Von Eins bis Neun - Große Wunder hinter kleinen Zahlen: über 100 mathematische Exkursionen für Neugierige und Genießer
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Die Zahl Eins 1
Geschnittene Origamis 2
Die Fibonacci-Zahlenfolge und der Goldene Schnitt 2
Die eindeutige Darstellung von Zahlen 5
Zur Faktorzerlegung von Knoten 6
Abzahlbare Mengen und die Stern-Brocot-Folge 8
Fraktale 10
Gilbreaths Vermutung 13
Das Benfordsche Gesetz 14
Der Fixpunktsatz von Brouwer 16
Inverse Probleme 17
Perfekte Quadrate 18
Der Satz von Bohr-Moilerup 19
Die Sätze von Picard 21
2 Die Zahl Zwei 23
Der Jordansche Kurvensatz und Paritätsargumente 23
Das Seitenverhältnis 25
Wie symmetrisch sind Sie? 26
Der Satz des Pythagoras 27
Beatty-Folgen 30
Die Euler sehe Formel 31
VII
VIII
Inhaltsverzeichnis
f
Bedeutende Probleme 32
Die Goldbach’sche Vermutung 33
Gequetschte Primzahlen 34
Die Primzahlzwillings-Vermutung 34
Primzahlen in schnellerer Abfolge 36
Der Satz von Stone-Tukey 3g
Potenzmengen und Zweierpotenzen 33
Der Satz von Sylvester-Gallai 4
Formeln für 7t 4
Die Multiplikation 43
Die Thue-Morse-Folge 43
Dualität 46
Apollonische Kreispackungen 49
Vollkommene Zahlen und
Mersenne-Primzahlen 51
Die pythagoreische Stimmung und die Wurzel aus 2 52
Reziprok quadratische Abstandsgesetze 55
Die Ungleichheit von arithmetischem
und geometrischem Mittel 56
Positive Polynome 57
Das Newton-Verfahren zum Ermitteln von Nullstellen 59
Mehr zur Division mittels Multiplikation 61
Der Reiz von 7T2/6 62
Die Jacobi-Vermutungen 65
3 Die Zahl Drei 69
Das (3x + l)-Problem 69
Dreieckzahlen und bulgarisches Solitär 71
Schere, Stein, Papier und die Borromäischen Ringe 73
Zufallsbewegungen 76
Die Dreiteilung von Winkeln 77
Das Drei-Körper-Problem 78
Der Lorenz-Attraktor und das Chaos 80
Die Periode 3 bedeutet Chaos 83
Muster bei den Sternen 85
Der Große Fermat sehe Satz 86
Reste gefällig? 89
Ägyptische Brüche 90
Arrows Unmöglichkeitstheorem 93
Inhaltsverzeichnis
IX
Kartierungsoberflächen 95
Aufsicht in einer Galerie 96
Die Poincaré-Vermutung 97
Monges Drei-Kreise-Problem 99
Der Satz von Marden 101
Das Reuleaux-Dreieck 103
Der dritte kritische Punkt 105
Summen dritter Potenzen 107
Näherungen für Zerfallsgesetze 109
4 Die Zahl Vier 111
Der Vier-Farben-Satz 112
Der Tennisballsatz 114
Identitäten von Summen von Quadraten 115
Vier-Teile-Puzzle 116
Ducci-Folgen 117
Die Euler sehe Potenzsummenvermutung 120
Villarceau-Kreise 121
Das Problem einbeschriebener Quadrate 123
Regelmäßige Vielecke auf dem Computerbildschirm 125
Das Problem der vier Reisenden 126
Die Vermutung über die vier Exponenten 128
Sehnenvierecke 130
Das Huträtsel 132
5 Die Zahl Fünf 133
Der Fünf-Kreise-Satz von Miquel 133
Die platonischen Körper 134
Zur Lösung von Polynomgleichungen 135
Die Diophantische Approximation 138
Der Petersen-Graph 139
Das Happy-End-Problem 141
Parkettierungen 142
Von Kugeln und Wursten 145
Rösselsprung auf rechteckigen Spielbrettern 146
Ein Zauberkunststück mit fünf Karten 148
Von Fußbällen und Kuppeln 150
Endlose Rekursion 151
Die Rogers-Ramanujan-Identitäten 152
157
157
161
162
164
165
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169
169
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179
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188
189
193
193
194
195
198
199
200
204
Inhaltsverzeichnis
Die Zahl Sechs
Die optimale Packung
Von Bekannten und Fremden
Das Kleine-Welt-Phänomen
Ein Collier aus Kugeloberflächen
Sechsecke im Pascal’schen Dreieck
Das Brettspiel Hex
Die Wendt-Determinante
Sechs Längen in der Geometrie
Der Satz von Ceva
Der Satz von Menelaos
Der Satz von Haruki
Die Zahl Sieben
Der Sieben-Kreise-Satz
Die Nachkommastellen von 1/7 und Ellipsen
Die Strassen’sche Matrizenmultiplikation
Die Fano-Ebene
Friesmuster
Das Szilassi-Polyeder und der
Heawood-Graph
Kuratowskis Abschluss-Komplement-Satz
Hört man die Form einer Trommel?
Barker-Codes
Mathematische Spielereien
Experimente mit Integralen
Die Zahl Acht
Das Pizzatheorem
Wie man Karten mischt
Das Spiel des Lebens
Wiederholungen im Pascal sehen Dreieck
Der Sierpihski-Teppich
Quaternionen und Oktonionen
Der £g-Gipfel
Inhaltsverzeichnis
XI
9 Die Zahl Neun
Neun Punkte und Kollinearität
Die Neunerprobe
Primzahlen und Neunen
Ungerade vollkommene Zahlen
Primzahlzwillinge
Nahegelegene Primzahlen
Der 15-Satz
Wie man Kreise mit zwei Größen packt
Die Catalan’sche Vermutung
Die Heegner-Zahlen
207
208
209
210
210
211
211
211
213
214
215
10 Losungen
Vier-Teile-Puzzle (4. Kapitel)
Das Huträtsel (4. Kapitel)
Kuratowskis Abschluss-Komplement-Satz (7. Kapitel)
Mathematische Spielereien (7. Kapitel)
219
219
219
220
220
Literatur
221
Sachverzeichnis
225
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