La logique propositionnelle et ses variantes: une approche comparée
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[Montréal]
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| adam_text | Table des matières 6 Introduction 1 Le calcul des propositions 1.1 13 Le langage P du calcul des propositions......................... 13 1.1.1 L’alphabet de F.................................................... 13 1.1.2 Les atomes de F.................................................... 13 1.1.3 Les expressions bien formées de F............ ... 14 Une sémantique pour F.................................................... 14 1.2.1 Les fonctions de vérité........................................... 14 1.2.2 L’interprétation deF ............................................. 15 1.2.3 La validité et la consistance.................................. 16 1.3 Le théorème d’interpolation.............................................. 16 1.4 La finitude pour 1=.............................................................. 19 1.5 La complétude fonctionnelle de F..................................... 21 1.5.1 Les formes normales disjonctives......................... 21 1.5.2 La complétude fonctionnelle de F......................... 22 Un système déductif pour F : le système PS................ 24 1.6.1 Quelques propriétés de PS .................................. 25 1.6.2 Quelques notions de consistance syntaxique ... 25 1.2 1.6
1.7 Le théorème de la déduction.............................................. 26 1.8 La complétude sémantique de PS..................................... 29 La preuve de Kalmâr.............................................. 30 1.9 La méthode de Henkin....................................................... 35 1.9.1 Une justification de la méthode........................... 35 1.9.2 Quelques théorèmes utiles.................................... 36 1.9.3 Les ensembles maximalement consistants .... 36 1.10 La complétude syntaxique................................................. 42 1.11 La décidabilité de PS....................................................... 43 1.12 L’indépendance des axiomes de PS................................. 44 1.12.1 L’indépendance de Ai........................................... 45 1.8.1 1.13 Le système d’Anderson et Belnap (AB) 2 ........................ 46 1.13.1 La fiabilité de AB................................................. 49 1.13.2 La complétude de AB........................................... 50 Exercices supplémentaires du chapitre 1................................. 55 Solutions des exercices du chapitre 1........................................ 56 Lecalcul propositionnel partiel 69 2.1 69 La motivation....................................................................... 2.2 La sémantique partielle ........................................................ 70 2.2.1 Le langage du calcul propositionnel partiel.... 70 2.2.2 La notion de modèle partiel.................................. 70 La monotonie et la persistance
.............................. · · · · 75 2.3.1 La monotonie........................................................... 75 2.3.2 La persistance ........................................................ 77 2.4 Quelques notions de validité.............................................. 78 2.5 Un système pour la logique partielle.............................. 81 2.3
Les ensembles consistants, déductivement fermés et saturés.................................................... 82 Un système de déduction naturelle pour la lo gique partielle (DNLP~)........................... 88 2.6 Une extension de LP.......................................................... 89 2.7 La complétude fonctionnelle de LP*.............................. 91 2.8 Une algèbre de Boole et une algèbre trivalente............... 94 2.9 Les tableaux sémantiques pour la logique partielle ... 95 2.5.1 2.5.2 Solutions des exercices du chapitre 2........................................... 103 3 Une brève introduction à la logique modale 109 3.1 Introduction.............................................................. 3.2 Le langage de la logique modale (LM)............................... 110 3.3 La notion d’interprétation pour LM.................................. 111 3.4 Les différents systèmes de logique modale......................... 113 109 3.4.1 Le système K (première partie)............................... 114 3.4.2 Une méthode des arbres pour la logique modale . 116 3.4.3 La fiabilité de la méthode des arbres..................... 118 3.4.4 Le système K (deuxième partie) 3.4.5 Les autres systèmes 3.4.6 La fonction modale, le degré de modalité et les modalités itérées........................................... 126 3.4.7 Le système S4 ...........................................................129 3.4.8 Le système S5 ...........................................................132 3.4.9 La complétude des systèmes modaux..................... 135
............................121 ................................................. 123 3.4.10 La complétude de la méthode des arbres............ 139 Solutions des exercices du chapitre 3........................................... 142
4 La logique intuitionniste 151 4.1 Quelques motivations.............................................................151 4.2 Un système axiomatique pourLI........................................ 152 4.3 Une sémantique pour LI...................................................... 154 4.4 Les arbres de Beth................................................................156 4.5 La fiabilité et la complétude : lemodèle de Kripke . . . 161 4.5.1 La fiabilité 4.5.2 La complétude.......................................................... 165 ................................................................ 161 Solutions des exercices du chapitre 4........................................... 168 5 La logique classique et les probabilités 173 5.1 Introduction................................................... 5.2 La logique classique et les probabilités.............................. 175 5.3 Un système plus convivial.................................................... 177 5.4 Un système encore plus convivial : DN*........................... 185 5.5 L’équivalence de PS et de DN 5.6 La fiabilité et la complétude................................................ 187 173 .......................................... 185 5.6.1 La fiabilité 5.6.2 La complétude........................................................... 189 ................................................................. 187 Solutions des exercices du chapitre 5........................................... 196 6 La logique intuitionniste et les probabilités 199 6.1 La
motivation.......................................................................... 199 6.2 La négation forte : la syntaxe.............................................. 200 6.2.1 6.3 La syntaxe .............................................. 200 Les fonctions de probabilité partielles :la sémantique . . 203 6.3.1 La fiabilité 6.3.2 La complétude : un modèle canonique................207 ................................................................. 204
6.3.3 La logique partielle et la logique intuitionniste . 217 Solutions des exercices du chapitre 6 .... ,............................ 220 A Quelques instruments formels A.l 223 La théorie naïve des ensembles.......................................... 223 A.1.1 Introduction ................................................................ 223 A.1.2 L’ensemble, l’appartenance et l’inclusion............... 224 A.1.3 Quelques définitions d’ensembles remarquables . 225 A.1.4 Les relations et les fonctions.................. 228 A.1.5 Les morphismes.......................................................... 234 A.2 La preuve par induction........... .......................................... 235 A.2.1 L’induction mathématique........................................ 235 A.2.2 Un bel exemple : la déduction naturelle dans la logique classique.......................................... 237 A.2.3 Un autre exemple intéressant.................................. 242 A.3 Les énumérations dénombrables.......................................... 244 Solutions des exercices de l’annexe A........................................... 246 B La théorie naïve des probabilités 255 B.l La logique classique et les probabilités............................... 255 B.1.1 Une axiomatisation simple........................................ 255 B.2 Les probabilités conditionnelles ........................................... 256 B.2.1 La définition de la probabilité conditionnelle . . 256 B.2.2 L’indépendance........................................................... 258 B.3 Le théorème de
Bayes........................................................... 259 Solutions des exercices de l’annexe B........................................... 263 Bibliographie 267
Index des sujets et auteurs 271 Index des symboles 277 Bayerische Staatsbibliothek München
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