKTION 101 42. NEWTONS NAEHERUNGSVERFAHREN ZUR AUFLOESUNG EINER GLEICHUNG UND DIE REGULA FALSI 104 DER TAYLORSCHE SATZ 43. ENTWICKLUNG EINER GANZEN RATIONALEN FUNKTION NACH POTENZEN EINES ZUWACHSES IHRES ARGUMENTES 110 44. DIE SAETZE VON TAYLOR UND MACLAURIN IN 45. BEWEIS DER SAETZE VON TAYLOR UND MACLAURIN . 114 ENTWICKLUNG DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 46. BEDEUTUNG DES TAYLORSCHEN SATZES 116 47. DARSTELLUNG DER EXPONENTIALFUNKTION 118 48. BERECHNUNG DER EXPONENTIALFUNKTION, INSBESONDERE DER ZAHLE 118 49. IRRATIONALITAET VON E 122 50. ENTWICKLUNG DER FUNKTIONEN SIN- UND COS# 123 51. ENTWICKLUNG DER LOGARITHMUSFUNKTION * 125 52. BERECHNUNG DER LOGARITHMEN 127 53. ALLGEMEINE EXPONENTIALFUNKTION UND ALLGEMEINE POTENZ 132 54. ERWEITERUNG DES BINOMIALLEHRSATZES 133 55. ENTWICKLUNG DER FUNKTION ARCTG* 137 56. BERECHNUNG DER ZAHL N 139 57. ENTWICKLUNG DER FUNKTION ARESIN ; I4 2 VIII INHALTSVERZEICHNIS DRITTER ABSCHNITT MINIMA UND MAXIMA. GRENZWERTE MINIMA UND MAXIMA NR. SEITE 58. BEGRIFF EINES MINIMUMS ODER MAXIMUMS 144 59. BEDINGUNGEN FUER DAS AUF TRETEN EINES MINIMUMS ODER MAXIMUMS 145 60. BEISPIELE 15 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN 61. ALLGEMEINE BEMERKUNGEN UEBER DIE BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN 164 62. ERSTE GRUNDAUFGABE: BESTIMMUNG DES GRENZWERTES EINES BRUCHES, DESSEN ZAEHLER UND NENNER BEIDE GEGEN NULL STREBEN 169 63. ZWEITE GRUNDAUFGABE: BESTIMMUNG DES GRENZWERTES EINES BRUCHES, DESSEN NENNER GEGEN +ODER 00 STREBT 174 64. ZURUECKFUEHRUNG ANDERER AUFGABEN AUF DIE GRUNDAUFGABEN 178 65. ZUSAETZE 180 UNENDLICH KLEIN, UNENDLICH GROSS 66. UNENDLICH KLEIN WERDENDE FUNKTIONEN 183 67. VON VERSCHIEDENER ORDNUNG UNENDLICH KLEIN WERDENDE FUNKTIONEN 184 68. VON VERSCHIEDENER ORDNUNG UNENDLICH GROSS WERDENDE FUNKTIONEN 187 69. * UND * 189 VIERTER ABSCHNITT UNENDLICHE REIHEN 70. VORBEMERKUNGEN 194 71. UNENDLICHE REIHEN 195 72. KONVERGENZ UND DIVERGENZ 198 73. DIE TAYLORSCHE REIHE 201 REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN 74. DAS I. HAUPTKRITERIUM 204 75. DIE BEIDEN VERGLEICHSKRITERIEN 207 76. DAS WURZEL- UND DAS QUOTIENTENKRITERIUM 211 REIHEN MIT BELIEBIGEN GLIEDERN 77. DAS II. HAUPTKRITERIUM 214 78. DAS RECHNEN MIT KONVERGENTEN REIHEN 216 79. ABSOLUTE KONVERGENZ 221 80. BEDINGTE UND UNBEDINGTE KONVERGENZ 224 81. DER GROSSE UMORDNUNGSSATZ 228 82. MULTIPLIKATION UNENDLICHER REIHEN 233 83. DAS ABELSCHE KONVERGENZKRITERIUM 237 IX INHALTSVERZEICHNIS POTENZREIHEN NR. SEITE 84. KONVERGENZRADIUS EINER POTENZREIHE 239 85. IDENTITAETSSATZ FUER POTENZREIHEN 242 86. TRANSFORMATION AUF EINEN NEUEN MITTELPUNKT. STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT 246 87. DIE TAYLORSCHEN REIHEN 249 88. DER ABELSCHE GRENZWERTSATZ 250 89. DAS RECHNEN MIT POTENZREIHEN 253 90. EINSETZEN EINER POTENZREIHE IN EINE ANDERE 256 91. BEMERKUNGEN UND BEISPIELE 259 92. DIVISION DURCH EINE POTENZREIHE 261 93. DIE BERNOUILLISCHEN ZAHLEN 264 94. UEBUNGSAUFGABEN 266 FUNKTIONENFOLGEN. REIHEN MIT VERAENDERLICHEN GLIEDERN 95. ERKLAERUNGEN 266 96. GLEICHMAESSIGE UND UNGLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 269 97. GLIEDWEISE GRENZUEBERGAENGE 273 98. KRITERIEN FUER GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 277 99. ANWENDUNGEN UND BEISPIELE 279 IOO. BEISPIEL EINER DURCHWEG STETIGEN, NIRGENDS DIFFERENZIERBAREN FUNKTION . . . 280 UNENDLICHE PRODUKTE 101. UNENDLICHE PRODUKTE 283 102. UNENDLICHE PRODUKTE MIT POSITIVEN GLIEDERN 285 103. PRODUKTE MIT BELIEBIGEN GLIEDERN. ABSOLUTE KONVERGENZ 287 104. NICHT-ABSOLUTE KONVERGENZ 289 FUENFTER ABSCHNITT GRENZWERTE UND STETIGKEIT DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN PUNKTMENGEN IN MEHRDIMENSIONALEN RAEUMEN 105. MEHRDIMENSIONALE RAEUME 291 106. ABSTAND. DREIECKSUNGLEICHUNG. INTERVALLE. KUGELN. UMGEBUNGEN 293 107. GERADEN. POLYGONZUEGE. KURVEN. VEKTOREN 296 108. KOORDINATENTRANSFORMATION 298 109. PUNKTMENGEN IN -DIMENSIONALEN RAEUMEN 300 NO. HAEUFUNGSPUNKTE 301 IN. PUNKTFOLGEN. KONVERGENZ 303 112. WEITERE ERKLAERUNGEN UND SAETZE 304 113. GEBIETE, KONTINUA 305 FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 114. FESTE UND VERAENDERLICHE STELLEN. FUNKTIONEN 307 115. GEOMETRISCHE DARSTELLUNG EINER FUNKTION VON MEHREREN VERAENDERLICHEN . . 309 116. GRENZWERTE 311 117. STETIGKEIT 312 X INHALTSVERZEICHNIS NR. SEITE- NS. STETIGKEIT EINER MITTELBAREN FUNKTION 315 119. SAETZE UEBER FUNKTIONEN, DIE IN EINEM ABGESCHLOSSENEN BEREICHE STETIG SIND. . 318 SECHSTER ABSCHNITT AUSDEHNUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG AUF FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN PARTIELLE ABLEITUNGEN 120. PARTIELLE ABLEITUNGEN ERSTER ORDNUNG 321 121. PARTIELLE ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG 326 122. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DIE GUELTIGKEIT DER GLEICHUNG F XV F VX . . . 329 123. UNABHAENGIGKEIT PARTIELLER ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG VON DER REIHENFOLGE DER DIFFERENTIATIONEN 334 124. VOLLSTAENDIGE DIFFERENZIERBARKEIT UND VOLLSTAENDIGE DIFFERENTIALE 335 125. RICHTUNGSABLEITUNG. GRADIENT 342 126. AUSDEHNUNG DER REGEL FUER DIE DIFFERENTIATION EINER MITTELBAREN FUNKTION . . 343 127. AUSDEHNUNG DES MITTELWERTSATZES 348 128. AUSDEHNUNG DES TAYLORSCHEN SATZES 350 129. HARMONISCHE FUNKTIONEN 353 SIEBENTER ABSCHNITT UNENTWICKELTE FUNKTIONEN MINIMA UND MAXIMA DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN UNENTWICKELTE FUNKTIONEN 130. GLEICHUNGEN ZWISCHEN MEHREREN VERAENDERLICHEN 358 131. UNENTWICKELTE ODER IMPLIZITE FUNKTIONEN 359 132. HOEHERE ABLEITUNGEN EINER UNENTWICKELTEN FUNKTION 367 133. UNENTWICKELTE FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 370 134. SYSTEME UNENTWICKELTER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN . . . . 374 135. ABBILDUNG EBENER BEREICHE 378 136. INVERSE ABBILDUNGEN 382 MINIMA UND MAXIMA DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 137. MINIMA UND MAXIMA DER FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN . . . . 386 138. BEISPIELE 392 139. MINIMA UND MAXIMA MIT NEBENBEDINGUNGEN 394 ACHTER ABSCHNITT DIE BEGRIFFE KURVE UND FLAECHE 140. NOTWENDIGKEIT EINER GENAUEN ERKLAERUNG 398 141. STETIGE KURVEN 398 142. BEISPIELE 400 XI INHALTSVERZEICHNIS NR. SEITE 143. BEISPIEL EINER PEANOKURVE 406 144. JORDANSCHE KURVENSTUECKE 410 145. DIE V. KOCHSCHE KURVE 412 146. REKTIFIZIERBARE KURVEN. WEGE 415 147. GLATTE KURVEN 416 148. STETIG GEKRUEMMTE UND ANALYTISCHE KURVENSTUECKE 417 149. PARAMETERDARSTELLUNG EINES KURVENSTUECKS 418 150. DARSTELLUNG EINES EBENEN KURVENSTUECKS DURCH EINE GLEICHUNG. IMPLIZITE UND EXPLIZITE DARSTELLUNG 420 151. DARSTELLUNG EINES RAEUMLICHEN KURVENSTUECKS DURCH ZWEI GLEICHUNGEN. . . . 424 152. DARSTELLUNG EINES KURVENSTUECKS IN POLARKOORDINATEN 425 153. DER BEGRIFF FLAECHE 426 154. DARSTELLUNG EINES FLAECHENSTUECKS DURCH EINE EINZIGE GLEICHUNG 430 NEUNTER ABSCHNITT KURVEN UND FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG KURVEN ZWEITER ORDNUNG 155. GLEICHWERTIGKEIT ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN 433 156. PARABEL, ELLIPSE, HYPERBEL 434 157. AUSARTUNGEN 444 158. ZURUECKFUEHRUNG DER GLEICHUNG ZWEITEN GRADES AUF MOEGLICHST EINFACHE FORMEN 444 159. ZUSAMMENFASSUNG 450 FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 160. DIE HAUPTACHSENTRANSFORMATION 457 161. UEBERSICHT UEBER DIE FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 461 ZEHNTER ABSCHNITT ELEMENTE DER DIFFERENTIALGEOMETRIE TANGENTEN UND NORMALEN 162. TANGENTE, NORMALE UND NORMALEBENE 471 163. GLEICHUNGEN VON TANGENTE, NORMALE UND NORMALEBENE 473 164. RICHTUNGSKOSINUS DER TANGENTE EINER EBENEN KURVE 475 165. RICHTUNGSKOSINUS DER TANGENTE EINER RAEUMLICHEN KURVE 478 166. BEISPIELE UND UEBUNGSAUFGABEN 480 167. TANGENTENEBENE EINES FLAECHENSTUECKS 487 KRUEMMUNG EBENER KURVENSTUECKE 168. KRUEMMUNGSMITTELPUNKT ALS GRENZLAGE DES SCHNITTPUNKTES ZWEIER NORMALEN 491 169. KRUEMMUNGSKREIS ALS GRENZLAGE EINES KREISES DURCH DREI PUNKTE 495 170. KRUEMMUNG EINES DURCH EINE EINZIGE GLEICHUNG GEGEBENEN KURVENSTUECKS . . 499 171. ART DER BERUEHRUNG VON KURVE UND KRUEMMUNGSKREIS 501 172. EVOLUTE 503 173. BEISPIELE UND UEBUNGSAUFGABEN 506 XII INHALTSVERZEICHNIS EINHUELLENDE EBENER KURVENSCHAREN NR. SEITE 174. BEISPIELE 513 175. EINHUELLENDE EINER EINFACH-UNENDLICHEN EBENEN KURVENSCHAR 519 176. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DAS VORHANDENSEIN EINER EINHUELLENDEN . . . 519 177. SCHNITTPUNKTE BENACHBARTER KURVEN EINER SCHAR 525 ELFTER ABSCHNITT ZAHLENFOLGEN MIT KOMPLEXEN GLIEDERN UND FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 178. VORBEMERKUNGEN 529 ZAHLENFOLGEN UND UNENDLICHE REIHEN MIT KOMPLEXEN GLIEDERN 179. ZAHLENFOLGEN MIT KOMPLEXEN GLIEDERN 530 180. PUNKTMENGEN IN DER EBENE DER KOMPLEXEN ZAHLEN. GEBIETE UND WEGE . . 534 181. UNENDLICHE REIHEN UND PRODUKTE MIT KOMPLEXEN GLIEDERN 536 182. POTENZREIHEN, KONVERGENZKREIS 539 FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 183. FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 539 184. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 541 185. STETIGKEIT 543 186. DURCH POTENZREIHEN DARGESTELLTE FUNKTIONEN 543 187. REIHEN MIT VERAENDERLICHEN GLIEDERN (FUNKTIONENFOLGEN) 544 DIE ELEMENTAREN ANALYTISCHEN FUNKTIONEN 188. POLYNOME. FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 545 189. PRODUKTDARSTELLUNG DER GANZEN RATIONALEN FUNKTIONEN 550 190. RATIONALE FUNKTIONEN. TEILBRUCHZERLEGUNG 553 191. DIE EXPONENTIALFUNKTION 557 192. DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 560 193. DIE HYPERBELFUNKTIONEN 565 194. DIE LOGARITHMUSFUNKTION 566 195. DIE ALLGEMEINE POTENZ 568 196. DIE ZYKLOMETRISCHEN UND DIE AREA-FUNKTIONEN 571 ZWOELFTER ABSCHNITT ANALYTISCHE FUNKTIONEN UND KONFORME ABBILDUNG GRUNDREGELN DER DIFFERENTIALRECHNUNG FUER FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN 197. BEGRIFF DER DIFFERENZIERBARKEIT. ANALYTISCHE FUNKTIONEN 574 198. DIE CAUCHY-RIEMANNSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 577 199. DIE LAPLACESCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 578 200. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DIE DIFFERENZIERBARKEIT 580 XIII INHALTSVERZEICHNIS NR. SEITE 20I. GRUNDREGELN DER DISSERENTIALRECHNUNG 581 202. DIFIERENTIATION INVERSER FUNKTIONEN 583 203. DIFIERENTIATION DES LOGARITHMUS, DER ZYKLOMETRISCHEN UND DER AREA-FUNK- TIONEN 585 KONFORME ABBILDUNG 204. ABBILDUNG DURCH REGULAERE FUNKTIONEN. KONFORME ABBILDUNG 588 205. BEISPIELE 591 206. ABBILDUNG DURCH GANZE LINEARE FUNKTIONEN 597 207. DIE ABBILDUNG DURCH W = ILZ. REZIPROKE RADIEN 599 208. DER PUNKT 00 (UNENDLICH) 603 209. SPIEGELUNG AN EINEM BELIEBIGEN KREISE 604 210. REZIPROKE RADIEN IM RAEUME 605 211. STEREOGRAPHISCHE PROJEKTION. DIE RIEMANNSCHE ZAHLENKUGEL 608 212. ABBILDUNG DURCH BELIEBIGE LINEARE FUNKTIONEN. FIXPUNKTE. DOPPELVERHAELTNISSE 611 NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS ZUM ZWEITEN BANDE 616 XIV
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