Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme:
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis Teil I Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 Einführung.............................................................................................................. 1.1 Erste Beispiele.............................................................................................. 1.2 Systeme von Differentialgleichungen........................................................ 1.3 Fragestellungen der Theorie........................................................................ 1.4 Linienelement und Richtungsfeld.............................................................. 1.5 Trennung der Variablen............................................................................... 1.6 Lineare Differentialgleichungen................................................................. 1.7 Die Phasenebene.......................................................................................... 3 4 11 12 14 16 19 22 2 Existenz und Eindeutigkeit.................................................................................. 2.1 Lipschitz-Eigenschaft und Eindeutigkeit.................................................... 2.2 Existenz von Lösungen............................................................................... 2.3 Fortsetzbarkeit und maximales Existenzintervall...................................... 2.4 Differential- und Integralungleichungen.................................................... 2.5 Globale Existenz.......................................................................................... 31 31 35 38 40 43 3 Lineare
Systeme..................................................................................................... 3.1 Homogene Systeme..................................................................................... 3.2 Inhomogene Systeme.................................................................................. 3.3 Bestimmung von Fundamentalsystemen.................................................... 3.3.1 Die d’Alembert-Reduktion........................................................... 3.3.2 Systeme mit konstanten Koeffizienten......................................... 3.4 Lineare Gleichungen höherer Ordnung..................................................... 3.4.1 Die d’Alembert-Reduktionfür Gleichungen höherer Ordnung............................................................................ 3.4.2 Variation der Konstanten.............................................................. 3.4.3 Konstante Koeffizienten................................................................ 51 51 54 55 55 57 66 67 70 72 XIII
XIV Inhaltsverzeichnis 4 Stetige und differenzierbare Abhängigkeit....................................................... 4.1 Stetige Abhängigkeit.................................................................................... 4.2 Anwendungen............................................................................................... 4.2.1 Differentialungleichungen ............................................................ 4.2.2 Positivität von Lösungen............................................................... 4.2.3 Periodische Lösungen................................................................... 4.3 Differenzierbarkeit der Lösungen nach Daten........................................... 4.3.1 Autonome Systeme........................................................................ 4.3.2 Nichtautonome Systeme................................................................ 4.4 Dynamische Systeme................................................................................... 79 79 82 82 83 85 88 88 90 93 5 Elementare Stabilitätstheorie.............................................................................. 5.1 Stabilitätsdefinitionen................................................................................... 5.2 Ebene lineare autonome Systeme................................................................ 5.3 Stabilität linearer Systeme........................................................................... 5.4 Das Prinzip der linearisierten Stabilität...................................................... 5.5 Ljapunov-
Funktionen................................................................................... 5.6 Dynamik von Viren...................................................................................... 99 99 102 109 111 121 129 Teil II Dynamische Systeme 6 Existenz und Eindeutigkeit II.............................................................................. 139 6.1 Der Existenzsatz von Peano........................................................................ 139 6.2 Nichtfortsetzbare Lösungen.......................................................................... 140 6.3 Stetige Abhängigkeit.................................................................................... 141 6.4 Differentialungleichungen.................. 144 6.5 Eindeutigkeit................................................................................................ 147 6.6 Anwendungen............................................................................................... 148 7 Invarianz................................................................................................................... 7.1 Invariante Mengen......................................................................................... 7.2 Invarianzkriterien.......................................................................................... 7.3 Konvexe invariante Mengen........................................................................ 7.4 Positiv homogene autonome Systeme......................................................... 7.5 Differentialungleichungen und
Quasimonotonie...................................... 7.6 Autonome quasimonotone Systeme............................................................ 7.7 Ein Klassenmodell für Epidemien............................................................... 153 153 159 161 165 170 174 177 8 Ljapunov-Funktionen und Stabilität.................................................................. 8.1 Ljapunov-Funktionen................................................................................... 8.2 Stabilität........................................................................................................ 8.3 Ljapunovs direkte Methode......................................................................... 183 183 188 191
Inhaltsverzeichnis 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 XV Limesmengen und das Invarianzprinzip..................................................... Mathematische Genetik............................................................................... Gradientenartige Systeme............................................................................ Chemische Reaktionssysteme..................................................................... Die Methode von Lojasiewicz..................................................................... Ljapunov-Funktionen und Konvergenzraten.............................................. 194 199 201 203 209 216 9 Ebene autonome Systeme..................................................................................... 9.1 Transversalen................................................................................................ 9.2 Poincaré-Bendixson-Theorie...................................................................... 9.3 Periodische Lösungen.................................................................................. 9.4 Lienard-Gleichung....................................................................................... 9.5 Biochemische Oszillationen........................................................................ 9.6 Der Index isolierter Equilibria..................................................................... 225 225 229 234 236 240 243 10 Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten......................................... 10.1 Sattelpunkte autonomer
Systeme................................................................ 10.2 Ebene Wellen für Reaktions-Diffusionsgleichungen................................ 10.3 Das Hartman-Grobman Theorem................................................................ 10.4 Normal stabile Equilibria............................................................................ 10.5 Normal hyperbolische Equilibria................................................................ 10.6 Teilchen im Potentialfeld mit Dämpfung .................................................. 10.7 Die stabile und die instabile Faserung........................................................ 251 251 256 259 266 273 279 282 11 Periodische Lösungen........................................................................................... 11.1 Der Funktionalkalkül.................................................................................... 11.2 Floquet-Theorie............................................................................................ 11.3 Lineare periodische Gleichungen................................................................ 11.4 Stabilität periodischer Lösungen................................................................ 11.5 Parameterabhängigkeit periodischer Lösungen......................................... 291 291 294 300 303 312 12 Verzweigungstheorie............................................................................................. 12.1 Umkehrpunkte............................................................................................... 12.2 Pitchfork-
Verzweigung................................................................................. 12.3 Hopf-Verzweigung....................................................................................... 12.4 Periodische Lösungen Hamiltonscher Systeme......................................... 12.5 Stabilität bei Hopf-Verzweigung................................................................ 12.6 Chemische Reaktionstechnik...................................................................... 12.7 Verzweigung und Symmetrien..................................................................... 319 319 325 331 337 338 342 348
XVI Inhaltsverzeichnis 13 Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten.............................................. 13.1 Mannigfaltigkeiten im R”............................................................................ 13.2 Wohlgestelltheit............................................................................................ 13.3 Linearisierung............................................................................................... 13.4 Zwangsbedingungen.................................................................................... 13.5 Geodätische................................................................................................... 13.6 Das Zweikörperproblem.............................................................................. 357 357 361 363 364 368 373 14 Weitere Anwendungen.......................................................................................... 14.1 Das FitzHugh-Nagumo System................................................................... 14.2 Wellenzüge für das FitzHugh-Nagumo System mit Diffusion................. 14.3 Konvexe Funktionen.................................................................................... 14.3.1 Konvexe Funktionen...................................................................... 14.3.2 Subdifferentiale.............................................................................. 14.4 Subdifferentialgleichungen......................................................................... 14.4.1 Differential-
Inklusionen................................................................ 14.4.2 Differential-Variationsungleichungen......................................... 14.4.3 Asymptotisches Verhalten............................................................. 381 381 386 394 394 397 404 405 409 415 Epilog................................................................................................................................ 419 Literatur.......................................................................................................................... 425 Stichwortverzeichnis...................................................................................................... 429
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