Verfügbarkeit: Höhere Mathematik griffbereit | Technische Universität München

Höhere Mathematik griffbereit: Definitionen, Theoreme, Beispiele ; mit 15 Tabellen

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Bibliographische Detailangaben
Beteilige Person:	Vygodskij, Mark Ja. 1898-1965 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Braunschweig Friedr. Vieweg + Sohn 1973
Schlagwörter:	Mathematik Mathematics > Handbooks, manuals, etc Nachschlagewerk Schulmathematik Datensammlung Formelsammlung
Links:	http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=001405042&sequence=000002&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA
Beschreibung:	Aus dem Russischen übersetzt - Fortsetzung von: Elementarmathematik griffbereit
Umfang:	782 Seiten graph. Darst.
ISBN:	3528083093

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adam_text	Inhaltsverzeichnis Analytische Geometrie in der Ebene............ 21 § 1. Grundsätzliches über die analytische Geometrie..... 21 § 2. Koordinaten.................... 22 § 3. Rechtwinkliges Koordinatensystem.......... 22 § 4. Rechtwinklige Koordinaten.............. 23 § 5. Winkelbereiche oder Quadranten........... 24 § 6. Schiefwinkliges Koordinatensystem.......... 25 § 7. Die Geradengleichung................ 25 § 8. Gegenseitige Lage von Punkt und Kurve........ 27 § 9. Gegenseitige Lage zweier Kurven........... 27 § 10. Der Abstand zwischen zwei Punkten.......... 28 § 11. Teilabschnitte mit gegebenem Verhältnis........ 28 § 12. Die Determinante zweiter Ordnung.......... 30 § 13. Der Flächeninhalt eines Dreiecks........... 30 § 14. Die Geradengleichung in der nach y aufgelösten Form . . 31 § 15. Achsenparallele Geraden............... 33 § 16. Die allgemeine Geradengleichung........... 34 § 17. Konstruktion einer Geraden aus ihrer Gleichung .... 35 § 18. Parallelitätsbedingung für Geraden.......... 36 § 19. Schnittpunkte von Geraden ............. 37 § 20. Bedingung für die Orthogonal i tät zweier Geraden .... 38 § 21. Der Winkel zwischen zwei Geraden.......... 39 § 22. Bedingung dafür, daß drei Punkte auf einer Geraden liegen 42 § 23. Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte . . 42 § 24. Geradenbüschel................... 43 § 26. Die Gleichung einer Geraden, die parallel zu einer ge¬ gebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft 46 § 26. Die Gleichung einer Geraden durch einen gegebenen Punkt und orthogonal zu einer gegebenen Geraden....... 46 § 27. Gegenseitige Lage einer Geraden und eines Punktepaares . 47 § 28. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden...... 47 § 29. Die Polarparameter der Geraden............ 49 § 30. Die Normalform der Geradengleichung......... 51 § 31. Die Bestimmung der Geradengleichung in Normalform . . 52 § 32. Achsenabschnitte.................. 53 § 33. Die Abschnittsgleichung der Geraden.......... 54 § 34. Koordinatentransformation (Erläuterung der Methode) . . 54 §35. Verschiebung des Koordinatenursprungs........ 55 8 Inhaltsverzeichnis § 36. Achsendrehung................... 56 § 37. Algebraische Kurven und ihr Grad.......... 58 § 38. Der Kreis...................... 59 § 39. Bestimmung des Mittelpunktes und des Radius eines Kreises...................... 60 § 40. Die Ellipse als gestauchter Kreis............ 62 § 41. Eine zweite Definition der Ellipse........... 64 § 42. Konstruktion einer Ellipse aus ihren Achsen...... 66 § 43. Die Hyperbel.................... 67 § 44. Die Form einer Hyperbel. Scheitel und Achsen..... 69 § 45. Konstruktion einer Hyperbel aus ihren Achsen..... 71 § 46. Die Asymptoten der Hyperbel............. 71 § 47. Konjugierte Hyperbeln............... 73 § 48. Die Parabel .................... 73 § 49. Konstruktion einer Parabel bei gegebenem Parameter ρ . 75 § 50. Die Parabel als Kurve mit der Gleichung y = aa? A-bx Ą- с 75 § 51. Die Leitlinien einer Ellipse und einer Hyperbel..... 79 § 52. Allgemeine Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel 80 § 53. Kegelschnitte.................... 83 § 54. Die Durchmesser eines Kegelschnitts ......... 84 § 55. Die Durchmesser der Ellipse............. 85 § 56. Die Durchmesser der Hyperbel............ 87 § 57. Die Durchmesser der Parabel............. 89 § 58. Kurven zweiten Grades................ 90 § 59. Die Form der allgemeinen Gleichung zweiten Grades ... 91 § 60. Vereinfachung der Gleichung zweiten Grades. Allgemeine Bemerkungen.........·.......... 92 § 61. Vorläufige Transformation der Gleichung zweiten Grades . 92 § 62, Endgültige Transformation der Gleichung zweiten Grades 95 § 63. Über Verfahren zur Erleichterung der Vereinfachung von Gleichungen zweiten Grades.............. 101 § 64. Kriterium für den Zerfall einer Kurve zweiten Grades . . 102 § 65. Die Bestimmung der Geraden, aus denen eine zerfallende Kurve zweiter Ordnung besteht............ 103 § 66. Die Invarianten einer Gleichung zweiten Grades..... 106 § 67. Die drei Typen von Kurven zweiten Grades...... 108 § 68. Zentralsymmetrische und nichtzentralsymmetrische Kur¬ ven zweiten Grades................. 111 § 69. Die Bestimmung des Zentrums zentralsymmetrischer Kur¬ ven zweiter Ordnung................ § 70. Die Vereinfachung der Gleichung einer zentralsymmetri¬ schen Kurve zweiter Ordnung............. 114 § 71. Die gleichseitige Hyperbel als grafische Darstellung der h Gleichung ^ = — ................. 116 OC § 72. Die gleichseitige Hyperbel als grafische Darstellung der Gleichung y = ------■----............... H ë * px + q § 73. Polarkoordinaten.................. 119 Inhaltsverzeichnis 9 § 74. Die Beziehung zwischen Polarkoordinaten und rechtwink¬ ligen Koordinaten .................. 122 § 75. Die Archimedische Spirale.............. 124 § 76. Die Polargleichung der Geraden............ 126 § 77. Die Polargleichung eines Kegelschnitts......... 126 Analytische Geometrie im Raum.............. 128 § 78. Grundsätzliches über Vektoren und Skalare....... 128 § 79. Der Vektor in der Geometrie............. 128 § 80. Vektoralgebra................... 129 § 81. Kollineare Vektoren................. 129 § 82. Der Nullvektor................... 130 § 83. Die Gleichheit von Vektoren............. 130 § 84. Die Rückführung von Vektoren auf einen gemeinsamen Anfangspunkt................... 131 § 85. Entgegengesetzte Vektoren.............. 131 § 86. Vektoraddition................... 132 § 87. Die Summe mehrerer Vektoren............ 133 § 88. Die Vektors übtraktion................ 134 § 89. Die Multiplikation und Division eines Vektors mit einer Zahl....................... 135 § 90. Beziehungen zwischen kol linearen Vektoren (Division eines Vektors durch einen anderen)............. 137 § 91. Die Projektion eines Punktes auf eine Achse...... 137 § 92. Die Projektion eines Vektors auf eine Achse....... 138 § 93. Grundlegende Theoreme über die Projektionen eines Vektors...................... 140 § 94. Rechtwinkliges Koordinatensystem im Raum...... 141 § 95. Die Koordinaten eines Punktes............ 143 § 96. Die Koordinaten eines Vektors............ 144 § 97. Die Darstellung eines Vektors durch Komponenten und - durch Koordinaten................. 145 § 98. Operationen mit Vektoren, die durch ihre Koordinaten ge¬ geben sind..................... 145 § 99. Die Darstellung eines Vektors durch die Radiusvektoren seines Anfangs-und Endpunktes............ 146 § 100. Die Länge eines Vektors. Der Abstand zwischen zwei Punkten..................... 147 § 101. Der Winkel zwischen den Koordinatenachsen und einem Vektor...................... 147 § 102. Ein Kriterium für die Kollinearität (Parallelität) von Vektoren..................... 148 § 103. Die Teilung einer Strecke in gegebenem Verhältnis . . . 149 § 104. Das Skalarprodukt zweier Vektoren......... 149 § 105. Eigenschaften des Skalarprodukts.......... 151 § 106. Die Skalarprodukte der Achsen vek t or e n........ 153 § 107. Die Darstellung des Skalarprodukts durch die Koordi¬ naten der Faktoren................. 153 § 108. Die Bedingung für die Orthogonalität von Vektoren . .154 § 109. Der Winkel zwischen Vektoren............ 154 10 Inhaltsverzeichnis § 110. Rechts- und Linkssysteme von drei Vektoren..... 155 § 111. Das Vektorprodukt zweier Vektoren......... 157 § 112, Die Eigenschaften des Vektorprodukts........ 159 § 113. Die Vektorprodukte der Achsen vektorén ........ 160 § 114. Die Darstellung des Vektorprodukts durch die Koordina¬ ten der Faktoren.................. 161 § 115. Komplanare Vektoren............... 163 § 116. Das gemischte Produkt............... 163 § 117. Die Eigenschaften des gemischten Produktes..... 164 § 118. Die Determinante dritter Ordnung.......... 165 § 119. Die Darstellung des gemischten Produktes durch die Ko¬ ordinaten seiner Faktoren.............. 167 § 120. Kriterium für die Komplanarität in Koordinatenform . . 168 § 121. Das Volumen eines Parallelepipeds .......... 168 § 122. Das doppelte Vektorprodukt............. 169 § 123. Die Gleichung einer Ebene............. 169 § 124. Spezialfälle der Lage von Ebenen bezüglich des Koordi¬ natensystems ................... 170 § 125. Die Bedingung für die Parallelität von Ebenen..... 171 § 126. Die Bedingung für die Orthogonalität zweier Ebenen . . 172 § 127. Der Winkel zwischen zwei Ebenen.......... 173 § 128. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und parallel zu einer gegebenen Ebene........ 173 § 129. Bestimmung einer Ebene durch drei Punkte...... 174 § 130. Achsenabschnitte ................. 174 § 131. Die Abschnittsgleichung einer Ebene......... 175 § 132. Die Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte und ortho¬ gonal zu einer gegebenen Ebene........... 175 § 133. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und orthogonal zu zwei Ebenen........... 176 § 134. Der Schnittpunkt dreier Ebenen........... 177 § 135. Gegenseitige Lage von Ebene und Punktepaar..... 178 § 136. Der Abstand zwischen Punkt und Ebene....... 179 § 137. Die Polarparameter der Ebene............ 179 § 138. Die Normalform der Ebenengleichung ........ 181 § 139. Die Bestimmung der Ebenengleichung in Normalform . 182 § 140. Die Gleichung einer Geraden im Raum........ 183 § 141. Bedingung dafür, daß zwei Gleichungen ersten Grades eine Gerade darstellen............... 185 § 142, Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene...... 186 § 143. Richtungsvektoren................. 187 § 144. Der Winkel zwischen einer Geraden und den Koordinaten¬ achsen ...................... 188 § 145. Der Winkel zwischen zwei Geraden.......... 189 § 146. Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene . .189 § 147. Die Bedingungen für die Parallelität und Orthogonalität zwischen Gerade und Ebene............. 190 § 148. Ebenenbüschel................... 190 § 149. Die Projektionen einer Geraden auf die Koordinaten¬ ebenen ...................... 192 § 150. Die symmetrischen Geradengleichungen........ 194 Inhaltsverzeichnis 11 § 151. Die Bestimmung der Geradengleichungen in symmetri¬ scher Form.................... 196 § 152. Die Parameterdarstel І ung der Geraden........ 197 § 153. Der Schnitt einer Ebene miteiner Geraden in Para meterform. 197 § 154. Die Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte 198 § 155. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden......... 198 § 156. Die Gleichung einer Geraden durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Ebene. ,........ 199 § 157. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und durch eine gegebene Gerade........... 199 § 158. Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und parallel zu zwei gegebenen Geraden........ 200 § 159. Die Gleichung einer Ebene durch eine gegebene Gerade und parallel zu einer anderen gegebenen Geraden .... 201 § 160. Die Gleichung einer Ebene durch eine gegebene Gerade senkrecht zu einer gegebenen Ebene.......... 201 § 161. Die Gleichung der Senkrechten von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Gerade........... 202 § 162. Die Länge der Senkrechten von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Gerade.............. 203 § 163. Die Bedingungen dafür, daß sich zwei Gerade schneiden oder in einer Ebene liegen.............. 204 § 164. Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu zwei ge¬ gebenen Geraden ist................. 206 § 165. Der kürzeste Abstand zwischen zwei Geraden. Richtung von Geraden.................... 208 § 166. Koordinatentransformation............. 210 § 167. Die Gleichung einer Fläche............. 211 § 168. Zylinderflächen, deren Erzeugende parallel zu einer der Koordinatenachsen sind............... 212 § 169. Die Gleichung einer Kurve............. 213 § 170. Die Projektion einer Kurve auf die Koordinatenachse . . 214 § 171. Algebraische Flächen und ihr Grad.......... 217 § 172. Die Kugelfläche.................. 217 § 173. Das Ellipsoid ................... 218 § 174. Das einschalige Hyperboloid............. 221 § 175. Das zweischalige Hyperboloid............ 223 § 176. Der Kegel zweiter Ordnung............. 225 § 177. Das elliptische Paraboloid .............. 227 § 178. Das hyperbolische Paraboloid ............ 229 § 179. Die Flächen zweiten Grades............. 230 § 180. Geradlinige Erzeugende der Flächen zweiten Grades. . . 233 § 181. Rotationsflächen.................. 234 § 182. Determinanten zweiter und dritter Ordnung...... 235 § 183. Determinanten höherer Ordnung........... 238 § 184. Eigenschaften der Determinanten.......... 240 § 186. Ein praktisches Verfahren zur Berechnung von Determi¬ nanten...................... 242 § 186. Anwendung der Determinanten auf die Untersuchung und Lösung von Gleichungssystemen........... 244 12 Inhaltsverzeichnis § 187, Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten....... 244 § 188. Zwei Gleichungen und drei Unbekannte ....... 246 § 189. Das homogene System von zwei Gleichungen mit drei Un¬ bekannten ..................... 247 § 190. Drei Gleichungen mit drei Unbekannten, η Gleichungen . 249 Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis ....... 255 § 191. Einführende Bemerkungen............. 255 § 192. Die rationalen Zahlen................ 256 § 193. Die reellen Zahlen................. 256 § 194. Die Zahlengerade ................. 257 § 195. Variable und konstante Größen............ 257 § 196. Funktionen.................... 258 § 197. Methoden zur Angabe einer Funktion......... 259 § 198. Der Definitionsbereich einer Funktion........ 261 § 199. Intervalle..................... 262 § 200. Klassifikation der Funktionen............ 264 § 201. Die wichtigsten elementaren Funktionen........ 264 § 202. Die Bezeichnung von Funktionen.......... 265 § 203. Der Grenzwert einer Folge ............. 266 § 204. Der Grenzwert von Funktionen............ 268 § 205. Die Definition des Grenzwerts einer Funktion..... 270 § 206. Der Grenzwert einer konstanten Größe........ 270 § 207. Unendlich kleine Größen.............. 270 § 208. Unendlich große Größen.............. 271 § 209. Die Beziehung zwischen unendlich großen und unendlich kleinen Größen.................. 271 § 210. Beschränkte Größen................ 272 §211. Erweiterung des Grenz wertbegriff s .......... 272 § 212. Die Grundeigenschaften von unendlich kleinen Größen . 273 § 2ІЗ. Die Grundtheoreme über Grenzwerte......... 274 § 214. Die Zahl e ..................... 275 § 215. Der Grenzwert ^í für χ -> 0........... 276 χ § 216. Äquivalente unendlich kleine Größen......... 277 § 217. Vergleich von unendlich kleinen Größen........ 278 § 218. Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt....... 280 § 219. Eigenschaften von Funktionen, die in einem Punkt stetig sind........................ 281 § 220. Stetigkeit einer Funktion in einem geschlossenen Inter¬ vall........................ 282 § 221. Eigenschaften von Funktionen, die in einem abgeschlos¬ senen Intervall stetig sind.............. 283 Differentialrechnung................... 285 § 222. Einführende Bemerkungen............. 285 § 223. Die Geschwindigkeit................ 285 § 224. Die Definition der Ableitung einer Funktion...... 286 Inhalts Verzeichnis 13 § 225. Віє Tangente...................288 § 226. Die Ableitungen einiger einfacher Funktionen.....289 § 227. Eigenschaften der Ableitung.............290 § 228. Das Differential..................291 § 229. Die mechanische Deutung des Differentials......292 § 230. Die geometrische Bedeutung des Differentials.....292 § 231. Differenzierbare Funktionen.............293 § 232. Die Differentiale einiger einfacher Funktionen.....295 § 233. Die Eigenschaften des Differentials..........296 §234. Die Invarianz des Ausdrucks f(x)dx.........296 § 235. Beschreibung der Ableitung durch Differentiale.....297 § 236. Zusammengesetzte Funktionen............298 § 237. Das Differential einer zusammengesetzten Funktion . . 298 § 238. Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion („Kettenregel )..................299 § 239. Die Differentiation eines Produkts..........299 § 240. Die Differentiation eines Quotienten.........300 § 241. Die Umkehrfunktion................301 § 242. Der natürliche Logarithmus.............303 § 243. Die Differentiation des Logarithmus.........304 § 244. Die logarithmische Differentiation..........305 § 245. Die Differentiation der Exponentialfunktion......306 § 246. Die Differentiation der trigonometrischen Funktionen . . 307 § 247. Die Differentiation der Umkehrfunktionen ......307 § 248. Das Differential in der Näherungsrechnung......308 § 249. Anwendung der Differentialrechnung auf die Fehlerab¬ schätzung ....................310 § 250. Differentiation impliziter Funktionen.........311 § 251. Eine in. Parameterform gegebene Kurve........313 § 252. In Parameterform gegebene Funktionen........315 § 253. Die Zykloide ...................317 § 254. Die Gleichung der Tangente an eine ebene Kurve . . .318 § 255. Die Gleichung der Normalen.............320 § 256. Ableitungen höherer Ordnung............321 § 257. Die Bedeutung der zweiten Ableitung in der Mechanik . 322 § 258. Differentiale höherer Ordnung............323 § 259. Darstellung der höheren Ableitungen durch Differentiale . 325 § 260. Höhere Ableitungen von Funktionen, die in Parameter¬ form gegeben sind.................325 § 261. Höhere Ableitungen impliziter Funktionen......326 § 262. Die LEiBNizsche Regel...............327 § 263. Der Satz von Rolle................328 § 264. Der Mittelwertsatz von Lagraïtge ..........329 § 265. Die Formel für einen endlichen Zuwachs .......331 § 266. Die Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes (Cauchy) . . 333 § 267. Untersuchung eines unbestimmten Ausdrucks der Form -5- .......................335 0 oo § 268. Untersuchung eines unbestimmten Ausdrucks der Form — 338 § 269. Unbestimmte Ausdrücke anderer Form........338 14 Inhaltsverzeichnis § 270. Historische Betrachtungen über die TAYLORsche Formet . 340 §271. Die TAYLOR-Formel................. 344 § 272. Anwendung der TAYLOR-Formel auf die Berechnung von Funktionswerten.................. 346 § 273. Zunehmende und abnehmende Funktionen...... 353 § 274. Kriterien für die Zunahme oder Abnahme einer Funktion in einem Punkt................... 355 § 275. Maximum und Minimum.............. 356 § 276. Notwendige Bedingung für ein Maximum oder ein Minimum..................... 357 § 277. Erste hinreichende Bedingung für ein Maximum oder Minimum..................... 358 § 278. Regel für die Bestimmung der Maxima und Minima · . 359 § 279. Zweite hinreichende Bedingung für Maxima und Minima. 363 § 280. Die Bestimmung des größten und des kleinsten Werts einer Funktion................... 365 § 281. Die Konvexität ebener Kurven. Wendepunkte ..... 368 § 282. Die konkave Seite................. 368 § 283. Regel für die Bestimmung eines Wendepunkts..... 370 § 284. Die Asymptoten.................. 371 § 285. Die Untersuchung von Asymptoten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind............... 372 § 286. Untersuchung der Asymptoten, die nicht zur Ordinaten- achse parallel sind................. 374 § 287. Verfahren zur Konstruktion von grafischen Darstellungen 375 § 288. Lösung von Gleichungen. Allgemeine Bemerkungen . . .381 § 289. Die Lösung von Gleichungen. Die Sehnenmethode . . . 382 § 290. Die Lösung von Gleichungen. Die Tangentenmethode . . 384 § 291. Kombination der Sehnenmethode mit der Tangenten¬ methode ..................... 386 Integralrechnung.................... 389 § 292. Einführende Bemerkungen............. 389 § 293. Die Stammfunktion................ 391 § 294. Das unbestimmte Integral.............. 392 § 295. Geometrische Erklärung der Integration ....... 393 § 296. Berechnung der Integrationskonstanten aus den Anfangs¬ daten ....................... 396 § 297. Eigenschaften des unbestimmten Integrals ...... 397 § 298. Integraltafel.................... 398 § 299. Unbestimmte Integration.............. 400 § 300. Die Substitutionsmethode (.Integration unter Verwendung einer Hilfsvariablen)................ 400 § 301. Partielle Integration................ 402 § 302. Integration einiger trigonometrischer Ausdrücke .... 403 § 303. Trigonometrische Transformationen......... 407 § 304. Rationale Funktionen ............... 408 § 305. Verfahren zur Integration von gebrochenen rationalen Funktionen.................... 409 § 306. Die Integration von Partialbrüchen.......... 410 Inhaltsverzeichnis Í5 S 307. Die Integration rationaler Funktionen (allgemeine Methode) 413 § 308. Die Faktorenzerlegung eines Polynoms........ 419 § 309. Über die Integrierbarkeit der elementaren Funktionen 420 § 310. Einige von Radikalen abhängige Integrale....... 421 § 311. Das Integral eines Binomialausdrucka......... 422 § 312. Integrale der Form ƒ R{x, ýax2 + bx + c) dx..... 424 § 313. Integrale der Form f B (sina:, cos χ) dx........ 426 § 314. Das bestimmte Integral............... 426 § 315. Eigenschaften des bestimmten Integrals........ 431 § 316. Die geometrische Deutung des bestimmten Integrals . . 432 § 317. Deutung des bestimmten Integrals in der Mechanik . . . 434 § 318. Abschätzung des bestimmten Integrals........ 435 § 319. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung........ 436 § 320. Das bestimmte Integral als Funktion seiner oberen Grenze...................... 438 § 321. Das Differential eines Integrals ........... 439 § 322. Das Integral eines Differentials. Die Formel von Newton- Leibniz ..................... 441 § 323. Die Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe des unbestimmten Integrals............... 442 § 324. Partielle bestimmte Integration........... 443 § 325. Substitutionsmethoden bei der bestimmten Integration . 444 § 326. Uneigentliche Integrale............... 445 § 327. Integrale mit unendlichen Grenzen.......... 446 § 328. Integrale über Funktionen mit Unstetigkeitsstellen . . . 450 § 329. Über die näherungsweise Berechnung eines Integrals . . 453 § 330. Rechtecksformeln................. 455 § 331. Die Trapezformel ................. 457 § 332. Die SiMPSONsche Formel (Parabolische Trapezformel) . . 458 § 333. Der Flächeninhalt von Figuren, die durch rechtwinklige Koordinaten beschrieben werden........... 460 § 334. Übersicht über die Anwendung des bestimmten Integrals 462 § 335. Der Flächeninhalt von Figuren, die durch Polarkoordi¬ naten gegeben sind................. 463 § 336. Das Volumen eines Körpers............. 465 § 337. Das Volumen eines Rotationskörpers......... 467 § 338. Die Bogenlänge einer ebenen Kurve......... 468 § 339. Das Differential der Bogenlänge........... 469 § 340. Die Bogenlänge und ihr Differential in Polarkoordinaten 470 § 341. Der Flächeninhalt einer Rotationsfläche........ 472 Überblick über ebene und räumliche Kurven......... 474 § 342. Die Krümmung.................. 474 § 343. Kjrümmungsmittelpunkt, Krümmungsradius und Krüm¬ mungskreis einer ebenen Kurve............ 475 § 344. Formeln für die Krümmung, den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt einer ebenen Kurve .... 477 § 345. Die Evolute einer ebenen Kurve........... 480 346. Eigenschaften der Evolute einer ebenen Kurve..... 482 16 Inhaltsverzeichnis § 347. Die Evolvente einer ebenen Kurve.......... 483 § 348. Die Parameterform von Raumkurven......... 483 § 349. Schraubenlinien.................. 485 § 350. Die Bogenlänge einer Raumkurve........... 487 § 351. Die Tangente an eine Raumkurve.......... 488 § 352. Die Normalebene.................. 490 § 353. Vektorfunktionen mit skalařem Argument....... 491 § 354. Grenzwerte von Vektorfunktionen.......... 492 § 355. Die Ableitung einer Vektorfunktion ......... 492 § 350. Das Differential einer Vektorfunktion......... 494 § 357. Eigenschaften der Ableitungen und der Differentiale von Vektorfunktionen................. 495 § 358. Die Schmiegebene................. 497 § 359. Die Hauptnormale. Das begleitende Dreibein..... 499 § 360, Gegenseitige Lage von Kurve und Ebene....... 500 § 361. Die Einheitsvektoren des begleitenden Dreibeins .... 500 § 362. Krümmungsmittelpunkt, Krümmungsachse und Krüm¬ mungsradius einer Raumkurve............ 502 § 363. Formeln für die Krümmung, den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt von Raumkurven..... 503 § 364. Über das Vorzeichen der Krümmung......... 505 § 365. Die Torsion................... - 505 Unendliche Reihen.................... 508 § 366. Einführende Bemerkungen............. 508 § 367. Definition der unendlichen Reihe........... 508 § 368. Konvergente und divergente unendliche Reihen .... 509 § 369. Notwendige Bedingung für die Konvergenz einer unend¬ lichen Reihe.................... 510 § 370. Der Rest einer unendlichen Reihe........... 512 § 371. Einfache Operationen mit unendlichen Reihen..... 514 § 372. Positive unendliche Reihen............. 515 § 373. Vergleich von positiven Reihen ........... 516 § 374. Das D AbEMBERTsche Kriterium für positive Reihen . . . 518 § 375. Das Integralkriterium für die Konvergenz....... 519 § 376. Alternierende Reihen. Das Kriterium von Leibnitz . . . 521 § 377. Absolute und bedingte Konvergenz.......... 522 § 378. Das D AbEMBERTsche Kriterium für beliebige Reihen . . 524 § 379. Umordnen der Glieder einer unendlichen Reihe .... 524 § 380. Zusammenfassen der Glieder einer unendlichen Reihe . . 525 § 381. Multiplikation von unendlichen Reihen........ 526 § 382. Die Division von unendlichen Reihen......... 528 § 383. Reihen mit veränderlichen Gliedern ......... 530 § 384. Der Konvergenzbereich einer Reihe mit veränderlichen Gliedern..................... 530 § 385. Über gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz . . 533 § 386. Definition der gleichmäßigen und ungleichmäßigen Kon¬ vergenz ...................... 536 § 387. Geometrische Deutung der gleichmäßigen und ungleich¬ mäßigen Konvergenz................ 536 Inhaltsverzeichnis 17 S 388. Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz; reguläre Reihen......................537 § 389. Die Stetigkeit der Summe einer unendlichen Reihe . . . 538 § 390. Die Integration von unendlichen Reihen.......539 § 391. Die Differentiation von unendlichen Reihen......542 § 392. Potenzreihen ...................543 § 393. Konvergenzintervall und Konvergenzradius einer Potenz¬ reihe .......................544 § 394. Die Bestimmung des Konvergenzradius........545 § 395. Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe in χ —x0 . . . 547 § 396. Das Theorem von Abel...............548 § 397. Operationen mit Potenzreihen............548 § 398. Differentiation und Integration von Potenzreihen . . . 550 § 399. Die TAYbOR-Reihe.................552 § 400. Die Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe . . 553 § 401. Die Entwicklung der elementaren Funktionen in Potenz¬ reihen......................554 § 402. Die Anwendung der unendlichen Reihen auf die Berech¬ nung von Integralen................559 § 403. Hyperbolische Funktionen .............560 § 404. Die Umkehrfunktionen für die hyperbolischen Funktionen 563 § 405. Die Herkunft der Namen für die hyperbolischen Funk¬ tionen ......................566 § 406. Über komplexe Zahlen...............567 § 407. Komplexe Funktionen von reellen Argumenten .... 568 § 408. Die Ableitung einer komplexen Funktion.......570 § 409. Komplexer Exponent einer positiven Zahl.......571 § 410. Die EiTLERsche Formel...............572 §411. Trigonometrische Reihen..............573 § 412. Historische Bemerkungen über die trigonometrischen Reihen......................573 § 413. Die Orthogonal i tät des Systems der Funktionen cos nx und sin nx....................574 § 414. Die Formeln von Euler-Foueier..........576 § 415. FouRiBR-Reihen..................578 § 416. Die FouRiER-Reihe einer stetigen Funktion......579 §417. Die FoTJRiER-Reihen für gerade und ungerade Funktionen 582 § 418. FouRiBR-Reihen für unstetige Funktionen ......586 Differential- und Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variabler ........................590 § 419. Funktionen von zwei Variablen............ 590 § 420. Funktionen von drei und mehr Variablen....... 591 § 421. Verfahren zur Angabe von Funktionen mehrerer Variabler 592 § 422. Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variabler .... 594 § 423. t)ber die Größenordnung von Funktionen mehrerer Variabler..................... 595 § 424. Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler..... 597 § 425. Partielle Ableitungen................ 597 2 Wygodski II 18 Inhaltsverzeichnis § 426. Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitungen für den Fall von zwei Argumenten............598 § 427. Totaler Zuwachs und partieller Zuwachs.......599 § 428. Das partielle Differential..............600 § 429. Darstellung der partiellen Ableitung durch das Differential 601 § 430. Das totale Differential...............601 § 431. Die geometrische Bedeutung des totalen Differentials . . 603 § 432. Die Invarianz des Ausdrucks fxdx -Ą- fvdy Ą- fzdz für das totale Differential.................603 § 433. Die Technik des Differenzieren»...........604 § 434. Differenzierbare Funktionen.............605 § 435. Die Tangentialebene und die Flächennormale.....606 § 436. Die Gleichung der Tagentialebene...........607 § 437. Die Gleichung der Normalen.............608 § 438. Differentiation zusammengesetzter Funktionen.....609 § 439. Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordi¬ naten .......................610 § 440. Formeln für die partiellen Ableitungen einer zusammen¬ gesetzten Funktion.................611 §441. Die totale Ableitung................611 § 442. Differentiation impliziter Funktionen von mehreren Argu¬ menten ......................612 § 443. Partielle Ableitungen höherer Ordnung........614 § 444. Die totalen Differentiale höherer Ordnung.......616 § 445. Die Technik des mehrmaligen Differenzierens.....617 § 446. Vereinbarung über die Bezeichnungsweise von Differen¬ tialen .......................618 § 447. Die TAYLORsche Formel für F xnktionen von mehreren Variablen.....................619 § 448. Extremwerte (Maxima und Minima) von Funktionen mehrerer Argumente................621 § 449. Regel für die Bestimmung von Extremwerten.....622 § 450. Hinreichende Bedingung für ein Extrémům (für den Fall von zwei Variablen)................623 §451. Das Doppel integral.................624 § 452. Die geometrische Bedeutung des Doppelintegrals .... 626 § 453. Eigenschaften des Doppelintegrals..........626 § 454. Abschätzung des Doppelintegrals...........627 § 455. Berechnung des Doppelintegrals (einfache Fälle) .... 627 § 456. Berechnung des Doppelintegrals (allgemeiner Fall) . . . 631 § 457. Punktfunktionen..................634 § 458. Das Doppelintegral in Polarkoordinaten........635 § 459. Der Flächeninhalt eines Flächenstücks........638 § 460. Das dreifache Integral................641 § 461. Berechnung des dreifachen Integrals (einfache Fälle) . . 641 § 462. Die Berechnung eines dreifachen Integrals (allgemeiner Fall).......................642 § 463. Zylinderkoordinaten................644 § 464. Das dreifache Integral in Zylinderkoordinaten.....645 § 465. Kugelkoordinaten................645 § 466. Das dreifache Integral in Kugelkoordinaten......646 Inhaltsverzeichnis 19 § 467. Leitfaden für die Anwendung von Doppelintegralen und dreifachen Integralen................ 648 § 468- Das Trägheitsmoment............... 649 § 469. Einige physikalische und geometrische Größen, die sich durch Doppelintegrale ausdrücken lassen....... 651 § 470. Einige physikalische und geometrische Größen, die sich durch dreifache Integrale ausdrücken lassen...... 653 § 471. Das Kurvenintegral................ 654 § 472. Die Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik . . 655 § 473. Die Berechnung des Kurvenintegrals......... 656 § 474. Die GitEENsche Formel............... 658 § 475. Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Weg..................... 658 § 476. Eine andere Form für die Bedingung aus dem letzten Paragraphen.................... 660 Differentialgleichungen.................. 663 § 477. Grundbegriffe.................... 663 § 478. Gleichungen erster Ordnung............. 665 § 479. Die geometrische Bedeutung einer Gleichung erster Ord¬ nung ....................... 665 § 480. Isoklinen..................... 668 § 481. Partikuläre Lösung und allgemeine Lösung einer Gleichung erster Ordnung .................. 669 § 482. Gleichungen mit separierten Variablen ........ 670 § 483. Separation der Variablen. Singulare Lösung...... 671 § 484. Gleichungen mit totalen Differentialen........ 673 § 485. Die homogene Gleichung.............. 674 § 486. Lineare Gleichung erster Ordnung.......... 677 § 487. Die CLAiBAUTsche Gleichung............. 679 § 488. Die Enveloppe ................... 681 § 489. Die Integrierbarkeit von Differentialgleichungen .... 682 § 490. Näherungsweise Integration einer Gleichung erster Ord¬ nung nach der Methode von Eüleb.......... 682 § 491. Integration von Differentialgleichungen mit Hilfe von un¬ endlichen Reihen.................. 684 § 492. Uber das Aufstellen von Differentialgleichungen .... 686 § 493. Gleichungen zweiter Ordnung............ 690 § 494. Gleichungen п -ter Ordnung............. 692 § 495. Reduktion der Ordnung........ ....... 692 § 496. Die lineare Gleichung zweiter Ordnung........ 694 § 497. Die lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten................... 696 § 498. Die homogene lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.............. 696 § 499. Die inhomogene lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.............. 700 § 500. Lineare Gleichung beliebiger Ordnung ........ 704 § 501. Die Methode der Variation der Konstanten...... 705 § 502. Systeme von Differentialgleichungen. Lineare Systeme . 706 2* 20 Inhaltsverzeichnis Einige bemerkenswerte Kurven..............708 § 503. Die Strophoide................... 708 § 504. Die Kissoide des Diokxes .............. 710 § 505. Das Karţesische Blatt............... 712 § 506. Die Versiera der Agkesi.............. 714 § 507. Die Konchoide des Nikomedes ........... 715 § 508. Die PASCALsche Schnecke. Die Kardioide....... 719 § 509. CASSiNische Linien................. 723 § 510. Die BERNOULLische Lemniskate........... 725 §511. Die Archimedische Spirale.............. 726 § 512. Die Kreisevolvente................. 729 § 513. Die logarithmische Spirale.............. 731 § 514. Die Zykloide.................... 734 § 515. Die Epizykloide und die Hypozykloide........ 739 § 516. Die Traktrix.................... 749 § 517. Die Kettenlinie.................. 753 Tabellen.................. ......757 Sachverzeichnis.....................776
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