Funktionen einer reellen Veränderlichen - Grauert, Hans 1930-2011 (Springer Berlin Heidelberg, 1970)
VIII Reelle Funktionen werden im vierten Kapitel behandelt. Vor den stetigen werden halbstetige Funktionen definiert. Dieser Funktionstyp ist in Kapitel VII für die Definition von Umgebungen im Funktionsraum wichtig und damit zur Einführung des Lebesgueschen Integrals, das in diesem Buch das unbefriedigende Riemannsche Integral ablöst. Mit Hilfe des Stetigkeitsbegriffes können dann in Kapitel V differenzierbare Funktionen ohne Benutzung eines erneuten Grenzüberganges erklärt werden. Auf diese Weise ergeben sich wesentliche Vereinfachungen bei der Herleitung der Differentiationsregeln; außerdem überträgt sich die Definition unverändert auf allgemeinste Fälle (totale Differenzierbarkeit bei mehreren Veränderlichen, Funktionen auf topologischen Vektorräumen). Ein besonderes Kapitel ist den Reihenentwicklungen und den elementaren Funktionen gewidmet. Die Taylorsche Formel (mit der Lagrangeschen Form des Restgliedes) wird zu einer umfassenden Interpolations- und Extrapolationsformel erweitert, auf die man sich bei den Fehlerabschätzungen im Abschnitt über numerische Integration stützen kann. - Besonderen Wert haben wir auf eine sorgfältige Diskussion der elementaren Funktionen gelegt. Es erscheint am zweckmäßigsten, sie durch ihre Potenzreihenentwicklung einzuführen; allerdings kann an dieser Stelle, da der Integralbegriff noch nicht zur Verfügung steht und deshalb Winkel- und Längenmessung nicht möglich sind, der Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der Geometrie nicht behandelt werden
Keywords: Mathematics; Mathematics, general; Mathematik