Verfügbarkeit: Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik

Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik:

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Bibliographische Detailangaben
Beteilige Person:	Funk, Paul 1886-1969 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Berlin [u.a.] Springer 1970
Ausgabe:	2. Aufl.
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adam_text	Inhaltsverzeichnis I. Kapitel: Begründung der Variationsrechnung durch EULER, LAGRANGE und HAMILTON Seite 1. Die Anfänge der Variationsrechnung bei Euler und Lagrange 1 § 1. Die Entstehung und die ältesten Probleme der Variationsrechnung . . 1 § 2. Eulers Polygonmethode 6 § 3. Die Lagrangesche Methode 16 2. Die Bedeutung der Variationsrechnung für die Physik und technische Me¬ chanik 28 § 1. Die wichtigsten Variationsprinzipe 28 § 2. Anwendungen auf Analogiebetrachtungen 33 § 3. Anwendung bei Transformationen 37 3. Das homogene Problem 39 § 1. Die Eulerschen Gleichungen in Parameterdarstellung 39 § 2. Die Eulerschen Gleichungen in natürlichen Koordinaten 46 § 3. Anwendungen 47 Strahlendurchgang durch isotropes Medium; Maxwells Theorie des Fischauges; Bestimmung aller Variationsprobleme bei denen die Ex- tremalen Gerade sind; Flächen, bei denen sich die geodätischen Linien auf gerade Linien abbilden lassen; Hübertsche Geometrie und Geometrie der spezifischen Maßbestimmung. § 4. Indikatrix und Figuratrix 52 4. Die Hamiltonsche charakteristische Funktion und ihre Anwendungen . . 61 § 1. Die ersten Differentialquotienten; die Weierstraßsche und Legendre¬ sche notwendige Bedingung 61 § 2. Transversalitätsbedingung (freie Randbedingungen) 69 Trichter von M. E. Sinclair; Kurs im ortsabhängigen Strömungs¬ feld; maximaler Unternehmergewinn; Kapillarität; Balkentheorie. § 3. Historische Notizen über Hamilton und seine grundlegenden Ideen; Beispiele dazu 83 Kartesische Flächen; elementare Theorie des Schmidtschen Spiegel¬ teleskops nach Caratheodory; Poincares Modell der nichteuklidi¬ schen Geometrie. § 4. Hamilton-Jacobische Integrationstheorie 91 § 5- Weitere Anwendungen der Hamiltonschen Formeln 101 Erdmann-Weierstraßsche Eckenbedingung; Brechungsgesetz; Aus¬ nützung von Invarianzeigenschaften zur Herleitung von Integralen. § 6. Eine Eigenschaft der Hamiltonschen charakteristischen Funktion beim Punkt-Punkt-Problem 106 § 7. Die Legendresche Transformation der Veränderlichen 107 § 8. Die kanonische Form der Gleichungen der Variationsrechnung ... 109 Expliziter Beweis des Hauptsatzes der Hamilton-Jacobischen Theo¬ rie bei n Veränderlichen; Störungstheorie. Inhaltsverzeichnis XI Seite § 9. Einige Anwendungen der kanonischen Form auf physikalische und geometrische Probleme 113 Liouvillescher Satz; Extremalendichte; Croftonsche Formeln; Satz von Straubel. 5. Elimination zyklischer Veränderlicher 120 § 1. Transformation von Routh 120 § 2. Transformation von Variationsproblemen, die die unabhängige Vari¬ able nicht explizit enthalten 123 § 3. Jacobisches Prinzip der kleinsten Wirkung 124 Wurfparabel, Planetenbewegung. §4. Einführung des elektronischen Brechungsindex 127 § 5. Elimination der zyklischen Veränderlichen in der Elektronenoptik . . 129 Verallgemeinerter Satz von Lippich. II. Kapitel: Begründung der Theorie der zweiten Variation durch LEOENDRE und JACOBI 1. Die Begründung der Theorie durch Legendre 132 § 1. Die Legendresche Transformation der zweiten Variation 132 Kritik an der Legendreschen Schluß weise. § 2. Direkte Herleitung der Legendreschen notwendigen Bedingung nach Roussel 136 2. Die Jacobische Theorie 139 § 1. Die Jacobische Gleichung 139 § 2. Konjugierte Punkte 145 § 3. Der Satz von Sturm 146 § 4. Das Jacobische Theorem und die geometrische Deutung der konju¬ gierten Punkte 148 § 5. Beispiele zur Theorie der konjugierten Punkte 152 Die konjugierten Punkte am Äquator einer Rotationsfläche; die konjugierten Punkte am Äquator einer „gewölbten Ecke ; die kon¬ jugierten Punkte auf den geodätischen Linien einer kreiszylindrischen Dose; Fokussierung der Elektronenbahnen in einem Zylinderkonden¬ sator; maximaler Blasendruck; das Newtonsche Abbildungsgesetz in der Elektronenoptik; die konjugierten Punkte bei der Kepler-Ellipse und bei der Wurfparabel. § 6. Verallgemeinerung auf den Fall mehrerer unabhängiger Variabler und höherer Differentialquotienten im Variationsproblem 177 Begriff des adjungierten Differentialausdrucks; zweite Variation bei Variationsproblemen mit einer unabhängigen Veränderlichen und höheren Differentialquotienten; Theorie der zweiten Variation bei Doppelintegralen; Bericht über die Untersuchungen von H.A. Schwarz über das Problem der Minimalflächen. III. Kapitel: Die Kritik von WE1ERSTRASS und DU BOIS-REYMOND und die Aufstellung hinreichender Bedingungen durch WEIERSTRASS 1. Kritik von Weierstrass und Du Bois-Reymond 193 §1. Kritik der Grundlagen 193 Absolutes und relatives Minimum; eigentliches und uneigentliches Minimum. XII Inhaltsverzeichnis Seite § 2. Variationsprobleme, bei denen der Integrand positiv ist und nur von der Richtung abhängt 197 Geknickte Extremalen. § 3. Das Lemma von Du Bois-Reymond und die sich daraus ergebenden Folgerungen 201 Einfache Integrale. Doppelintegrale. Beispiele. §4. Weierstrass Kritik an der Dirichletschen Schlußweise 218 2. Hinreichende Bedingung für das relative Minimum 225 §1. Feldbegriff und Unabhängigkeitssatz 225 § 2. Hinreichende Bedingung für das starke Extremum beim homogenen Problem 230 Unterschied zwischen homogenem und inhomogenem Problem. § 3. Hinreichende Bedingung für das schwache Extremum 233 § 4. Brennpunkte 234 § 5. Knickung eines tragenden, einseitig eingespannten elastischen Stabes 238 § 6. Der Knesersche Satz über die Einhüllende von Extremalenscharen . . 242 § 7. Die zweiten Ableitungen der Hamiltonschen charakteristischen Funk¬ tion 244 § 8. Zusammenhang der Feldtheorie mit der Fundamentalformel der zwei¬ ten Variation 249 § 9. Ermittlung von konjugierten Punkten und Brennpunkten, wenn das Variationsproblem bei Transformationen invariant bleibt 250 IV. Kapitel: Probleme mit Nebenbedingungen 1. Theorie der ersten Variation 253 § 1. Allgemeine Formulierung des Problems mit Nebenbedingungen nach Lagrange 253 § 2. Formulierung des Punkt-Punkt-Problems mit Nebenbedingungen nach Lagrange 256 Mayers Kritik an Lagranges Schlußweise. § 3- Vorbereitung auf den Beweis der Lagrangeschen Multiplikatorregel . 259 § 4. Hauptsatz über unterbestimmte Systeme 263 Freie und gebundene Bogen; Erläuterung an Beispielen; Hin¬ weis auf die Bedeutung dieser Begriffe bei der Carath^odoryschen Grundlegung der Thermodynamik; Charakteristiken der Hamilton- Jacobischen Differentialgleichung. § 5. Beweis der Lagrangeschen Multiplikatorenregel 275 § 6. Bemerkungen zur Lagrangeschen Multiplikatorenregel. Das Mayer- sche Problem 277 Normale und anormale Bögen; Aufspaltungserscheinungen; Klasse eines Extremalenbogens; Lagrangesche Gleichungen in kanonischer Form; Lagrangesche Faktoren beim isoperimetrischen Problem; das Mayersche Problem; Zermelos Navigationsproblem. § 7. Formulierung des Lagrangeschen Problems mit variablen Grenzen und Randfunktion (Problem von Bolza) 284 Inhaltsverzeichnis XIII Seite § 8. Gleichzeitige Variation von abhängigen und unabhängigen Veränder¬ lichen bei Variationsproblemen ohne Nebenbedingungen und ohne Randfunktionen 287 Variationsprobleme mit einer unabhängigen und einer abhängigen Veränderlichen; Variationsprobleme mit einer unabhängigen und meh¬ reren abhängigen Veränderlichen; Variationsprobleme mit r unabhängi¬ gen und k abhängigen Veränderlichen. § 9. Herleitung der freien Randbedingungen für die erste Variation . . . 295 2. Einleitung in die Theorie der zweiten Variation 298 § 1. Herleitung der Differentialgleichungen und der Randbedingungen für das akzessorische Problem. Bedingung für das Verschwinden der zweiten Variation 298 § 2. Hinweise für die praktische Behandlung von Aufgaben der zweiten Variation beim allgemeinen Lagrangeschen Problem 303 3. Beispiele 305 § 1. Kürzeste Entfernung von Raumkurven und Flächen 305 Kürzeste Entfernung zweier Raumkurven; kürzeste Entfernung zweier Flächen. § 2. Ebene Probleme der Elastostatik 309 Stabilität der beiderseits durch Klemmen eingespannten Elastica; der in Klemme und Hülse, in Klemme und Öse gelagerten Elastica; des auf zwei Stützen frei aufliegenden dünnen, in der Mitte belasteten Stabes. § 3- Stabilität der Trennungsflächen zwischen Flüssigkeiten 326 V. Kapitel: Die Verwendung der Quasikoordinaten § 1. Historische Bemerkungen 329 Die Eulerschen Gleichungen für die Bewegung eines starren Körpers. § 2. Allgemeine Erörterung der Methode der Quasikoordinaten . . . .336 § 3. Anwendung der Quasikoordinaten bei räumlichen Problemen der Elastostatik von Stäben. Kirchhoffs Analogie 339 § 4. Integrale der Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen .... 342 Energieintegral. Drehimpulsintegral. § 5. Gegenüberstellungen gemäß der Kirchhoffschen Analogie 343 § 6. Gemeinsamer Ansatz für verschiedene Stabilitätsprobleme der räumli¬ chen Elastica 344 Beispiele: gerade homogene Stäbe unter Druck und Drill. VI. Kapitel: Zusätze zur Theorie der Variationsprobleme mit mehreren Veränderlichen 1. Probleme mit einer unabhängigen und mehreren abhängigen Veränder¬ lichen 358 § 1. Der Hilbertsche Unabhängigkeitssatz in Räumen mit mehr als zwei Dimensionen 358 § 2. Relative und absolute Integralinvarianten; Lagrangesche Klammern 364 § 3. Der allgemeine Enveloppensatz 370 XIV Inhaltsverzeichnis Seite § 4. Anwendung des Hilbertschen Unabhängigkeitssatzes in der geometri¬ schen Optik 373 Satz von Malus. 2. Probleme mit mehreren unabhängigen und mehreren abhängigen Veränder¬ lichen 376 § 1. Einleitung. Unterschied des Feldbegriffs bei Problemen mit einer und mit mehreren unabhängigen Veränderlichen 376 § 2. Alternierende Differentialformen. Verallgemeinerung der Integral¬ sätze von Stokes und Gauss. Transversalität 382 § 3. Umkehrsatz von Poincare. Bedingungen für das identische Ver¬ schwinden der Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen. Dar¬ stellung von geschlossenen Differentialformen 401 § 4. Verallgemeinerung des Hilbertschen Unabhängigkeitsintegrals . . . .410 Allgemeine Feldtheorie von Lepage ; Feldtheorien von De Donder- Weyl und von Caratheodory ; Variationsprobleme mit beweglichem Rand. § 5. Verallgemeinerung des Hilbertschen Problems. Abschließende Bemer¬ kungen 433 3. Die Sätze von E. Noether 437 § 1. Einleitung. Der Noethersche Satz für endliche kontinuierliche Trans¬ formationsgruppen 437 Beispiele; Erhaltungssätze der Newtonschen Mechanik. § 2. Der Noethersche Satz für unendliche kontinuierliche Transformations¬ gruppen 445 Beispiele; Hilbertsche Fassung der allgemeinen physikalischen Feldtheorie. VII. Kapitel: Die direkten Methoden der Variationsrechnung 1. Existenz des Minimums 452 § 1. Einleitung 452 § 2. Stetigkeit und Halbstetigkeit von Funktionalen 455 §3. Existenz des Minimums 459 Beispiele. § 4. Anwendung des Existenzbeweises auf den Nachweis periodischer Lösungen bei einem Schwingungsproblem 465 2. Numerische Methoden 468 § 1. Die Ritzsche Methode 468 Die Methode von Ritz und verwandte Methoden. § 2. Die Behandlung des Duffingschen Schwingungsproblems nach Hamel 478 § 3. Anwendung der Rayleigh-Ritzschen Methode zur Berechnung von Eigenwerten 479 Schwingende Saite; Stimmgabel; piezoelektrische Schwingungen; doppelwandiger Druckstab; Linsenformel für das Elektronenmikro¬ skop. § 4. Kennzeichnung der höheren Eigenwerte durch ein Maximum-Mini¬ mum-Prinzip 490 § 5. Prinzip der formalen Differentiation eines Extremums 493 Anwendungen; Satz von H. Schaefer über Eigenwertpaare. Inhaltsverzeichnis XV VIII. Kapitel: Das Prinzip von FRIEDRICHS und seine Anwendung auf elastostatische Probleme Seite § 1. Einleitendes Beispiel aus der Fachwerktheorie 498 § 2. Allgemeine Umformung gewöhnlicher Extremalprobleme 505 § 3- Allgemeine Umformung von Variationsproblemen 507 §4. Anwendung auf die Balkentheorie 513 § 5- Allgemeine Fassung der Prinzipe von Dirichlet und Castigliano 515 §6. Anwendung auf das Torsionsproblem elastischer Stäbe 531 IX. Kapitel: Finslersche Geometrie § 1. Einleitung 542 § 2. Die Invarianten der Indikatrix 549 Landsbergscher Winkel; Berwaldscher Hauptskalar; indizierende Ellipse; Element- und Transversalitätsvektor. § 3. Differentiation nach Länge, Breite und Winkel 554 § 4. Endlicher Längenabstand, Breitenabstand und Winkel 556 § 5. Flächeninhalt 557 § 6. Die extremale Krümmung von Kurven 560 § 7. Das Koordinatensystem der Länge und Breite 564 § 8. Das Analogon zum Gaußschen Krümmungsmaß 565 Geometrische Deutungen. § 9. Cartansche Vertauschungsformeln. Bianchische Identität 570 § 10. Variationsprobleme mit symmetrischer Transversalitätsbedingung 573 §11. Spezielle Finslersche Räume 576 Finslersche Geometrien, bei denen der Gauß-Bonnetsche Satz über die Totalkrümmung gilt (Landsbergsche Geometrie); Variations¬ probleme, bei denen Kurven konstanten Breitenabstandes auch Kurven konstanten Längenabstandes sind (Riemannsche Geometrie); Geo¬ metrien, bei denen die Extremalen durch lineare Gleichungen darge¬ stellt werden können. X. Kapitel: Zusätze und spezielle Probleme §1. Das Umkehrproblem der Variationsrechnung 581 § 2. Die Eulersche Knicklast. Ermittlung der Knicklast unter Berücksich¬ tigung des Einflusses der Längenänderung der Stäbe 586 § 3. Knickung unter Berücksichtigung der Eigenlast 594 § 4. Das Ausbeulen von ebenen Platten (Bryansche Gleichung) 596 § 5. Herleitung von Randbedingungen für partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung in einer abhängigen und in zwei unabhängigen Ver¬ änderlichen aus einem zugehörigen Variationsproblem, dargestellt am Beispiel der Biegung der dünnen Platte 600 § 6. Knickung des durch Krümmung versteiften Meßbandes 605 § 7. Vollkommene optische Instrumente 611 XVI Inhaltsverzeichnis Anhang Seite Historische Bemerkungen I. Über die Arbeiten der Brüder Bernoulli 614 II. Über Newtons Problem einer axial angeströmten Rotationsfläche klein¬ sten Widerstandes 616 III. Über die Geschichte des Prinzips der kleinsten Wirkung 621 Anmerkungen 632 Namenverzeichnis 671 Sachverzeichnis 675
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Exemplar 1	Dauerhaft ausgeliehen Ausgeliehen
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