Availability: Grundwissen Mathematikstudium | Technische Universität München

Grundwissen Mathematikstudium: höhere Analysis, Numerik und Stochastik

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Main Authors:	Brokate, Martin 1953- (Author), Henze, Norbert 1951- (Author), Hettlich, Frank 1963- (Author), Meister, Andreas 1966- (Author), Schranz-Kirlinger, Gabriela (Author), Sonar, Thomas 1958- (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Berlin Springer Spektrum [2016]
Series:	Lehrbuch
Subjects:	Mathematik Numerische Mathematik Stochastik Analysis Lehrbuch
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ISBN:	9783642450778

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adam_text	nhaltsve .in Vorwort V enicun Wissenschaft . ...... .....··.··· . 1.1 über Mathematik, Mathematiker und dieses Lehrbuch .................. 1.2 Die didaktischen Elemente dieses Lehrbuchs ........................... 1.3 Ratschläge zum weiterführenden Studium der Mathematik ...................... 1.4 Entwicklung und historische Einordnung der Gebiete .................... Funktionentheorie ֊-■ Analysis im Komplexen ...... s ։ ։. ......... 5.1 Holomorphe Funktionen ......... 5.2 Das Wegintegral im Komplexen .. 5.3 Der Integralsatz von Cauchy ... 5.4 Nullstellen _................. 5.5 Identitätssatz und Maximumprinzip 5.6 Singularitäten .................. 5.7 Laurentreihen .................. 5.8 Der Residuensatz ............... Zusammenfassung .............. Aufgaben ...................... A) 96 102 107 116 119 124 130 134 142 145 .mear Aston Prclnu uieu. ՛! ; i a 1/. / O! ! ...» LC 2.1 Grundlagen — 16 6.1 Mannigfaltigkeiten in W ............... 150 2.2 Systeme von Differenzialgleichungen ..... 19 6.2 Differenzialformen 159 2.3 Differenzialgleichungen höherer Ordnung . 27 6.3 Integration von Formen und der Satz von Zusammenfassung 34 Stokes ..... 183 Aufgaben .......... 36 Zusammenfassung ..... 203 Aufgaben .......... 205 Ua Dif sin 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 idwertproblomc und nichtlineare ferenzialgleichungen - Funktionen d gesucht ............... Separable Differenzialgleichungen .... Exakte Differenzialgleichungen und integrierender Faktor ...........__ Randwertprobleme ................. Eigenwertprobleme ............ Die Laplace-Transformation ___...... Zusammenfassung ................... Aufgaben .................... 42 47 52 57 62 66 68 Auulnotnm !nem io mnsonsvnn MjiyiKc ji;՝ii und mehr als nMiMcncoc; : hsUilCjOi! _.................. ... 4.1 Maximales Existenzintervall und stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Griinclzücje der Maß- und Integration: theorie “ vorn Messen und Mitiein . 7.1 Inhaltsproblem und Maßproblem 7.2 Mengensysteme ............... 7.3 Inhalte und Maße .............. 7.4 Messbare Abbildungen, Bildmaße 7.5 Das Maß-Integral ____............. 7.6 Nullmengen, Konvergenzsätze ........ 7.7 ¿/’-Räume .................. 7.8 Maße mit Dichten .............. 7.9 Produktmaße, Satz von Fubini __ Zusammenfassung ................. Aufgaben ......................... ton 210 212 216 227 236 244 247 251 258 264 266 4.2 Daten Stabilität und Fluss . 72 74 0 i.liiXui՜:-: I ! hl iO hu iciOi idiyci·- ■ ■ C MTdio 4.3 Stabilität von linearen Systemen und MdI i; MdÜi/Oil , . . . . . Linearisierung . 81 8.1 Lineare beschränkte Operatoren .... 274 4.4 Der Satz von Poincare-Bendixson ....... 85 8.2 Grundlegende Prinzipien der 4.5 Bifurkation: Verzweigung von Funktionalanalysis .... 288 Gleichgewichtspunkten ................ , 86 8.3 Funktionale und Dualräume .... 295 Zusammenfassung 88 Zusammenfassung .... 308 Aufgaben . 91 Aufgaben .... 309 9 Fredholm-Gleichiingen ֊֊ kompakte 4 Numerik linearer (ileidumcjr.syivUitnc Störungen der Identität 313 Mill on(Mi von Variablen im drhi do;j 9.1 Kompakte Mengen und Operatoren 314 14.1 Gauß-Elimination und QR-Zerlegung ..... 484 9.2 Die Riesz֊Theorie 320 14.2 Splitting-Methoden 499 9.3 Die Fredholnïsche Alternative ........... 325 14.3 Mehrgitterverfahren ........ 512 Zusammenfassung 336 14.4 Krylov-Unterraum-Methoden .... 521 Aufgaben 337 Zusammenfassung 541 Aufgaben 543 Hilberträume fast wie im Anschauuncjsraum 341 13 Nun lensdi-e hnnnwedhemehnnn»՝) ■ 10.1 Funktionale in Hilberträumen . 342 ՛ ■ ՛ , ·: d;di;vd nnn /apdmd.:-dd. 10.2 Fouriertheorie . 349 15.1 Eigenwerteinschließungen 548 10.3 Spektraltheorie kompakter, 15.2 Potenzmethode und Varianten 555 selbstadjungierter Operatoren .......... . 358 15.3 Jacobi-Verfahren 561 Zusammenfassung . 369 15.4 QR-Verfahren 568 Aufgaben .......... .............. . 370 Zusammenfassung 578 Aufgaben 579 Warum Numerische ;v3«henis9ka iViodeiliemna, Simulation und /9 Lineare Aure:Lre:3w:re:L/a;ee in Maare՛ QDtirnmrunq 3/4 das ¡laste 33a 11.1 Chancen und Gefahren ............ — . 374 16.1 Existenz und Eindeutigkeit 584 11.2 Ordnungssymbole und Genauigkeit . 378 16.2 Lösung der Normalgleichung ........... 591 11.3 Kondition und Stabilität ... ........ . 384 16.3 Lösung des Minimierungsproblems ...... 593 Zusammenfassung . 391 16.4 Störungstheorie 603 Aufgaben . 394 Zusammenfassung .......... ....... 605 Aufgaben 608 Interpolation ■ Splines und mehr 39/ 12.1 Der Weierstraß sche Approximationssatz f/ imd umuäia %m:iutdnm/n unu ■ ■ und die Bernstein-Polynome ........... . 398 dJiT criredi aidam; ■: 12,2 Die Lagrange sche Interpolationsformel .. . 401 17.1 Bisektion, Regula Falsi, Sekantenmethode 12.3 Newton sche Interpolationsformel ....... . 407 und Newton-Verfahren ................. 612 12.4 Splines . 416 17.2 Die Theorie der Iterationsverfahren ...... 621 12.5 Trigonometrische Polynome . 422 17.3 Das Newton-Verfahren und seine Zusammenfassung .................... . 431 Varianten 630 Aufgaben . 435 17.4 Die Dynamik von iterationsverfahren - Xiudi iitUl a re. i! lOti iOiii Vf! 13.1 Grundlegende Definitionen .............. 440 13.2 Interpolatorische Quadraturformeln —.. 443 13.3 Eine Fehlertheorie mit Peano-Kernen ..... 453 13.4 Von der Trapezregel durch Extrapolation zu neuen Ufern ,......... 459 13.5 Gauß-Quadratur ...................... 464 13.6 Was es noch gibt: Adaptive Quadratur, uneigentliche Integrale und optimale Quadraturverfahren .................... 473 Zusammenfassung ...................... 477 Aufgaben ................................ 480 Ordnung und Chaos _____............... 642 Zusammenfassung .................. 647 Aufgaben ............................. 650 :Y. remdre k . 3 i . ddd u io i :* ՛ 18.1 Grundlagen ............................... 656 18.2 Einschrittverfahren....................... 658 18.3 Mehrschrittverfahren ................... 673 18.4 Unbedingt positivitätserhaltende Verfahren ............................ 687 Zusammenfassung ..................... 695 Aufgaben .............................. 697 19.1 Grundräume und Ereignisse .............. 702 19.2 Zufallsvariablen ..................... 705 19.3 Das Kolmogorov sche Axiomensystem _______ 707 19.4 Verteilungen von Zufallsvariablen, Beispiel-Klassen ....................... 709 19.5 Folgerungen aus den Axiomen .......... 714 19.6 Elemente der Kombinatorik ____......... 719 19.7 Urnen- und Fächer-Modelle ............. 724 Zusammenfassung ....................... 728 Aufgaben ............................. 731 20.1 Modellierung mehrstufiger stochastischer Vorgänge ............................. 736 20.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten .......... 739 20.3 Stochastische Unabhängigkeit ........... 744 20.4 Folgen unabhängiger Zufallsvariablen .... 751 20.5 Markov-Ketten .......................... 754 Zusammenfassung ........................ 762 Aufgaben ............................ 764 2.1.1 Diskrete Zufallsvariablen ................ 770 21.2 Erwartungswert und Varianz .............. 773 21.3 Wichtige diskrete Verteilungen .......... 782 21.4 Kovarianz und Korrelation ............... 788 21.5 Bedingte Erwartungswerte und bedingte Verteilungen .................... /94 21.6 Erzeugende Funktionen ....____......... 800 Zusammenfassung ....................... 803 Aufgaben ............................... 806 22.1 Verteilungsfunktionen und Dichten ..._____ 814 22.2 Transformationen von Verteilungen ........ 822 22.3 Kenngrößen von Verteilungen ........... 833 22.4 Wichtige stetige Verteilungen ......... 841 22.5 Bedingte Verteilungen und bedingte Dichten ..........................._______ 846 22.6 Charakteristische Funktionen (Fourier-Transformation) ................ 853 Zusammenfassung ..............._________ 859 Aufgaben ..........................____ 861 23.1 Konvergenz fast sicher, stochastisch und im p-ten Mittel ....___............_______ 868 23.2 Das starke Gesetz großer Zahlen ........ 872 23.3 Verteilungskonvergenz ................. 878 23.4 Zentrale Grenzwertsätze _____............ 887 Zusammenfassung .................... 895 Aufgaben ..................... ......... 896 24.1 Einführende Betrachtungen .............. 902 24.2 Punktschätzung ...................._____ 906 24.3 Konfidenzbereiche ...................... 916 24.4 Statistische Tests ................... 927 24.5 Optimalitätsfragen: Das Lemma von Neyman-Pearson ........................ 944 24.6 Elemente der nichtparametrischen Statistik ............................... 949 Zusammenfassung ..................... 963 Aufgaben ................................ 965 Hinweise zu den Aufgaben 9/1 Lösungen m den Aufgaben 98?. 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