Verfügbarkeit: Höhere Mathematik | Technische Universität München

Höhere Mathematik: eine Einführung für Studierende und zum Selbststudium 1 Zahlen, Funktionen, Grenzwerte, analytische Geometrie, Algebra, Mengenlehre

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Bibliographische Detailangaben
Beteiligte Personen:	Mangoldt, Hans von 1854-1925 (VerfasserIn), Knopp, Konrad 1882-1957 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Stuttgart Hirzel 1990
Ausgabe:	17. Aufl.
Links:	http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=001698633&sequence=000002&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=001698633&sequence=000003&line_number=0002&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA
Umfang:	XVI, 563 S. graph. Darst.
ISBN:	3777604615

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS Erster Abschnitt Kombinatorik. Gruppen i. Aufgaben der Kombinatorik...................... 5 2- Erklärungen............................. 6 Permutationen 3. Erste Grundaufgabe. Anzahl der Permutationen voneinander verschiedener Elemente.............................. 7 4. Das Induktionsgeset7 (Schluß von и auf (n + 1)).............. 9 5. Erklärung des Zeichens n!....................... її 6. Lexikographische Anordnung...................... 12 7. Transpositionen und Inversionen.................... 13 8. Gerade und ungerade Permutationen.................. 15 9. Zweite Grundaufgabe. Anzahl der Per mutationen von Elementen, die nicht alle verschieden sind ........................ 16 ro. Übungsaufgaben............................ 17 11. Permutationen als Umordnungen oder Substitutionen........... 18 12. Zusammensetzung oder Produkt von Permutationen........... 19 13. Inverse Umordnungen......................... 21 14. Gruppen............................... 22 Kombinationen 15. Erklärungen............................. 25 16. Dritte Grundaufgabe. Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung ... 26 17. Erklärung des Zeichens ( )...................... 28 18. Eigenschaften des Zeichens [ .................... 29 19. Der Binomiallehrsatz ......................... 32 20. Anwendungen............................. 34 21. Der Polynomiallehrsatz......................... 34 22. Kombinationen mit Wiederholung.................... 36 23. Vierte Grundaufgabe. Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung..... 36 24. Übungsaufgaben............................ 39 Zweiter Abschnitt Determinanten 25. Bedeutung der Determinanten..............>...... 40 26. Vorläufiges über Determinanten, Matrizen und Vektoren.......... 41 27. Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten.............. 45 IX Inhaltsverzeichnis 28. Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.............. 46 29. Zwei homogene lineare Gleichungen mit drei Unbekannten......... 50 30. Determinanten dritten Grades...................... 53 31. Adjunkten.............................. 57 32. Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten.............. 58 33. Determinanten beliebigen Grades............. ...... 63 34. Vertauschungssatz und Nullsatz..................... 68 35. Gleichungen zwischen den Elementen und Adjunkten........... 69 36. Einfache Umformungen von Determinanten................ 71 37. Beispiele für die Berechnung einer Determinante............. 73 38. Das Differenzenprodukt von л gegebenen Zahlen............. 75 39. System von « linearen Gleichungen mit η Unbekannten.......... 76 40. Anwendungen............................. З3 41. System von m linearen Gleichungen mit η Unbekannten.......... 85 42. Homogene lineare Gleichungen..................... 86 43. Vektoren. Inneres Produkt...................... З9 44. Lineare Gleichungen in vektorieller Schreibweise. Erste Art......... 90 45. Lineare Abhängigkeit von Vektoren. Zweite vektorielle Schreibweise linearer Gleichungen............................. 91 46- Multiplikation zweier Determinanten................... 92 47. Andere Darstellungen des Produktes................... 95 48. Determinante des Systems der Adjunkten................ 96 49. Produkte von Matrizen......................... 97 Dritter Abschnitt Das System der rationalen Zahlen Die Grundgesetze der Arithmetik 50. Die Grundlagen der Analysis. Vorbemerkungen.............. 100 51. Die natürlichen und die ganzen Zahlen.................. 102 52. Die rationalen Zahlen......................... 105 53. Die Grundgesetze der Arithmetik.................... 106 I. Grundgesetze der Gleichheit und der Anordnung ........... 106 II. Grundgesetze der Addition..................... 107 III. Grundgesetz der Subtraktion.................... 108 IV. Grundgesetze der Multiplikation................... 109 V. Grundgesetz der Division...................... 110 VI. Archimedisches Grundgesetz..................... ш Abgeleitete Rechenregeln 54. Unabhängigkeit und Widerspruchsfreiheit der Axiome........... 113 55. Vorzeichen- und Klammerregeln .................... 114 56. Summen und Produkte mit beliebig vielen Gliedern............ 116 57. Ungleichungen und Beträge....................... 119 58. Beispiele für das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen ........ 122 59. Abbildung der rationalen Zahlen auf Punkte einer orientierten Geraden. Inter¬ valle ................................ 13x 60. Direkte und indirekte Beweise. Besonderheiten der mathematischen Ausdrucks¬ weise................................ 133 X Inhaltsverzeichnis Teilbarkeitseigenschatten der ganzen Zahlen 61. Teilbarkeit.............................. 136 62. Größter gemeinsamer Teiler......u............... 138 63. Die kanonische Darstellung der ganzen Zahlen als Produkt von Primzahlpotenzen 142 64. Endliche regelmäßige Kettenbrüche................... 144 65 Näherungsbrüche........................... 147 66. Beispiele............................... 149 Zahlenfolgen 67. Zahlenfolgen............................. 150 68. Arithmetische und geometrische Folgen................. 154 69. Grundbegriffe der Difíerenzenrechrfung. Übungsaufgabe ........... 156 70. Arithmetische Folgen höherer Ordnung.................. 159 71. Summenformeln............................ 160 Nullfolgen 72. Nullfolgen.............................. 161 73. Beispiele von Nullfolgen........................ 163 74. Bemerkungen über Nullfolgen...................... 167 75. Einfache Sätze über Nullfolgen.................... 169 Vierter Abschnitt Das System der reellen Zahlen Die irrationalen Zahlen 76. Unvollkommenheit des Systems der rationalen Zahlen........... 171 77. Das Cantorsche Axiom.......................... 174 78. Die irrationalen Zahlen......................... 176 Das System der reellen Zahlen 79. Die Grundgesetze der Gleichheit und der Anordnung............ 179 80. Grundgesetze der Addition....................... 181 81. Grundgesetz der Subtraktion...................... Љг 82. Grundgesetze der Multiplikation und Division.............. 182 83. Das Archimedische Grundgesetz..................... 184 84. Die reellen Zahlen ........................... 184 85. Abbildung der reellen Zahlen auf die Punkte der Zahlengeraden. Abszissen . . . 186 86. Abgeleitete Regeln. Zusammenfassung.................. 187 87. Dezimalbrüche............................ 188 88. Der Dedekindsche Schnitt....................... 190 89. Rückblick auf die Abschnitte I, II und III ................ 193 90. Unendliche regelmäßige Kettenbrüche.................. 193 91. Beliebige Zahlenfolgen, Nullfolgen und Intervallschachtelungen....... 195 92. Erweiterung des Systems der reellen Zahlen................ 196 Fünfter Abschnitt Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 93. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten................. 198 94. Wurzeln............................... 199 95. Potenzen mit rationalen Exponenten .................. 201 96. Abhängigkeit einer Potenz vom Exponenten.............. . 203 97. Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten ............... 205 98. Logarithmen............................. 207 XI Inhaltsverzeichnis Sechster Abschnitt Grundbegriffe der analytischen Geometrie Grundlagen der Geometrie 99. Grundlagen der Geometrie. Vorbemerkungen .............. год 100. Die Axiome der Verknüpfung (I) .................... 211 101. Die Axiome der Anordnung (II) .................... 212 102. Die Axiome der Kongruenz (III) .................... 213 103. Die Axiome der Stetigkeit (IV) ..................... 215 104. Das Parallelenaxiom (V) ....................... 217 105. Winkel und Winkelmessung...................... 217 106. Erweiterung des Winkelbegrifis .................... 220 Koordinatensysteme 107. Das Wesen der analytischen Geometrie................. 222 108. Rechtwinklige und schiefwinklige ebene Koordinatensysteme........ 224 109. Ebene Polarkoordinaten........................ 226 110. Das rechtwinklige räumliche Koordinatensystem............. 227 in. Schiefwinklige räumliche Koordinatensysteme.............. 230 112. Zylinder- und räumliche Polarkoordinaten................ 230 Erklärungen und Sätze, die für Ebene und Raum gemeinsam gelten 113. Mittel zur Vermeidung von Fallunterscheidungen............. 233 114. Projektionen von Strecken....................... 236 115. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen............... 238 116. Komponenten und Koordinaten einer Strecke.............. 241 117. Vektoren.............................. 242 118. Abstand zweier Punkte und die Dreiecksungleichung........... 244 119. Abstandsverhältnis.......................... 246 Grundaufgaben der analytischen Geometrie der Ebene 120. Richtungskosinus in der Ebene..................... 250 121. Sätze über Richtungskosinus in der Ebene................ 251 122. Steigung einer Geraden........................ 251 123. Projektion des Leitstrahls eines Punktes................. 255 124. Winkel zwischen zwei Strahlen. Additionstheorem der Kreisfunktionen . . . 256 125. Bedingung des Senkrechtstehens.................... 257 126. Bedingung des Parallelseins . . . . ■.................. 258 127. Dreiecksinbalt............................ 258 128. Formel für den Inhalt eines Dreiecks.................. 259 129. Koordinatenverwandlung in der Ebene bei Änderung der Achsenrichtungen . . 260 Grundaufgaben der analytischen Geometrie des Raumes 130. Richtungskosinus im Räume...................... 263 131. Sätze über Richtungskosinus im Räume................. 264 132. Ausdrücke der Richtungskosinus durch geographische Länge und Breite . . . . 266 133. Projektion des Leitstrahles eines Punktes auf einen Strahl im Räume .... 267 134. Winkel zwischen zwei Strahlen im Räume................ 269 135. Bedingung des Senkrechtstehens.................... 270 136. Bedingung des Parallelseins...................... 271 137. Skalares Produkt........................... 272 138. Positive Normalenrichtung einer Ebene................. 273 139. Zuordnung von positivem Drehungssinn und positiver Normale ...... 273 140. Positiver Windungssinn im Räume.................... 274 XII I nhaltsverzeicbnis 141. Projektion eines Dreiecks....................... 276 142. Projektionen eines Dreiecks auf die Koordinatenebenen. Dreiecksinhalt im Räume.............................. 278 143. Gemeinsames Lot zweier Richtungen.................. 278 144. Vektorprodukt............................. 280 145. Rauminhalt eines Tetraeders...................... 281 146. Ausdruck des Rauminhaltes .eines Tetraeders durch die Koordinaten der Ecken .............................. 282 147. Koordinatenverwandlung im Räume bei Änderung der Achsenrichtungen . . 284 148. Gleichzeitige Änderung des Anfangs und der Achsenrichtungen....... 287 149. Gleichungen zwischen den neun Richtungskosinus, welche die gegenseitige Lage zweier rechtwinkliger Achsenkreuze bestimmen............ 288 150. Beziehungen zwischen den eben entwickelten Gleichungen......... 291 151. Darstellung der Drehungen durch drei willkürlich wählbare Zahlen..... 293 Siebenter Abschnitt Das System der komplexen Zahlen Grundbegriffe 152. Geschichtliches............................ 300 153. Die komplexen Zahlen........................ 303 154. Gleichheit und Ungleichheit...................... 305 155. Addition und Subtraktion....................... 307 156. Multiplikation............................ 308 157. Division............................... 310 158. Zusammenfassung. Abgeleitete Regeln.................. 311 159. Das System der komplexen Zahlen als Erweiterung des Systems der reellen Zahlen.............................. 3 160. Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten der komplexen Zahlen. — Bezeichnungen und geometrische Ausdrucksweise............ 33 ібі. Geometrische Veranschaulichung der vier Grundrechnungsarten...... 317 162. Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen.............. 319 163. Übungsaufgaben.......................... . . 322 164. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten................. 323 165. Anwendungen............................ 324 166. Wurzeln............................... 326 167. Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten............... Achter Abschnitt Veränderliche und Funktionen Feststellung der allgemeinen Begriffe 168. Beispiele von Funktionen....................... 329 169. Konstante und Veränderliche...................... 33° 170. Intervalle.............................. 333 171. Begriff einer Funktion......................... З36 172. Bezeichnung der Funktionen...................... 34° 173. Geometrisches Bild einer Funktion.................. 342 174. Funktionen von mehreren Veränderlichen ........... 343 XIII Inhaltsverzeichnis Erklärung einiger besonderer Arten топ Funktionen A. Rationale Funktionen, Polynome 175. Rationale Funktionen......................... 346 176. Ganze und gebrochene rationale Funktionen............... 347 177. Normalform eines Polynoms in e i n e r Veränderlichen........... 348 178. Hilfssatz aus der Algebra....................... 349 179. Eindeutigkeit der Normalform eines Polynoms in einer Veränderlichen ... 351 180. Grad eines Polynoms einer Veränderlichen............... 352 181. Algebraische Gleichungen mit einer Unbekannten ............ 355 182. Interpolationsformeln von Lagrange und Newton............. 355 183. Normalform der Polynome in mehreren Veränderlichen.......... 358 184. Gesamtgrad eines Polynoms in mehreren Veränderlichen . ......... 360 185. Teilbarkeit von Polynomen...................... 361 186. Größter gemeinsamer Teiler zweier Polynome.............. 363 187. Allgemeine Form der gebrochenen rationalen Funktionen......... 365 B. Algebraische Funktionen 188. Beispiele nicht rationaler Funktionen.................. 367 189. Algebraische Gleichungen zwischen mehreren Veränderlichen........ 368 190. Begriff einer algebraischen Funktion.................. 368 C. Transzendente Funktionen Γ91. Begriff der Transzendenz....................... 377 192. Exponentialfunktionen........................ 373 193. Umkehrung der Exponentialfunktion. Logarithmen............ 375 194. Potenzen mit irrationalen Exponenten................. 376 195. Trigonometrische oder Kreisfunktionen................. 376 196. Zyklometrische Funktionen...................... 379 197. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrung.............. 381 198. Geschlossene analytische Ausdrücke. Elementare Funktionen........ 382 199. Mittelbare Funktionen......................... 383 Geometrische Darstellung einer Funktion 200. Übereinstimmung des Bildes einer Funktion mit anderweitig bekannten Kurven.............................. 385 201. Konstruktion des geometrischen Bildes einer Funktion.......... 386 202. Beispiele geometrischer Bilder..................... 388 Neunter Abschnitt Gerade und Ebene 203. Parameterdarstellung einer Geraden in einer Ebene............ 391 204. Darstellung einer Geraden durch eine Gleichung............. 395 205. Bestimmtheit der Gleichung einer Geraden............... 397 206. Beispiele.............................. 399 207. Besondere Formen der Gleichung einer Geraden............. 400 208. Abstand eines Punktes von einer Geraden................ 406 209. Schnittpunkt zweier Geraden..................... 407 210. Winkel zwischen zwei Geraden..................... 408 211. Allgemeine Formen der Gleichung einer Geraden............. 410 XIV Inhaltsverzeichnis 212. Übungsaufgaben........................... 414 213. Affine Abbildung........................... 416 214. Parameterdarstellung einer Geraden im Räume............. 423 215. Parameterdarstellung einer Ebene im Räume............... 426 216. Darstellung einer Ebene durch eine Gleichung.............. 430 217. Bestimmtheit der Gleichung einer Ebene................. 432 г 18. Verbindungsebene dreier Punkte.................... 434 гід- Besondere Formen der Gleichung einer Ebene.............. 435 220. Abstand eines Punktes von einer Ebene................. 438 221. Bfidingungen für das Parallelsein und für das Schneiden zweier Ebenen . . . 439 222. Winkel zweier Ebenen......................... 440 223. Die Gerade als Schnittlinie zweier Ebenen................ 441 224. Schnittpunkt dreier Ebenen...................... 442 225. Bedingung, daß vier Ebenen einen Punkt gemein haben.......... 443 226. Allgemeine Formen der Gleichung einer Ebene.............. 444 227. Übungsaufgaben........................... 446 Zehnter Abschnitt Grenzwerte Grenzwerte von Zahlenfolgen 228. Zahlenfolgen. Nullfolgen........................ 449 229. Erklärungen und Sätze........................ 451 230. Spezielle Nullfolgen.......................... 454 231. Konvergente Zahlenfolgen....................... 457 232. Weitere Bemerkungen und Beispiele................... 459 233. Sätze über konvergente Zahlenfolgen.................. 462 234. Divergente Zahlenfolgen........................ 466 235. Weitere Beispiele konvergenter Zahlenfolgen............... 470 236. Die Zahl e .............................. 472 237. Die beiden Konvergenzprobleme..................... 475 238. Das erste Hauptkriterium (für monotone Folgen)............. 477 239. Das zweite Hauptkriterium (für beliebige Zahlenfolgen).......... 479 Grenzwerte von Funktionen 240. Vorbemerkungen und Beispiele..................... 483 241. Grenzwert einer Funktion von χ für χ —>. ± 00.............. 487 242. Zurückführung des Konvergenzverhaltens von Funktionen auf dasjenige von Zahlenfolgen............................ 489 243. Grenzwert einer Funktion bei Annäherung ihres Arguments an einen end¬ lichen Wert............................ 491 244. Grenzwert von-----— für χ —> о .................... 494 χ 245- Einseitige Grenzwerte......................... 495 246. Sätze über Grenzwerte........................ 497 247. Die uneigentlichen Grenzwerte + 00 und — 00.............. 500 248. Erstes Hauptkriterium (für monotone Funktionen)............ 501 249. Zweites Hauptkriterium (für beliebige Funktionen)............ 50z XV Inhaltsverzeichnis Elfter Abschnitt Zahlen- und Punktmengen 250. Der Begriff einer Menge........................ 503 251. Beispiele von Zahlen- und Punktmengen................. 505 252. Abzählbare und nicht abzählbare Mengen................ 507 253. Äquivalenz von Mengen........................ 509 254. Untere und obere Grenze....................... 511 255. Häufungspunkte und Häufungsgrenzen................. 515 256. Zahlenmengen und Zahlenfolgen.................... 519 257. Das III. Hauptkriterium für die Konvergenz von Zahlenfolgen....... 521 258. Häufungspunkte beliebiger Punktmengen................ 523 259. Punktfolgen. Konvergenz....................... 526 260. Weitere Erklärungen und Sätze.................... 528 Zwölfter Abschnitt . Stetigkeit 261. Stetigkeit und Unstetigkeit einer Funktion................ 531 262. Einseitige Stetigkeit. Stetigkeit in einem Intervall............. 536 263. Stetigkeit der einfachsten Funktionen.................. 536 264. Sätze über Funktionen, die in einem Intervall stetig sind......... 538 265. Stetigkeit einer mittelbaren Funktion.................. 542 266. Umkehrung einer monotonen und stetigen Funktion............ 343 267. Stetigkeit einer durch Umkehrung entstandenen Funktion......... 547 268. Stetigkeit der elementaren Funktionen................. 548 269. Darstellung unstetiger Funktionen................... 550 Namen- und Sachverzeichnis zum ersten Bande................ 555 Mathematische Zeichen Trigonometrische und hyperbolische Funktionen Sinus Kosinus Tangens Kotangens Arkussinus (Hauptwert) Arkuskosinus (Hauptwert) Arkustangens (Hauptwert) Arkuskotangens (Hauptwert) Sinus hyperbolicus Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus Kotangens hyperbolicus area-sinus hyperbolicus area-cosinus hyperbolicus area-tangens hyperbolicus area-cotangens hyperbolicus In KJnimnrrn Abkürzung nach TG L XVI sin (sin)* cos (cos) tg (tan) ctg (cot) aresin (Aresin) arceos (Arceos) arctg (Arctan) arectg (Arccot) ■g in (sinh) Gof (cosh) îfl (tanh) Œtfl (coth) 91 r 6in (arsinh) Яг Єоі (arcosh) Ят їб (artanh) ?ír CEre (arcoth) V. MANGOLDT * KNOPP HOEHERE MATHEMATIK EINE EINFUEHRUNG FUER STUDIERENDE UND ZUM SELBSTSTUDIUM ERSTER BAND ZAHLEN * FUNKTIONEN * GRENZWERTE ANALYTISCHE GEOMETRIE ALGEBRA * MENGENLEHRE 17. AUFLAGE MIT 116 ABBILDUNGEN S. HIRZEL WISSENSCHAFTLICHE VERLAGSGESELLSCHAFT STUTTGART 1990 INHALTSVERZEICHNIS ERSTER ABSCHNITT KOMBINATORIK. GRUPPEN I. AUFGABEN DER KOMBINATORIK 5 2. ERKLAERUNGEN 6 PERMUTATIONEN 3. ERSTE GRUNDAUFGABE. ANZAHL DER PERMUTATIONEN VONEINANDER VERSCHIEDENER ELEMENTE 7 4. DAS INDUKTIONSGESETZ (SCHLUSS VON N AUF (* + 1)) 9 5. ERKLAERUNG DES ZEICHENS N N 6. LEXIKOGRAPHISCHE ANORDNUNG 12 7. TRANSPOSITIONEN UND INVERSIONEN 13 8. GERADE UND UNGERADE PERMUTATIONEN 15 9. ZWEITE GRUNDAUFGABE. ANZAHL DER PERMUTATIONEN VON ELEMENTEN, DIE NICHT ALLE VERSCHIEDEN SIND 16 10. UEBUNGSAUFGABEN 17 11. PERMUTATIONEN ALS UMORDNUNGEN ODER SUBSTITUTIONEN 18 12. ZUSAMMENSETZUNG ODER PRODUKT VON PERMUTATIONEN 19 13. INVERSE UMORDNUNGEN 21 14. GRUPPEN 22 KOMBINATIONEN 15. ERKLAERUNGEN 25 16. DRITTE GRUNDAUFGABE. ANZAHL DER KOMBINATIONEN OHNE WIEDERHOLUNG . . . 26 17. ERKLAERUNG DES ZEICHENS J J 28 18. EIGENSCHAFTEN DES ZEICHENS ( ) 29 19. DER BINOMIALLEHRSATZ 32 20. ANWENDUNGEN 34 21. DER POLYNOMIALLEHRSATZ 34 22. KOMBINATIONEN MIT WIEDERHOLUNG 36 23. VIERTE GRUNDAUFGABE. ANZAHL DER KOMBINATIONEN MIT WIEDERHOLUNG 36 24. UEBUNGSAUFGABEN 39 ZWEITER ABSCHNITT DETERMINANTEN 25. BEDEUTUNG DER DETERMINANTEN 40 26. VORLAEUFIGES UEBER DETERMINANTEN, MATRIZEN UND VEKTOREN 41 27. EINE LINEARE GLEICHUNG MIT EINER UNBEKANNTEN 45 IX INHALTSVERZEICHNIS 28. ZWEI LINEARE GLEICHUNGEN MIT ZWEI UNBEKANNTEN 46 29. ZWEI HOMOGENE LINEARE GLEICHUNGEN MIT DREI UNBEKANNTEN 50 30. DETERMINANTEN DRITTEN GRADES 53 31. ADJUNKTEN 57 32. DREI LINEARE GLEICHUNGEN MIT DREI UNBEKANNTEN 58 33. DETERMINANTEN BELIEBIGEN GRADES 63 34. VERTAUSCHUNGSSATZ UND NULLSATZ 68 35. GLEICHUNGEN ZWISCHEN DEN ELEMENTEN UND ADJUNKTEN 69 36. EINFACHE UMFORMUNGEN VON DETERMINANTEN 71 37. BEISPIELE FUER DIE BERECHNUNG EINER DETERMINANTE 73 38. DAS DIFFERENZENPRODUKT VON * GEGEBENEN ZAHLEN 75 39. SYSTEM VON * LINEAREN GLEICHUNGEN MIT N UNBEKANNTEN 76 40. ANWENDUNGEN 3 41. SYSTEM VON M LINEAREN GLEICHUNGEN MIT UNBEKANNTEN 85 42. HOMOGENE LINEARE GLEICHUNGEN 86 43. VEKTOREN. INNERES PRODUKT 89 44. LINEARE GLEICHUNGEN IN VEKTORIELLER SCHREIBWEISE. ERSTE ART 90 45. LINEARE ABHAENGIGKEIT VON VEKTOREN. ZWEITE VEKTORIELLE SCHREIBWEISE LINEARER GLEICHUNGEN 91 46. MULTIPLIKATION ZWEIER DETERMINANTEN 92 47. ANDERE DARSTELLUNGEN DES PRODUKTES 95 48. DETERMINANTE DES SYSTEMS DER ADJUNKTEN 96 49. PRODUKTE VON MATRIZEN 97 DRITTER ABSCHNITT DAS SYSTEM DER RATIONALEN ZAHLEN DIE GRUNDGESETZE DER ARITHMETIK 50. DIE GRUNDLAGEN DER ANALYSIS. VORBEMERKUNGEN 100 51. DIE NATUERLICHEN UND DIE GANZEN ZAHLEN 102 52. DIE RATIONALEN ZAHLEN 105 53. DIE GRUNDGESETZE DER ARITHMETIK 106 I. GRUNDGESETZE DER GLEICHHEIT UND DER ANORDNUNG 106 II. GRUNDGESETZE DER ADDITION 107 III. GRUNDGESETZ DER SUBTRAKTION 108 IV. GRUNDGESETZE DER MULTIPLIKATION 109 V. GRUNDGESETZ DER DIVISION 110 VI. ARCHIMEDISCHES GRUNDGESETZ IN ABGELEITETE RECHENREGELN 54. UNABHAENGIGKEIT UND WIDERSPRUCHSFREIHEIT DER AXIOME 113 55. VORZEICHEN- UND KLAMMERREGELN 114 56. SUMMEN UND PRODUKTE MIT BELIEBIG VIELEN GLIEDERN 116 57. UNGLEICHUNGEN UND BETRAEGE 119 58. BEISPIELE FUER DAS RECHNEN MIT UNGLEICHUNGEN UND BETRAEGEN 122 59. ABBILDUNG DER RATIONALEN ZAHLEN AUF PUNKTE EINER ORIENTIERTEN GERADEN. INTER- VALLE 131 60. DIREKTE UND INDIREKTE BEWEISE. BESONDERHEITEN DER MATHEMATISCHEN AUSDRUCKS- WEISE 133 X INHALTSVERZEICHNIS TEILBARKEITSEIGENSCHATTEN DER GANZEN ZAHLEN 61. TEILBARKEIT 136 62. GROESSTER GEMEINSAMER TEILER 138 63. DIE KANONISCHE DARSTELLUNG DER GANZEN ZAHLEN ALS PRODUKT VON PRIMZAHLPOTENZEN 142 64. ENDLICHE REGELMAESSIGE KETTENBRUECHE 144 65. NAEHERUNGSBRUECHE 147 66. BEISPIELE - 149 ZAHLENFOLGEN 67. ZAHLENFOLGEN 150 68. ARITHMETISCHE UND GEOMETRISCHE FOLGEN 154 69. GRUNDBEGRIFFE DER DIFIERENZENRECHMING. UEBUNGSAUFGABE 156 70. ARITHMETISCHE FOLGEN HOEHERER ORDNUNG 159 71. SUMMENFORMELN 160 NULLFOLGEN 72. NULLFOLGEN 161 73. BEISPIELE VON NULLFOLGEN 163 74. BEMERKUNGEN UEBER NULLFOLGEN 167 75. EINFACHE SAETZE UEBER NULLFOLGEN 169 VIERTER ABSCHNITT DAS SYSTEM DER REELLEN ZAHLEN DIE IRRATIONALEN ZAHLEN 76. UNVOLLKOMMENHEIT DES SYSTEMS DER RATIONALEN ZAHLEN 171 77. DAS CANTORSCHE AXIOM 174 78. DIE IRRATIONALEN ZAHLEN . 176 DAS SYSTEM DER REELLEN ZAHLEN 79. DIE GRUNDGESETZE DER GLEICHHEIT UND DER ANORDNUNG 179 80. GRUNDGESETZE DER ADDITION 181 81. GRUNDGESETZ DER SUBTRAKTION »82 82. GRUNDGESETZE DER MULTIPLIKATION UND DIVISION 182 83. DAS ARCHIMEDISCHE GRUNDGESETZ 184 84. DIE REELLEN ZAHLEN 184 85. ABBILDUNG DER REELLEN ZAHLEN AUF DIE PUNKTE DER ZAHLENGERADEN. ABSZISSEN . . . 186 86. ABGELEITETE REGELN. ZUSAMMENFASSUNG 187 87. DEZIMALBRUECHE 188 88. DER DEDEKINDSCHE SCHNITT . . . 190 89. RUECKBLICK AUF DIE ABSCHNITTE I, II UND III 193 90. UNENDLICHE REGELMAESSIGE KETTENBRUECHE 193 91. BELIEBIGE ZAHLENFOLGEN, NULLFOLGEN UND INTERVALLSCHACHTELUNGEN 195 92. ERWEITERUNG DES SYSTEMS DER REELLEN ZAHLEN 196 FUENFTER ABSCHNITT POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 93. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN 198 94. WURZELN 199 95. POTENZEN MIT RATIONALEN EXPONENTEN 201 96. ABHAENGIGKEIT EINER POTENZ VOM EXPONENTEN 203 97. POTENZEN MIT BELIEBIGEN REELLEN EXPONENTEN 205 98. LOGARITHMEN 207 XI INHALTSVERZEICHNIS SECHSTER ABSCHNITT GRUNDBEGRIFFE DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE 99. GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE. VORBEMERKUNGEN 209 100. DIE AXIOME DER VERKNUEPFUNG (I) 211 101. DIE AXIOME DER ANORDNUNG (II) 212 *. DIE AXIOME DER KONGRUENZ (III) 213 103. DIE AXIOME DER STETIGKEIT (IV) 215 104. DAS PARALLELENAXIOM (V) 217 105. WINKEL UND WINKELMESSUNG 217 106. ERWEITERUNG DES WINKELBEGRIFFS 220 KOORDINATENSYSTEME 107. DAS WESEN DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE 222 108. RECHTWINKLIGE UND SCHIEFWINKLIGE EBENE KOORDINATENSYSTEME 224 109. EBENE POLARKOORDINATEN 226 110. DAS RECHTWINKLIGE RAEUMLICH E KOORDINATENSYSTEM 227 IN. SCHIEFWINKLIGE RAEUMLICHE KOORDINATENSYSTEME 230 112. ZYLINDER-UND RAEUMLICHE POLARKOORDINATEN 230 ERKLAERUNGEN UND SAETZE, DIE FUER EBENE UND RAUM GEMEINSAM GELTEN 113. MITTEL ZUR VERMEIDUNG VON FALLUNTERSCHEIDUNGEN 233 114. PROJEKTIONEN VON STRECKEN 236 115. PARALLELVERSCHIEBUNG DER KOORDINATENACHSEN 238 116. KOMPONENTEN UND KOORDINATEN EINER STRECKE 241 117. VEKTOREN 242 118. ABSTAND ZWEIER PUNKTE UND DIE DREIECKSUNGLEICHUNG 244 119. ABSTANDSVERHAELTNIS 246 GRUNDAUFGABEN DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE DER EBENE 120. RICHTUNGSKOSINUS IN DER EBENE 250 I2I. SAETZE UEBER RICHTUNGSKOSINUS IN DER EBENE 251 122. STEIGUNG EINER GERADEN 251 123. PROJEKTION DES LEITSTRAHLS EINES PUNKTES 255 124. WINKEL ZWISCHEN ZWEI STRAHLEN. ADDITIONSTHEOREM DER KREISFUNKTIONEN . . . 256 125. BEDINGUNG DES SENKRECHTSTEHENS 257 126. BEDINGUNG DES PARALLELSEINS . . . . 258 127. DREIECKSINHALT 258 128. FORMEL FUER DEN INHALT EINES DREIECKS 259 129. KOORDINATENVERWANDLUNG IN DER EBENE BEI AENDERUNG DER ACHSENRICHTUNGEN . . 260 GRUNDAUFGABEN DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE DES RAUMES 130. RICHTUNGSKOSINUS IM RAEUME 263 131. SAETZE UEBER RICHTUNGSKOSINUS IM RAEUME 264 132. AUSDRUECKE DER RICHTUNGSKOSINUS DURCH GEOGRAPHISCHE LAENGE UND BREITE . . . . 266 133. PROJEKTION DES LEITSTRAHLES EINES PUNKTES AUF EINEN STRAHL IM RAEUME . . . . 267 134. WINKEL ZWISCHEN ZWEI STRAHLEN IM RAEUME 269 135. BEDINGUNG DES SENKRECHTSTEHENS 270 136. BEDINGUNG DES PARALLELSEINS 271 137. SKALARES PRODUKT 272 138. POSITIVE NORMALENRICHTUNG EINER EBENE 273 139. ZUORDNUNG VON POSITIVEM DREHUNGSSINN UND POSITIVER NORMALE 273 140. POSITIVER WINDUNGSSINN IM RAEUME 274 XII INHALTSVERZEICHNIS 141. PROJEKTION EINES DREIECKS 276 142. PROJEKTIONEN EINES DREIECKS AUF DIE KOORDINATENEBENEN. DREIECKSINHALT IM RAEUME 278 143. GEMEINSAMES LOT ZWEIER RICHTUNGEN 278 144. VEKTORPRODUKT 280 145. RAUMINHALT EINES TETRAEDERS 281 146. AUSDRUCK DES RAUMINHALTES .EINES TETRAEDERS DURCH DIE KOORDINATEN DER ECKEN 282 147. KOORDINATENVERWANDLUNG IM RAEUME BEI AENDERUNG DER ACHSENRICHTUNGEN . . 284 148. GLEICHZEITIGE AENDERUNG DES ANFANGS UND DER ACHSENRICHTUNGEN 287 149. GLEICHUNGEN ZWISCHEN DEN NEUN RICHTUNGSKOSINUS, WELCHE DIE GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER RECHTWINKLIGER ACHSENKREUZE BESTIMMEN 288 150. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN EBEN ENTWICKELTEN GLEICHUNGEN 291 151. DARSTELLUNG DER DREHUNGEN DURCH DREI WILLKUERLICH WAEHLBARE ZAHLEN 293 SIEBENTER ABSCHNITT DAS SYSTEM DER KOMPLEXEN ZAHLEN GRUNDBEGRIFFE 152. GESCHICHTLICHES 300 153. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 303 154. GLEICHHEIT UND UNGLEICHHEIT 305 155. ADDITION UND SUBTRAKTION 307 156. MULTIPLIKATION 308 157. DIVISION 310 158. ZUSAMMENFASSUNG. ABGELEITETE REGELN 311 159. DAS SYSTEM DER KOMPLEXEN ZAHLEN ALS ERWEITERUNG DES SYSTEMS DER REELLEN ZAHLEN 311 160. KARTESISCHE KOORDINATEN UND POLARKOORDINATEN DER KOMPLEXEN ZAHLEN. * BEZEICHNUNGEN UND GEOMETRISCHE AUSDRUCKSWEISE 313 161. GEOMETRISCHE VERANSCHAULICHUNG DER VIER GRUNDRECHNUNGSARTEN 317 162. DAS RECHNEN MIT UNGLEICHUNGEN UND BETRAEGEN 319 163. UEBUNGSAUFGABEN 322 164. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN 323 165. ANWENDUNGEN 324 166. WURZELN 326 167. POTENZEN MIT BELIEBIGEN REELLEN EXPONENTEN 328 ACHTER ABSCHNITT VERAENDERLICHE UND FUNKTIONEN FESTSTELLUNG DER ALLGEMEINEN BEGRIFFE 168. BEISPIELE VON FUNKTIONEN 329 169. KONSTANTE UND VERAENDERLICHE 330 170. INTERVALLE 333 171. BEGRIFF EINER FUNKTION 336 172. BEZEICHNUNG DER FUNKTIONEN 340 173. GEOMETRISCHES BILD EINER FUNKTION 342 174. FUNKTIONEN VON MEHREREN VERAENDERLICHEN 343 XIII INHALTSVERZEICHNIS ERKLAERUNG EINIGER BESONDERER ARTEN VON FUNKTIONEN A. RATIONALE FUNKTIONEN, POLYNOME 175. RATIONALE FUNKTIONEN 346 176. GANZE UND GEBROCHENE RATIONALE FUNKTIONEN 347 177. NORMALFORM EINES POLYNOMS IN EINER VERAENDERLICHEN 348 178. HILFSSATZ AUS DER ALGEBRA 349 179. EINDEUTIGKEIT DER NORMALFORM EINES POLYNOMS IN EINER VERAENDERLICHEN . . . 351 180. GRAD EINES POLYNOMS EINER VERAENDERLICHEN 352 181. ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN MIT EINER UNBEKANNTEN 355 182. INTERPOLATIONSFORMELN VON LAGRANGE UND NEWTON 355 183. NORMALFORM DER POLYNOME IN MEHREREN VERAENDERLICHEN 358 184. GESAMTGRAD EINES POLYNOMS IN MEHREREN VERAENDERLICHEN 360 185. TEILBARKEIT VON POLYNOMEN 361 186. GROESSTER GEMEINSAMER TEILER ZWEIER POLYNOME 363 187. ALLGEMEINE FORM DER GEBROCHENEN RATIONALEN FUNKTIONEN 365 B. ALGEBRAISCHE FUNKTIONEN 188. BEISPIELE NICHT RATIONALER FUNKTIONEN 367 189. ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN ZWISCHEN MEHREREN VERAENDERLICHEN 368 190. BEGRIFF EINER ALGEBRAISCHEN FUNKTION 368 * TRANSZENDENTE FUNKTIONEN 191. BEGRIFF DER TRANSZENDENZ 372 192. EXPONENTIALFUNKTIONEN 373 193. UMKEHRUNG DER EXPONENTIALFUNKTION. LOGARITHMEN 375 194. POTENZEN MIT IRRATIONALEN EXPONENTEN 376 195. TRIGONOMETRISCHE ODER KREISFUNKTIONEN 376 196. ZYKLOMETRISCHE FUNKTIONEN 379 197. DIE HYPERBELFUNKTIONEN UND IHRE UMKEHRUNG 381 198. GESCHLOSSENE ANALYTISCHE AUSDRUECKE. ELEMENTARE FUNKTIONEN 382 199. MITTELBARE FUNKTIONEN 383 GEOMETRISCHE DARSTELLUNG EINER FUNKTION 200. UEBEREINSTIMMUNG DES BILDES EINER FUNKTION MIT ANDERWEITIG BEKANNTEN KURVEN 385 201. KONSTRUKTION DES GEOMETRISCHEN BILDES EINER FUNKTION 386 202. BEISPIELE GEOMETRISCHER BILDER 388 NEUNTER ABSCHNITT GERADE UND EBENE 203. PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN IN EINER EBENE 391 204. DARSTELLUNG EINER GERADEN DURCH EINE GLEICHUNG 395 205. BESTIMMTHEIT DER GLEICHUNG EINER GERADEN 397 206. BEISPIELE 399 207. BESONDERE FORMEN DER GLEICHUNG EINER GERADEN 400 208. ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER GERADEN 406 209. SCHNITTPUNKT ZWEIER GERADEN 407 210. WINKEL ZWISCHEN ZWEI GERADEN 408 211. ALLGEMEINE FORMEN DER GLEICHUNG EINER GERADEN 410 XIV INHALTSVERZEICHNIS 212. UEBUNGSAUFGABEN 414 213. AFFINE ABBILDUNG 416 214. PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN IM RAEUME 423 215. PARAMETERDARSTELLUNG EINER EBENE IM RAEUME 426 216. DARSTELLUNG EINER EBENE DURCH EINE GLEICHUNG 430 217. BESTIMMTHEIT DER GLEICHUNG EINER EBENE 432 218. VERBINDUNGSEBENE DREIER PUNKTE 434 219. BESONDERE FORMEN DER GLEICHUNG EINER EBENE 435 220. ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER EBENE 438 221. BEDINGUNGEN FUER DAS PARALLELSEIN UND FUER DAS SCHNEIDEN ZWEIER EBENEN . . . 439 222. WINKEL ZWEIER EBENEN 440 223. DIE GERADE ALS SCHNITTLINIE ZWEIER EBENEN 441 224. SCHNITTPUNKT DREIER EBENEN 442 225. BEDINGUNG, DASS VIER EBENEN EINEN PUNKT GEMEIN HABEN 443 226. ALLGEMEINE FORMEN DER GLEICHUNG EINER EBENE 444 227. UEBUNGSAUFGABEN 446 F ZEHNTER ABSCHNITT GRENZWERTE GRENZWERTE *** ZAHLENFOLGEN 228. ZAHLENFOLGEN. NULLFOLGEN 449 229. ERKLAERUNGEN UND SAETZE 451 230. SPEZIELLE NULLFOLGEN 454 231. KONVERGENTE ZAHLENFOLGEN 457 232. WEITERE BEMERKUNGEN UND BEISPIELE 459 233. SAETZE UEBER KONVERGENTE ZAHLENFOLGEN 462 234. DIVERGENTE ZAHLENFOLGEN 466 235. WEITERE BEISPIELE KONVERGENTER ZAHLENFOLGEN 470 236. DIE ZAHL E 472 237. DIE BEIDEN KONVERGENZPROBLEME 475 238. DAS ERSTE HAUPTKRITERIUM (FUER MONOTONE FOLGEN) 477 239. DAS ZWEITE HAUPTKRITERIUM (FUER BELIEBIGE ZAHLENFOLGEN) 479 GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 240. VORBEMERKUNGEN UND BEISPIELE 483 241. GRENZWERT EINER FUNKTION VON X FUER * _ . 00 487 242. ZURUECKFUEHRUNG DES KONVERGENZVERHALTENS VON FUNKTIONEN AUF DASJENIGE VON ZAHLENFOLGEN 489 243. GRENZWERT EINER FUNKTION BEI ANNAEHERUNG IHRES ARGUMENTS AN EINEN END- LICHEN WERT 491 244. GRENZWERT VON FUER X *** * 494 X 245. EINSEITIGE GRENZWERTE 495 246. SAETZE UEBER GRENZWERTE 497 247. DIE UNEIGENTLICHEN GRENZWERTE + 00 UND * 00 500 248. ERSTES HAUPTKRITERIUM (FUER MONOTONE FUNKTIONEN) 501 249. ZWEITES HAUPTKRITERIUM (FUER BELIEBIGE FUNKTIONEN) 502 XV INHALTSVERZEICHNIS ELFTER ABSCHNITT ZAHLEN- UND PUNKTMENGEN 250. DER BEGRIFF EINER MENGE 503 251. BEISPIELE VON ZAHLEN- UND PUNKTMENGEN 505 252. ABZAEHLBARE UND NICHT ABZAEHLBARE MENGEN 507 253. AEQUIVALENZ VON MENGEN 509 254. UNTERE UND OBERE GRENZE 511 255. HAEUFUNGSPUNKTE UND HAEUFUNGSGRENZEN 515 256. ZAHLENMENGEN UND ZAHLENFOLGEN 519 257. DAS III. HAUPTKRITERIUM FUER DIE KONVERGENZ VON ZAHLENFOLGEN 521 258. HAEUFUNGSPUNKTE BELIEBIGER PUNKTMENGEN 523 259. PUNKTFOLGEN. KONVERGENZ 526 260. WEITERE ERKLAERUNGEN UND SAETZE 528 ZWOELFTER ABSCHNITT - STETIGKEIT 261. STETIGKEIT UND UNSTETIGKEIT EINER FUNKTION 531 262. EINSEITIGE STETIGKEIT. STETIGKEIT IN EINEM INTERVALL 536 263. STETIGKEIT DER EINFACHSTEN FUNKTIONEN 536 264. SAETZE UEBER FUNKTIONEN, DIE IN EINEM INTERVALL STETIG SIND 538 265. STETIGKEIT EINER MITTELBAREN FUNKTION 542 266. UMKEHRUNG EINER MONOTONEN UND STETIGEN FUNKTION 543 267. STETIGKEIT EINER DURCH UMKEHRUNG ENTSTANDENEN FUNKTION 547 268. STETIGKEIT DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 548 269. DARSTELLUNG UNSTETIGER FUNKTIONEN 550 NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS ZUM ERSTEN BANDE 555 MATHEMATISCHE ZEICHEN TRIGONORR SIN COS TG CTG ARESIN ARECOS ARCTG ARECTG SIN GOJ FL ET SIR GIN * CRJ R J 0 SIR CTG .ETRISCHE UND (SIN)* (COS) (TAN) (COT) (ARESIN) (ARECOS) (ARCTAN) (ARCCOT) (SINH) (COSH) (TANH) (COTH) (ARSINH) (ARCOSH) (ARTANH) (ARCOTH) HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN SINUS KOSINUS TANGENS KOTANGENS ARKUSSINUS (HAUPTWERT) ARKUSKOSINUS (HAUPTWERT) ARKUSTANGENS (HAUPTWERT) ARKUSKOTANGENS (HAUPTWERT) SINUS HYPERBOLICUS KOSINUS HYPERBOLICUS TANGENS HYPERBOLICUS KOTANGENS HYPERBOLICUS AREA-SINUS HYPERBOLICUS AREA-COSINUS HYPERBOLICUS AREA-TANGENS HYPERBOLICUS AREA-COTANGENS HYPERBOLICUS IN KLAMMERN ABKUERZUNG NACH TCIL XVI
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