Elementare Stochastik: mathematische Grundlagen und didaktische Konzepte
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2014
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| Ausgabe: | 3. Aufl., korr. Nachdr. |
| Schriftenreihe: | Mathematik Primar- und Sekundarstufe I + II
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| Umfang: | XII, 414 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783642408571 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Beschreibende Statistik................................... 1
1.1 Die historische Entwicklung der Statistik — ein kurzer Abriss...... 1
1.1.1 Die Amtliche Statistik ................................. 2
1.1.2 Die Politische Arithmetik............................... 5
1.1.3 Die Universitätsstatistik und ihre Weiterentwicklung....... 5
1.2 Grundbegriffe der beschreibenden Statistik und Aufbereitung der
Daten ..................................................... 8
1.2.1 Statistische Erhebung, Daten, Merkmale,
Merkmalsausprägungen ................................ 8
1.2.2 Graphische Darstellungen von Daten..................... 14
1.2.3 Lageparameter........................................ 29
1.2.4 Streuungsparameter ................................... 45
1.2.5 Lineare Regression..................................... 53
1.2.6 Korrelation.......................................... . 61
1.2.7 Fehler und Manipulationsmöglichkeiten................... 65
1.2.8 Aufgaben und Ergänzungen............................. 65
2 Wahrscheinlichkeit........................................ 71
2.1 Zufall und Wahrscheinlichkeit................................. 71
2.2 Mathematik des Zufalls...................................... 72
2.3 Entwicklung der klassischen Wahrscheinlichkeit ................. 76
2.3.1 Berühmte historische Beispiele und einige
interessante Briefwechsel............................... 76
2.3.2 Aufgaben und Ergänzungen............................. 84
2.4 Zur geschichtlichen Entwicklung der Stochastik ................. 85
2.5 Schritte zur Mathematisierung................................ 89
2.5.1 Zum Modellbildungsprozess............................. 89
2.5.2 Aufgaben und Ergänzungen............................. 96
2.6 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume (Teil 1)..................... 97
2.6.1 Das Axiomensystem von Kolmogoroff.................... 97
2.6.2 Folgerungen aus dem Axiomensystem — Rechnen mit
Wahrscheinlichkeiten................................... 103
2.6.3 Ein zum Axiomensystem von Kolmogoroff äquivalentes
Axiomensystem....................................... 112
2.6.4 Die
Laplace-
Verteilung (Gleichverteilung)................. 115
2.6.5 Aufgaben und Ergänzungen............................. 119
2.7 Geometrische Wahrscheinlichkeiten............................ 121
2.7.1 Vier Beispiele: Glücksrad, Zielscheibe,
Paradoxon von Bertrand, Nadelproblem von Buffon........ 121
2.7.2 Aufgaben und Ergänzungen............................. 128
2.8 Kombinatorisches Zählen..................................... 129
χ
Inhaltsverzeichnis
2.8.1 Abzählen............................................. 129
2.8.2 Allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik................ 131
2.8.3 Kombinatorische Figuren............................... 137
2.8.4 Anwendungen der kombinatorischen Figuren.............. 153
2.8.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorikaufgaben
- Ein didaktischer Aspekt.............................. 162
2.8.6 Aufgaben und Ergänzungen............................. 165
2.9 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume (Teil 2)..................... 168
2.9.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit —
Stochastische
Unabhängigkeit von Ereignissen......................... 168
2.9.2 Bernoulli-Ketten...................................... 187
2.9.3 Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von
Bayes
............. 194
2.9.4 Aufgaben und Ergänzungen............................. 207
3 Simulation und Zufallszahlen.............................. 213
3.1 Begriffserklärungen und Beispiele.............................. 213
3.2 Aufgaben und Ergänzungen.................................. 226
4 Diskrete Zu falls variable, Er wart
ungs
wert und Varianz .... 229
4.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung................ 229
4.2 Kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ........... 237
4.3 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen........... 239
4.3.1 Erwartungswert....................................... 239
4.3.2 Varianz .............................................. 245
4.4 Mehrere Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum....... 250
4.4.1 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen..................... 250
4.4.2 Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler..... 252
4.4.3 Varianz einer Summe diskreter Zufalls variabler............ 253
4.5 Aufgaben und Ergänzungen.................................. 255
5 Spezielle diskrete Verteilungen............................ 259
5.1 Binomialverteilung.......................................... 259
5.2 Hypergeometrische Verteilung ................................ 263
5.3 Zusammenhang zwischen Verteilungen......................... 267
5.4 Geometrische Verteilung (Pascal-Verteilung).................... 269
5.5 Aufgaben und Ergänzungen.................................. 273
6 Ungleichung von Tschebyscheff für diskrete Zufalls varia¬
ble und Schwaches Gesetz der großen Zahlen von
Bernoulli
275
6.1 Ungleichung von Tschebyscheff................................ 275
6.2 Schwaches Gesetz der großen Zahlen........................... 279
6.3 Aufgaben und Ergänzungen.................................. 282
7 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume..................... 283
7.1 Abzählbar-unendliche Wahrscheinlichkeitsräume ................ 284
7.2 Überabzählbar-unendliche Wahrscheinlichkeitsräume............. 286
Inhaltsverzeichnis xi
7.2.1 Die Menge
IR
und das System der Borelmen^en auf
IR
..... 286
7.2.2 Abstrakte Wahrscheinlichkeitsräume..................... 290
7.3 Aufgaben und Ergänzungen.................................. 292
8 Wahrscheinlichkeitsmaße auf
(IR,
Β (Ζ))
.................... 293
8.1 Verteilungsfunktionen und Dichtefunktionen.................... 295
8.2 Verteilungsfunktionen zu vorgegebenen Dichtefunktionen......... 300
8.2.1 Konstruktion einer stetigen Verteilungsfunktion zu einer
Dichtefunktion........................................ 300
8.2.2 Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch
Integrale über eine Dichtefunktion....................... 301
8.3 Rechteckverteilung.......................................... 303
8.4 Exponentialverteilung........................................ 304
8.5 Normalverteilung (Gauß-Verteilung)........................... 308
8.5.1 Eigenschaften der Dichtefunktion........................ 309
8.5.2 Die Standard-Normalverteilung.......................... 311
8.5.3 Approximation der Binomialverteilung mittels der Normal¬
verteilung ............................................ 316
8.5.4 Die Sigma-Regein für die Normalverteilung............... 318
8.6 Er war
t ungs
wer
t
und Varianz für Verteilungsfunktionen........... 319
8.7 Ausblick: Abstrakte Zufallsvariable............................ 325
8.7.1 Messbare Abbildungen................................. 325
8.7.2 Zufallsvariable mit Werten in
IR
......................... 326
8.8 Aufgaben und Ergänzungen.................................. 327
9 Schätzen.................................................. 331
9.1 Die Maximurn-Likelihood-Methode............................ 331
9.2 Schätzen von Erwartungswert und Varianz..................... 337
9.3 Konfidenzintervalle.......................................... 342
9.3.1 Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit bei einer bi-
nomialverteilten Zufallsvariablen ........................ 342
9.3.2 Konfidenzintervalle bei
Ν(μ. σ2)-
verteilten Funktionen..... 345
9.4 Aufgaben und Ergänzungen.................................. 347
10 Testen.................................................... 349
10.1 Einseitige Tests............................................. 349
10.2 Zweiseitige Tests............................................ 353
10.3 Testen unter Verwendung der Normal Verteilung................. 356
10.4 Zusammenfassung zum Thema „Hypothesentest ................ 360
10.5 Qualitätskontrolle........................................... 361
10.6 Aufgaben und Ergänzungen.................................. 372
11 Lösungshinweise zu den Aufgaben ........................ 375
11.1 Aufgaben aus Kapitel 1, Abschnitt 1.2.8 ....................... 375
11.2 Aufgaben aus Kapitel 2...................................... 379
xii Inhaltsverzeichnis
11.2.1 Abschnitt 2.3.2........................................ 379
11.2.2 Abschnitt 2.5.2........................................ 379
11.2.3 Abschnitt 2.6.5........................................ 380
11.2.4 Abschnitt 2.7.2........................................ 380
11.2.5 Abschnitt 2.8.6........................................ 381
11.2.6 Abschnitt 2.9.4........................................ 382
11.3 Aufgaben aus Kapitel 3, Abschnitt 3.2......................... 385
11.4 Aufgaben aus Kapitel 4, Abschnitt 4.5......................... 387
11.5 Aufgaben aus Kapitel 5, Abschnitt 5.5......................... 390
11.6 Aufgaben aus Kapitel 6, Abschnitt 6.3......................... 391
11.7 Aufgaben aus Kapitel 7, Abschnitt 7.3......................... 392
11.8 Aufgaben aus Kapitel 8, Abschnitt 8.8......................... 393
11.9 Aufgaben aus Kapitel 9, Abschnitt 9.4......................... 395
11.10 Aufgaben aus Kapitel 10, Abschnitt 10.6....................... 398
Literaturverzeichnis............................................... 403
Index............................................................ 411
Elementare Stochastik
Praxisnah und gut lesbar Beschrieben, vermittelt dieses Werk einen Einblick in die
Wissenschaft, die sich mit Zufallserscheinungen befasst. Der Leser lernt die „Ma¬
thematik des Zufalls kennen und verstehen. In der vorliegenden überarbeiteten
und durch Aufnahme von zwei Kapiteln zur Statistik erweiterten dritten Auflage
werden gründlich u. a. folgende zentrale Themen behandelt:
• Deskriptive Statistik: Historische Entwicklung, Erhebung und Aufbereitung
von Daten (Lage- und Streuungsparameter), Lineare Regression und
Korrelation
• Genese der Wahrscheinlichkeitstheorie mit ihren faszinierenden Beispielen
aus dem 17. Jahrhundert
• Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie im 20. Jahrhundert
• Grundbegriffe der Kombinatorik
t
Simulation von Zufallsexperimenten
• Diskrete Zufallsvariable
• Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume
• Stetige Verteilungsfunktionen
• Induktive Statistik: Schätztheorie, Testtheorie (ein- und zweiseitige Tests,
Gütefunktionen), Konfidenzintervalle
Besonderer Wert wird auf das Modellieren gelegt, d. h. auf die Kompetenz, Sachver-
halte der Alltagswirklichkeit in mathematische Modelle zu übertragen.
Beispiele und Übungsaufgaben - für das Verstehen von Mathematik von eminenter
Bedeutung - nehmen in diesem Buch einen breiten Raum ein. Im Anhang sind
Lösungen aneeeeben.
Das Buch wendet sich an Lehramts-Studierende, die Mathematik als eines ihrer
Fächer haben, an Studierende in den Bachelor- und Masterstudiengängen und an
Lehrende mit dem Fach Mathematik.
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