Analysis – Grundlagen und Exkurse: Grundprinzipien der Differential- und Integralrechnung
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegendes........................................................................................................ 1 2 Zahlen........................................................................................................................ 2.1 Die Axiome der reellen Zahlen....................................................................... 2.2 Die natürlichen Zahlen und vollständige Induktion...................................... 2.3 Wurzeln............................................................................................................ 2.4 Der euklidische Raum und die komplexen Zahlen................................. 2.5 Exkurs: Quaternionen*.................................................................................... 2.6 Übungsaufgaben............................................................................................... 11 11 18 29 33 43 47 3 Folgen und Reihen .................................................................................................. 3.1 Folgen............................................................................................................... 3.2 Reihen............................................................................................................... 3.3 Konvergente Folgen in ................................................................................ 3.4 Reihen in Rd .................................................................................................... 3.5 Exkurs:
Finanzmathematik*........................................................................... 3.6 Exkurs: Konstruktion der reellen Zahlen*..................................................... 3.7 Übungsaufgaben............................................................................................... 51 51 63 68 71 77 80 83 4 Stetigkeit................................................................................................................... 87 4.1 Grenzwerte von Funktionen........................................................................... 87 4.2 Stetige Funktionen........................................................................................... 93 4.3 Die Exponentialfunktion und aus ihr abgeleitete Funktionen...................... 102 4.4 Konvergenz von Funktionenfolgen................................................................ 118 4.5 Exkurs: Chaostheorie*.................................................................................... 124 4.6 Übungsaufgaben............................................................................................... 130 5 Differentialrechnung............................................................................................... 135 5.1 Differenzierbare Funktionen........................................................................... 135 5.2 Der Mittelwertsatz........................................................................................... 142 IX
x Inhaltsverzeichnis 5.3 5.4 5.5 Höhere Ableitungen und die Taylor-Entwicklung......................................... 153 Exkurs: Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen*............................. 163 Übungsaufgaben................................................................................................. 171 6 Das eindimensionale Riemannsche Integral........................................................ 6.1 Definition des Riemann-Integrals.................................................................... 6.2 Zusammenhang zwischen Integration und Differentiation........................... 6.3 Uneigentliche Integrale...................................................................................... 6.4 Übungsaufgaben................................................................................................. 173 174 186 191 196 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen.................................................................... 7.1 Einige elementare Lösungsmethoden............................................................. 7.2 Das Anfangswertproblem ֊ Existenz und Eindeutigkeit ............................. 7.3 Exkurs: Numerische Lösung von Differentialgleichungen*......................... 7.4 Übungsaufgaben................................................................................................. 201 201 215 238 245 8 Differenzierbare Funktionen mehrerer Veränderlicher.................................... 8.1 Richtungsableitung und partielle Ableitung.................................................... 8.2 Das
Differential................................................................................................. 8.3 Die Kettenregel ................................................................................................. 8.4 Höhere partielle Ableitungen und Differentiale............................................. 8.5 Taylor-Formel und Extremwerte...................................................................... 8.6 Exkurs: Ausgleichsrechnung*.......................................................................... 8.7 Übungsaufgaben................................................................................................. 247 247 249 253 258 263 269 271 9 Wegintegrale.............................................................................................................. 9.1 Das Wegintegral und seine Eigenschaften...................................................... 9.2 Existenz eines Potenzials................................................................................. 9.3 Komplexe Kurvenintegrale............................................................................... 9.4 Exkurs: Die Cauchy sehe Integralformel* ...................................................... 9.5 Exkurs: Primzahlen und die Riemannsche Zetafunktion* ........................... 9.6 Übungsaufgaben................................................................................................. 273 274 281 287 291 298 302 10 Lineare Algebra ........................................................................................................ 10.1 Lineare
Gleichungssysteme ............................................................................. 10.2 Lineare Abbildungen........................................................................................ 10.3 Determinanten................................................................................................... 10.4 Eigenwerte und Вilinearformen ...................................................................... 10.5 Polynome............................................................................................................ 305 305 306 312 315 321 11 Lösungen der Aufgaben.......................................................................................... 11.1 Aufgaben zu Kap. 2.......................................................................................... 11.2 Aufgaben zu Kap. 3 .......................................................................................... 11.3 Aufgaben zu Kap. 4.......................................................................................... 11.4 Aufgaben zu Kap. 5 .......................................................................................... 323 323 329 337 343
XI Inhaltsverzeichnis 11.5 11.6 11.7 11.8 Aufgaben Aufgaben Aufgaben Aufgaben zu zu zu zu Kap. 6......................................................................................... Kap. 7 ......................................................................................... Kap. 8 ......................................................................................... Kap. 9 ......................................................................................... 346 353 358 362 Literatur.......................................................................................................................... 367 Stichwortverzeichnis...................................................................................................... 369
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