Availability: Regression | Technische Universität München

Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen

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Main Authors:	Fahrmeir, Ludwig 1945- (Author), Kneib, Thomas 1976- (Author), Lang, Stefan 1970- (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Berlin [u.a.] Springer 2009
Edition:	2. Aufl.
Series:	Statistik und ihre Anwendungen
Subjects:	Nichtparametrisches Verfahren Regression Regressionsanalyse Theorie
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adam_text	Inhaltsverzeichnis Einführung......................................................... 1 1.1 Anwendungsbeispiele.............................................. 4 1.2 Erste Schritte.................................................... 11 1.2.1 Beschreibung der Verteilung der Variablen..................... 11 1.2.2 Grafische Zusammenhangsanalyse............................ 13 Stetige erklärende Variablen................................. 13 Kategóriáié erklärende Variablen............................. 16 Regressionsmodelle................................................. 19 2.1 Einführung...................................................... 19 2.2 Lineare Regressionsmodelle........................................ 20 2.2.1 Das einfache lineare Regressionsmodell........................ 20 2.2.2 Das multiple lineare Regressionsmodell........................ 24 2.3 Regression bei binären Ziel variablen: Das Logit-Modell................ 30 2.4 Gemischte Modelle ............................................... 35 2.5 Einfache nichtparametrische Regression............................. 40 2.6 Additive Regression............................................... 44 2.7 Generalisierte additive Regression .................................. 47 2.8 Geoadditive Regression............................................ 49 2.9 Modelle im Überblick............................................. 55 2.9.1 Lineare Modelle (LM, Kapitel 3) ............................. 55 2.9.2 Logit-Modell (Kapitel 4) .................................... 56 2.9.3 Poisson-Regression (Kapitel 4)............................... 56 2.9.4 Generalisierte lineare Modelle (GLM, Kapitel 4, 5) ............. 56 2.9.5 Lineare gemischte Modelle (LMM, Kapitel 6) .................. 56 2.9.6 Additive Modelle und Erweiterungen (AM, Kapitel 7, 8) ........ 57 2.9.7 Generalisierte additive (gemischte) Modelle (GAMM, Kapitel 8).. 58 2.9.8 Strukturiert-additive Regression (STAR, Kapitel 8)............. 58 Lineare Regressionsmodelle ........................................ 59 3.1 Das klassische lineare Modell....................................... 59 3.1.1 Modelldefinition............................................ 59 3.1.2 Modellparameter, Schätzungen und Residuen.................. 63 3.1.3 Diskussion der Modellannahmen ............................. 64 Linearität des Einflusses der Kovariablen...................... 64 Homoskedastische Varianz der Störgrößen..................... 64 Inhaltsverzeichnis Unkorreliertheit der Störgrößen.............................. 66 Additivität der Störgrößen................................... 70 3.1.4 Modellierung des Einflusses der Kovariablen................... 72 Metrische Kovariablen...................................... 72 Kategóriáié Kovariablen..................................... 80 Interaktionen zwischen Kovariablen........................... 83 3.2 Parameterschätzungen............................................ 90 3.2.1 Schätzung der Regressionskoeffizienten........................ 90 Die Methode der kleinsten Quadrate.......................... 90 Maximum-Likelihood-Schatzung .............................. 92 Geschätzte Werte und Residuen.............................. 93 3.2.2 Schätzung der Varianz der Störgrößen......................... 94 Maximum-Likelihood-Schätzung.............................. 94 Restringierte Maximum-Likelihood-Schätzung.................. 94 3.2.3 Eigenschaften der Schätzungen............................... 95 Geometrische Eigenschaften des KQ-Schätzers ................. 95 Streuungszerlegung und Bestimmtheitsmaß.................... 98 Statistische Eigenschaften ohne spezielle Verteilungsannahmen ... 101 Statistische Eigenschaften bei Normalverteilungsannahme....... 103 Asymptotische Eigenschaften des KQ-Schätzers................ 105 Statistische Eigenschaften der Residuen....................... 107 Standardisierte und studentisierte Residuen.................... 108 3.3 Hypothesentests und Konfidenzintervalle............................ 111 3.3.1 F-Test.................................................... 113 Zusammenhang mit dem Wald-Test........................... 115 F-Test für einige spezielle Testprobleme....................... 115 Asymptotische Eigenschaften des F-Tests...................... 119 3.3.2 Konfidenzbereiche und Prognoseintervalle..................... 119 Konfidenzintervalle und Ellipsoide für die Regressionskoeffizienten 119 Prognoseintervalle..........................................121 3.4 Das allgemeine lineare Regressionsmodell............................ 124 3.4.1 Modelldefinition............................................ 124 3.4.2 Gewichtete Methode der kleinsten Quadrate................... 125 Gruppierte Daten.......................................... 127 3.4.3 Heteroskedastische Fehler ................................... 128 Diagnose heteroskedastischer Fehler........................... 129 Maßnahmen bei Heteroskedastizität .......................... 132 3.4.4 Autokorrelierte Fehler....................................... 136 Autokorrelation erster Ordnung..............................137 Diagnose autokorrelierter Störungen.......................... 139 Maßnahmen bei Autokorrelation erster Ordnung............... 142 Inhaltsverzeichnis XI 3.5 Bayesianische lineare Modelle...................................... 147 3.5.1 Priori-Verteilungen......................................... 147 3.5.2 Vollständig bedingte Dichten und MCMC-Inferenz.............. 149 3.5.3 Posteriori-Verteilung........................................ 152 3.6 Modellwahl und Variablenselektion................................. 152 3.6.1 Auswirkunge Bias, Varianz und Prognosegüte.................. 155 Auswirkungen auf Bias und Varianz des KQ-Schätzers.......... 156 Auswirkung der Modellspezifikation auf die Prognosegüte........ 157 3.6.2 Modellwahlkriterien ........................................ 159 Das korrigierte Bestimmtheitsmaß............................ 160 Mallows Cv ............................................... 161 Informationskriterium nach Akaiké AIC ....................... 161 Kreuzvalidierung........................................... 161 Bayesianisches Informationskriterium BIC ..................... 162 3.6.3 Praktische Verwendung der Modellwahlkriterien................ 163 3.6.4 Modelldiagnose ............................................ 168 Überprüfen der Modellannahmen............................. 168 Kollinearitätsanalyse........................................ 170 Ausreißer- und Einflussanalyse............................... 173 Alternative Modellierungsansätze nach Modelldiagnose.......... 179 3.7 Bemerkungen und Ergänzungen.................................... 180 3.7.1 Literaturhinweise........................................... 180 3.7.2 Beweise................................................... 181 Generalisierte lineare Modelle...................................... 189 4.1 Binäre Regression................................................ 189 4.1.1 Binäre Regressionsmodelle................................... 189 Logit-Modell............................................... 190 Probit-Modell.............................................. 191 Komplementäres log-log-Modell.............................. 191 Binäre Modelle als Schwellenwertmodelle latenter linearer Modelle 193 Parameterinterpretation..................................... 194 Gruppierte Daten.......................................... 195 Überdispersion (Overdispersion).............................. 197 4.1.2 Maximum-Likelihood-Schätzung.............................. 198 Vergleich mit ML- bzw. KQ-Schätzung im linearen Modell....... 201 Iterative numerische Berechnung des ML-Schätzers............. 202 Asymptotische Eigenschaften des ML-Schätzers................ 203 4.1.3 Testen linearer Hypothesen.................................. 204 4.1.4 Kriterien zur Modellanpassung und Modellwahl................ 205 4.2 Regression für Zähldaten.......................................... 210 XII Inhaltsverzeichnis 4.2.1 Modelle für Zähldaten...................................... 210 Log-lineares Poisson-Modell.................................. 210 Lineares Poisson-Modell..................................... 210 Überdispersion............................................. 210 4.2.2 Schätzen und Testen: Likelihood-Inferenz...................... 212 Maximum-Likelihood-Schätzung.............................. 212 Testen linearer Hypothesen.................................. 213 Kriterien zur Modellanpassung und Modellwahl................ 213 Schätzung des Überdispersions-Parameters .................... 213 4.3 Modelle für positive stetige Zielvariablen ............................ 215 Gamma-Regression......................................... 217 Inverse Gauß-Verteilung..................................... 217 4.4 Generalisierte Lineare Modelle..................................... 217 4.4.1 Allgemeine Modelldefinition ................................. 217 4.4.2 Likelihood-Inferenz......................................... 220 Asymptotische Eigenschaften des ML-Schätzers................ 223 Schätzung des Skalierungs- oder Überdispersionsparameters...... 224 Testen linearer Hypothesen.................................. 224 Kriterien zur Modellanpassung und Modellwahl................ 225 4.5 Quasi-Likelihood-Modelle.......................................... 226 4.6 Bayesianische generalisierte lineare Modelle.......................... 228 4.7 Bemerkungen und Ergänzungen.................................... 233 5 Kategóriáié Regressionsmodelle.....................................235 5.1 Einführung......................................................235 Multinomialverteilung.......................................236 Daten.....................................................237 5.2 Modelle für ungeordnete Kategorien ................................238 Nominale Modelle und latente Nutzenmodelle..................241 5.3 Ordinate Modelle.................................................242 Das kumulative oder Schwellenwert-Modell....................242 Das sequentielle Modell.....................................245 5.4 Schätzen und Testen: Likelihood-Inferenz............................247 Numerische Bestimmung des ML-Schätzers....................249 Asymptotische Eigenschaften und Tests linearer Hypothesen.....249 5.5 Bemerkungen und Ergänzungen....................................252 6 Gemischte Modelle.................................................253 6.1 Lineare gemischte Modelle für Longitudinal- und Clusterdaten .........254 6.2 Das allgemeine lineare gemischte Modell.............................259 6.3 Likelihood-Inferenz für LMM ...................................... 261 6.3.1 Schätzung bei bekannter Kovarianzstruktur....................261 Inhaltsverzeichnis XIII 6.3.2 Schätzung der Kovarianzstruktur............................. 263 6.3.3 Schätzung fixer und zufälliger Effekte......................... 264 6.3.4 Hypothesentests............................................ 266 6.4 Likelihood-Inferenz für Longitudinal- und Clusterdaten-Modelle........ 268 6.5 Bayesianische gemischte lineare Modelle............................. 271 Posteriori-Verteilung bei bekannter Kovarianzstruktur........... 273 Empirische Bayes-Schätzung................................. 273 Volle Bayes-Schätzung...................................... 274 6.6 Generalisierte lineare gemischte Modelle............................. 278 6.6.1 Definition und Eigenschaften von GLMM...................... 278 GLMM für Longitudinal- und Clusterdaten .................... 279 GLMM in allgemeiner Form................................. 279 Kategóriáié gemischte Regressionsmodelle..................... 282 6.7 Likelihood- und Bayes-Inferenz in GLMM........................... 284 6.7.1 Penalisierte Likelihood- und empirische Bayes-Schätzung........ 284 6.7.2 Volle Bayes-Inferenz mit MCMC............................. 287 6.8 Bemerkungen und Ergänzungen.................................... 289 7 Nichtparametrische Regression.....................................291 7.1 Univariate Glättung..............................................292 7.1.1 Polynom-Splines ...........................................293 Polynom-Splines und trunkierte Potenzen.....................296 Einfluss der Knoten auf die Schätzung........................301 B-Spiines..................................................303 7.1.2 Penalisierte Splines (P-Splines)...............................306 P-Splines basierend auf der TP-Basis.........................307 P-Splines basierend auf B-Splines.............................309 Penalisierte KQ-Schätzung ..................................311 Bayesianische P-Splines.....................................316 7.1.3 Allgemeine Penalisierungsansätze.............................320 7.1.4 Glättungssplines...........................................323 7.1.5 Random Walks .............................................326 7.1.6 Kriging...................................................327 Klassisches Kriging.........................................327 Kriging als Glättungsverfahren für Zeitreihen..................330 Kriging als Glättungsverfahren der nichtparametrische Regression 331 7.1.7 Lokale Glättungsverfahren...................................333 Nächste-Nachbarn-Schätzer..................................333 Lokal polynomiale Regression und Nadaraya-Watson-Schätzer___335 Loess .....................................................339 7.1.8 Allgemeine Streudiagramm-Glätter...........................340 XIV Inhaltsverzeichnis Lineare Glättungsverfahren.................................. 340 Konfidenzintervalle und -bänder.............................. 342 Äquivalente Freiheitsgrade (effektive Parameterzahl)............ 345 Schätzung der Fehlervarianz................................. 347 Bias-Varianz-Trade Off...................................... 348 7.1.9 Wahl des Glättungsparameters............................... 350 Glättungsparameterwahl basierend auf Optimalitätskriterien.....350 Repräsentation von Penalisierungsansätzen als gemischte Modelle. 353 Bayesianische Glättungsparameterwahl basierend auf MCMC .... 357 7.1.10 Adaptive Verfahren.........................................359 Multivariate adaptive Regressions-Splines (MARS) ............. 359 Regressionsbäume.......................................... 361 Bayesianische adaptive Verfahren I: Model Averaging ...........364 Bayesianische adaptive Verfahren II: Reversible Jump MCMC.... 366 7.2 Bivariate Glättung und räumliche Effekte............................368 7.2.1 Tensorprodukt-P-Splines....................................371 Tensorprodukt-Basen.......................................371 2D-Penalisierungsansätze....................................375 7.2.2 Radiale Basisfunktionen.....................................379 7.2.3 Kriging...................................................381 Klassische Geostatistik......................................382 Kriging als Basisfunktionenansatz............................384 Schätzung von Kriging-Modellen.............................385 7.2.4 Markov-Zufallsfelder........................................387 Nachbarschaften und penalisiertes KQ-Kriterium...............387 Bayesianische Modellformulierung............................389 Räumlich autoregressive Prozesse............................. 393 7.2.5 Fazit......................................................393 7.2.6 Lokale und adaptive Glättungsverfahren....................... 394 7.3 Höherdimensionale Glättung....................................... 395 7.4 Bemerkungen und Ergänzungen....................................397 Strukturiert-additive Regression....................................399 8.1 Additive Modelle................................................. 399 8.2 Geoadditive Regression............................................404 8.3 Modelle mit Interaktionen.........................................407 8.3.1 Modelle mit variierenden Koeffizienten........................408 8.3.2 Interaktion zwischen zwei metrischen Kovariablen..............410 8.4 Strukturiert-additive Regression....................................413 8.5 Inferenz.........................................................419 8.5.1 Penalisierte KQ- bzw- Likelihood-Schätzung...................420 Inhaltsverzeichnis XV Backñtting ................................................420 Direkte Minimierung des penalisierten KQ-Kriteriums...........421 Generalisierte STAR-Modelle................................422 Schätzung der Glättungsparameter...........................422 Modellwahl und Diagnose...................................423 8.5.2 Inferenz basierend auf der Repräsentation als gemischtes Modell.. 423 Modellwahl und Diagnose...................................425 8.5.3 Bayesianische Inferenz mit MCMC ...........................425 Normalverteilte Zielgrößen...................................425 Latente normalverteilte Zielgrößen............................ 427 Nicht-normalverteilte Zielgrößen..............................428 Modellwahl und Diagnose...................................428 8.5.4 Software-Hinweise..........................................430 8.6 Fallstudie: Unterernährung in Sambia...............................431 8.6.1 Hinweise zur grundsätzlichen Vorgehensweise ..................431 Deskriptive Analyse der Rohdaten............................431 Datenaufbereitung..........................................431 Grafische zweidimensionale Zusammenhangsanalyse.............432 Schätzung erster Arbeitsmodelle..............................432 Modelldiagnose und Verfeinerung der Arbeitsmodelle ...........432 Darstellung der Ergebnisse ..................................434 8.6.2 Deskriptive Analysen.......................................435 8.6.3 Modellierungsvarianten......................................437 8.6.4 Schätzergebnisse und Modellevaluation........................438 8.7 Bemerkungen und Ergänzungen....................................443 A Matrix- Algebra..................................................... 445 A.l Definition und elementare Operationen.............................. 445 A.2 Der Rang einer Matrix............................................ 449 A.3 Determinante und Spur einer Matrix................................ 451 A.4 Verallgemeinerte Inverse ........................................... 452 A.5 Eigenwerte und Eigenvektoren..................................... 453 A.6 Quadratische Formen............................................. 455 A.7 Differentiation von Matrixfunktionen................................ 457 В Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik................459 B.l Einige eindimensionale Verteilungen ................................459 B.2 Zufallsvektoren...................................................461 B.3 Die multivariate Normalverteilung..................................464 B.3.1 Definition und Eigenschaften.................................464 B.3.2 Die singulare Normalverteilung...............................465 B.3.3 Verteilungen quadratischer Formen...........................466 XVI Inhaltsverzeichnis В.3.4 Multivariate t-Verteilung.................................... 467 В. 4 Likelihood-Inferenz............................................... 467 8.4.1 Maximum-Likelihood-Schätzung.............................. 467 8. 4.2 Numerische Berechnung des ML-Schätzers..................... 473 B.4.3 Asymptotische Eigenschaften des ML-Schätzers................ 475 B.4.4 Likelihood-basierte Tests für lineare Hypothesen................ 475 B.4.5 Modellwahl................................................ 477 B.5 Bayes-Inferenz................................................... 478 B.5.1 Grundlagen der Bayes-Inferenz............................... 478 B.5.2 Punkt- und Intervallschätzer................................. 480 Punktschätzer ............................................. 480 Intervallschätzung.......................................... 481 B.5.3 MCMC-Methoden.......................................... 482 Metropolis-Hastings- Algorithmus............................. 483 Gibbs-Sampler und Hybrid-Algorithmen....................... 486 B.5.4 Modellwahl................................................ 488 Literaturverzeichnis ....................................................491 Index...................................................................497
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