Partielle komplexe Differentialgleichungen in einer und in mehreren komplexen Variablen:
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Berlin
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1977
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Einleitung 9
1. Grundlagen der Theorie partieller komplexer Differentialgleichungen .... 15
1.1. Holomorphe Punktionen mehrerer komplexer Variabler 16
1.2. Partielle komplexe Differentiationen 28
1.3. Inhomogene Cauchy Riemannsche Differentialgleichung für Funktionen einer
komplexen Variablen 40
1.4. Inhomogene Cauchy Riemannsche Differentialgleichung fürPunktionen mehrerer
komplexer Variabler 51
1.5. Sobolev Ableitungen von Funktionen mit Singularitäten 56
1.6. Der Regularitätssatz für partielle komplexe Ableitungen im Sobolevschen Sinne 63
1.7. Erste Anwendungen des Regularitätssatzes 72
1.8. Der lokale Charakter der Sobolev Ableitung 79
2. Qualitative Eigenschaften von Lösungen partieller komplexer Differential¬
ungleichungen 83
2.1. Faktorisierungen von Lösungen partieller komplexer Differentialungleichungen 83
2.2. Faktorisierungen im Fall mehrerer komplexer Variabler 89
2.3. Liouville Sätze 96
2.4. Das Maximumprinzip für Lösungen partieller komplexer Differentialunglei¬
chungen 99
2.5. Ein Satz über die Verteilung stationärer Punkte bei Lösungen elliptischer Diffe¬
rentialgleichungen zweiter Ordnung 101
2.6. Lokal gleichmäßig konvergente Folgen von Lösungen partieller komplexer Diffe¬
rentialungleichungen 104
2.7. Isolierte Singularitäten 108
3. Cousinsche Glättungsverfahren 111
3.1. Das additive Cousin Problem im weiteren Sinne 111
3.2. Das additive Cousin Problem im engeren Sinne 115
3.3. Das multiplikative Cousin Problem 121
3.4. Globale Faktorisierungen 125
8 Inhalt
4. Existenzsätze 128
4.1. Konstruktion singularitätenfreier Lösungen (auch niohtlinearer) partieller kom¬
plexer Differentialgleichungen in einer komplexen Variablen 128
4.2. Lösungen partieller komplexer Differentialgleichungen mit vorgeschriebenen
Hauptteilen 147
4.3. Ein Existenzsatz für lineare partielle komplexe Differentialgleichungen .... 152
4.4. Das adjungierte lineare System 158
4.5. Die Cauchysche Integralformel für verallgemeinerte analytische Funktionen . 162
4.6. Perioden von Lösungen partieller Differentialgleichungssysteme in mehrfach
zusammenhängenden Gebieten 170
4.7. Die Beltramische Differentialgleichung 191
4.8. Vollständig integrierbare Differentialgleichungssysteme 209
4.9. Ein Existenzsatz für Lösungen partieller komplexer Differentialgleichungs¬
systeme in mehreren komplexen Variablen 226
Anhang 245
5. Funktionalanalytische und topologische Hilfsmittel 247
5.1. Banachräume 247
5.2. Der Banachsche Fixpunktsatz (Methode der sukzessiven Approximation) . . . 251
5.3. Der Schaudersche Fixpunktsatz 252
5.4. Die Neumannsche Reihe 253
5.5. Die Fredholmsche Alternative 254
5.6. Zerlegungen der Eins 255
5.7. Ein Kriterium für globale Eineindeutigkeit einer komplexen Funktion .... 259
5.8. Der Satz von AbzeiA Ascoli 260
6. Zur Theorie des Lebesgue Integrals 263
6.1. Über die Verwendung des Lebesgueschen Integralbegriffs bei der Untersuchung
von partiellen komplexen Differentialgleichungen 263
6.2. Zurückführung des Lebesgue Integrals auf das Lebesgue Maß 264
6.3. Definition des Lebesgue Integrals ohne Zurückführung auf das Lebesgue Maß 265
6.4. Eine elementare Definition des Lebesgue Integrals für eine gewisse Funktionen¬
klasse 266
6.5. Rechenregeln für das Lebesgue Integral 271
7. Hilfsmittel aus der Theorie elliptischer Differentialgleichungen 276
7.1. Das Hopfsche Maximumprinzip 276
7.2. Komplexe Methoden bei partiellen Differentialgleichungen 277
7.3. Die Greensche Integralformel 279
7.4. Randwertprobleme 285
7.5. Schwache Lösungen 285
7.6. Niehtexistenz isolierter Nullstellen elliptischer Differentialgleichungen .... 287
7.7. Isoliertheit stationärer Nullstellen elliptischer Differentialgleichungen .... 290
7.8. Ein Kriterium für nullstellenfreie Lösungen elliptischer Differentialgleichungen 296
Literatur 299
Symbole 303
Namen und Sachverzeichnis 305
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