Verfügbarkeit: Analysis | Technische Universität München

Analysis: 1

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Bibliographische Detailangaben
Beteiligte Personen:	Amann, Herbert 1938- (VerfasserIn), Escher, Joachim 1962- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Basel ; Boston ; Berlin Birkhäuser Verlag 2010
Ausgabe:	3. Aufl., 2. Nachdr.
Schriftenreihe:	Grundstudium Mathematik
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ISBN:	9783764377557

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adam_text	Inhaltsverzeichnis Vorwort...................................... v Kapitel I Grundlagen 1 Logische Grundbegriffe........................... 3 2 Mengen ................................... 9 Elementare Tatsachen............................ 9 Die Poteii/.nienge.............................. 10 Komplemente, Durchschnitt*1 шиї Vereinigungen............. 10 Produkte................................... 11 Meitgensystenie............................... 13 3 Abbildungen................................. 16 Einfache Beispiele.............................. 17 Die Komposition von Abbildungen .................... 18 Kommutative Diagramme......................... 19 Injektionen. Surjektionen und Bijektionen ................ 20 Umkehrabbildungen............................. 20 Mengenabbildungen............................. 21 4 Relationen und Verknüpfungen...................... 24 Äquivalenzrelat ionen ............................ 24 Ordnungsrelationen............................. 26 Verknüpfungen ............................... 28 5 Die natürlichen Zahlen........................... 32 Die Peano-Axiome ............................. 32 Rechenregem................................. 34 Der euklidische Algorithmus........................ 38 Das Induktionsprinzip ........................... 39 Rekursive Definitionen........................... 43 x Inhalt 6 Abzählbarkeit................................ 50 Permutationen ................................ 51 Der Mächtigkeitsbegriff........................... 51 Abzählbare Mengen............................. 52 Unendliche Produkte............................ 54 7 Gruppen und Homomorphismen...................... 56 Gruppen................................... 57 Untergruppen................................ 59 Restklassen ................................. 59 Homomorphismen.............................. 61 Isomorphismen ............................... 63 8 Ringe, Körper und Polynome....................... 67 Ringe..................................... 67 Der binomische Satz ............................ 70 Multinomialformeln............................. 71 Körper.................................... 73 Angeordnete Körper ............................ 74 Formale Potenzreihen............................ 77 Polynome .................................. 78 Polynomiale Funktionen.......................... 80 Division mit Rest.............................. 82 Linearfaktoren................................ 83 Polynome in mehreren Unbestimmten................... 84 9 Die rationalen Zahlen............................ 90 Die ganzen Zahlen.............................. 90 Die rationalen Zahlen............................ 92 Rationale Nullstellen von Polynomen................... 94 Quadratwurzeln............................... 95 10 Die reellen Zahlen.............................. 98 Die Ordnungsvollständigkeit........................ 98 Die Dedekindsche Konstruktion der reellen Zahlen............ 99 Die natürliche Ordnung von К ....................... 101 Die erweiterte Zahlengerade........................ 102 Eine Charakterisierung von Supremum und Inflmum.......... 102 Der Satz von Archimedes .......................... 103 Die Dichtheit der rationalen Zahlen in К ................. 103 η -te Wurzeln................................. 104 Die Dichtheit der irrationalen Zahlen in E ................ 106 Intervalle................................... 107 Inhalt xi 11 Die komplexen Zahlen........................... 110 Eine Konstruktion der komplexen Zahlen................. 110 Elementare Eigenschaften ......................... 111 Rechenregeln................................. 114 Bälle in К .................................. 116 12 Vektorräume, affine Räume und Algebren................ 119 Vektorräume................................. 119 Lineare Abbildungen............................ 120 Vektorraumbasen.............................. 123 Affine Räume................................ 125 Affine Abbildungen............................. 128 Polynominterpolation............................ 129 Algebren................................... 131 Differenzenoperatoren und Summenformeln ............... 132 Newtonsche Interpolationspolynome.................... 133 Kapitel II Konvergenz 1 Konvergenz von Folgen........................... 141 Folgen.................................... 141 Metrische Räume.............................. 142 Häufungspunkte............................... 145 Konvergenz ................................. 145 Beschränkte Mengen............................ 147 Eindeutigkeitsaussagen........................... 148 Teilfolgen .................................. 148 2 Das Rechnen mit Zahlenfolgen....................... 152 Nullfolgen.................................. 152 Elementare Rechenregeln.......................... 152 Vergleichssätze................................ 155 Folgen komplexer Zahlen.......................... 155 3 Normierte Vektorräume.......................... 160 Normen ................................... 160 Bälle..................................... 161 Beschränkte Mengen............................ 162 Beispiele................................... 162 Räume beschränkter Abbildungen..................... 163 Innenprodukträume............................. 165 Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung................... 167 Euklidische Räume............................. 169 Äquivalente Normen ............................ 170 Konvergenz in Produkträumen....................... 172 xii Inhalt 4 Monotone Folgen.............................. 175 Beschränkte monotone Folgen....................... 175 Einige wichtige Grenzwerte......................... 176 5 Uneigentliche Konvergenz......................... 181 Die Konvergenz gegen ±oo......................... 181 Limes superior und Limes inferior..................... 182 Der Satz von Bolzano-Weierstraß ..................... 184 6 Vollständigkeit................................ 187 Cauchyfolgen ................................ 187 Banachräume................................ 188 Die Cantorsche Konstruktion der reellen Zahlen............. 190 7 Reihen.................................... 195 Konvergenz von Reihen........................... 195 Die harmonische und die geometrische Reihe............... 196 Rechenregeln................................. 197 Konvergenzkriterien............................. 197 Alternierende Reihen............................ 198 gi-al-Entwicklungen............................. 200 Die Überabzählbarkeit von К ....................... 204 8 Absolute Konvergenz............................ 207 Majoranten-, Wurzel- und Quotientenkriterium............. 208 Die Exponentialfunktion.......................... 211 Umordnungen von Reihen......................... 211 Doppelreihen ................................ 213 Cauchyprodukte............................... 216 9 Potenzreihen................................. 222 Der Konvergenzradius ........................... 223 Rechenregeln................................. 225 Der Identitätssatz für Potenzreihen.................... 226 Kapitel III Stetige Funktionen 1 Stetigkeit................................... 231 Elementare Eigenschaften und Beispiele ................. 231 Folgenstetigkeit............................... 236 Rechenregeln................................. 237 Einseitige Stetigkeit............................. 240 Inhalt xiii 2 Topologische Grundbegriffe........................ 245 Offene Mengen ............................... 245 Abgeschlossene Mengen........................... 246 Die abgeschlossene Hülle.......................... 248 Der offene Kern............................... 250 Der Rand einer Menge........................... 251 Die Hausdorffeigenschaft.......................... 251 Beispiele................................... 252 Eine Charakterisierung stetiger Abbildungen............... 253 Stetige Ergänzungen............................ 255 Relativtopologien.............................. 257 Allgemeine topologische Räume...................... 259 3 Kompaktheit................................. 264 Die Überdeckungseigenschaft........................ 264 Eine Charakterisierung kompakter Mengen................ 265 Folgenkompaktheit............................. 266 Stetige Abbildungen auf kompakten Räumen............... 267 Der Satz vom Minimum und Maximum.................. 267 Totalbeschränktheit............................. 271 Gleichmäßige Stetigkeit........................... 272 Kompaktheit in allgemeinen topologischen Räumen........... 273 4 Zusammenhang............................... 277 Charakterisierung des Zusammenhanges ................. 277 Zusammenhang in R ............................ 278 Der allgemeine Zwischenwertsatz ..................... 279 Wegzusammenhang............................. 280 Zusammenhang in allgemeinen topologischen Räumen.......... 283 5 Funktionen in R ............................... 285 Der Zwischenwertsatz von Bolzano .................... 285 Monotone Funktionen............................ 286 Stetige monotone Funktionen....................... 288 6 Die Exponentialfunktion und Verwandte................. 291 Die Eulersche Formel............................ 291 Die reelle Exponentialfunktion....................... 294 Der Logarithmus und die allgemeine Potenz............... 295 Die Exponentialfunktion auf ¿К ...................... 297 Die Definition von 7Г und Folgerungen................... 300 Tangens und Cotangens .......................... 304 Das Abbildungsverhalten der Exponentialfunktion............ 305 Ebene Polarkoordinaten.......................... 306 Idilli)! Der komplexe Logarithmus......................... 3(IN Komplexe Potenzen............................. ЗОЛ Eine weitere Darstellung der Exponentialfunktion............ ЗШ Kapitel IV Differentialrechnimg in einer Variablen 1 Differenzierbarkeit............................. 317 Die Definition................................ 317 Lineare Approximierbarkeit ........................ 318 Rechenregeln................................. 320 Kettenregel ................................. 321 Umkehrfunktionen ............................. 322 Differenzierbare Abbildungen ....................... 323 Höhere Ableitungen............................. 323 Einseitige Differenzierbarkeit........................ 329 2 Mittelwertsätze mid ihre Anwendungen ................. 333 Extremaisteilen............................... 333 Der erste Mittelvrertsatz.......................... 334 Monotonie und Differenzierbarkeit..................... 335 Konvexität und Differenzierbarkeit.................... 338 Die Ungleichungen von Young. Holder und Mhikowski ......... 342 Der Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen ............ 344 Der zweite Mittehvertsatz ......................... 345 Die Regeln von de ľHospital ........................ 346 3 Taylorsche Formeln............................. 352 Landausche Symbole............................ 352 Die Taylorsehe Formel........................... 353 Taylorpolynome, Taylorreihe und Restglied................ 355 Restglieddarstelhmgen im reellen Fall und Anwendungen........ 357 Polynomiale Interpolation......................... 362 Differenzenquotienten höherer Ordnung.................. 363 4 Iterationsverfahren............................. 308 Fixpunkte und Kontraktionen....................... 308 Der Banachsehe Fixpunktsatz....................... 309 Das Newtonverfahren............................ 373 Inhalt xv Kapitel V Punktionenfolgen 1 Gleichmäßige Konvergenz......................... 381 Punktweise konvergente Folgen ...................... 381 Gleichmäßig konvergente Folgen...................... 382 Funktionenreihen.............................. 384 Das Weierstraßsche Majorantenkriterium................. 386 2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Funktionenfolgen......... 389 Stetigkeit................................... 389 Lokal gleichmäßige Konvergenz ...................... 389 Der Banachraum der beschränkten und stetigen Funktionen...... 391 Differenzierbarkeit bei Funktionenfolgen................. 392 3 Analytische Punktionen........................... 396 Differenzierbarkeit von Potenzreihen ................... 396 Analytizität................................. 397 Stammfunktionen analytischer Funktionen................ 399 Die Potenzreihenentwicklung des Logarithmus.............. 401 Die Binomialreihe.............................. 401 Der Identitätssatz für analytische Funktionen.............. 406 4 Polynomiale Approximation........................ 410 Banachalgebren............................... 410 Dichtheit und Separabilität......................... 411 Der Satz von Stone und Weierstraß.................... 413 Trigonometrische Polynome........................ 417 Periodische Funktionen........................... 419 Der trigonometrische Approximationssatz ................ 421 Anhang Einführung in die Schlußlehre.................... 425 Literaturverzeichnis............................... 431 Index....................................... 433
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Exemplar 1	Ausleihbar Am Standort
Exemplar 1	Nicht ausleihbar Am Standort

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