Verfügbarkeit: Elementare Zahlentheorie | Technische Universität München

Elementare Zahlentheorie:

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Bibliographische Detailangaben
Beteiligte Personen:	Remmert, Reinhold 1930-2016 (VerfasserIn), Ullrich, Peter 1957- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Basel [u.a.] Birkhäuser 2008
Ausgabe:	3. Aufl.
Schriftenreihe:	Grundstudium Mathematik
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adam_text	Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Primzerlegung in Ћ und Q Einleitung § 0 Natürliche, ganze und rationale Zahlen...............13 1. Der Ring Ж der ganzen und der Körper Q der rationalen Zahlen - 2. Anordnung von Ж und Q - 3. Prinzip vom kleinsten Element und Induktionsprinzip - 4. Division mit Rest § 1 Teilbarkeit. Primzahlen......................22 1. Teilbarkeitsbegriff - 2. Primzahlen - 3. Existenz unendlich vieler Primzahlen - 4. Unzerlegbarkeit und Primeigenschaft § 2 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie............28 1. Existenz einer Primzerlegung - 2. Eindeutigkeit der Primzerlegung - 3. Der Eindeutigkeitsbeweis von Zermelo - 4. Kritische Bemerkungen § 3 Anwendungen des Hauptsatzes ..................33 1. Anzahl aller positiven Teiler - 2. Produkt aller positiven Teiler - 3. Summe aller positiven Teiler - 4. Vollkommene Zahlen - 5. Mersennesche Primzahlen - 6. Fermatsche Primzahlen §4 Zahlentheorie im Körper Q ....................42 1. Primzerlegung ¡n Q - 2. Irrationalitätsaussagen - 3. Zur Irrationalität und Transzendenz von e und π - 4. Die Vielfachheitsfunktion wp(a) - 5. Ägyptische Bruchdarstellungen, Fibonaccimethode Kapitel 2 Theorie des größten gemeinsamen Teilers in Ћ Einleitung § 1 Größter gemeinsamer Teiler....................55 1. Größter gemeinsamer Teiler zweier ganzer Zahlen - 2. Euklidischer Algorithmus - 3. Idealtheoretische Charakterisierung des größten gemeinsamen Teilers - 4. Größter gemeinsamer Teiler endlich vieler ganzer Zahlen - 5. Teilerfremdheit - 6. Reduzierte Bruchdarstellung - 7. Kleinstes gemeinsames Vielfaches § 2 Über die Verteilung und Darstellung von Primzahlen.........70 1. Elementare Verteilungssätze - 2. Großer Primzahlsatz - 3. Die Chebyshevsche Abschätzung - 4. Große Primzahlen - 5. Primzahlen in arithmetischen Progressionen - 6. Primzahlen als Werte von Polynomen § 3 Zahlentheoretische Funktionen ..................81 1. Multiplikative Funktionen - 2. Eulersche «^-Funktion - 3. DiRiCHLET-Faltung - 4. Summatorfunktionen 10 Inhaltsverzeichnis Kapitel 3 Zahlentheorie in allgemeinen Integritätsringen Einleitung § 0 Integritätsringe.........................95 1. Allgemeine Begriffe der Ringtheorie - 2. Polynomringe - 3. Quadratische Zahlbereiche § 1 Teilbarkeitstheorie in Integritätsringen...............101 1. Grundbegriffe der Teilbarkeitstheorie - 2. Normfunktionen - 3. Zerlegungssatz für Integritätsringe mit monotoner Normfunktion § 2 Faktorielle Ringe, Hauptidealringe und euklidische Ringe.......111 1. Faktorielle Ringe - 2. Hauptidealringe - 3. Euklidische Ringe - 4. Beispiele 5. Weiterführende Ergebnisse - 6. Zerlegung von Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen - 7. Charakterisierung von Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen S3 Zahlentheorie in faktoriellen Ringen und in Hauptidealringen.....126 1. Zahlentheorie in faktoriellen Ringen - 2. Theorie des größten gemeinsamen Teilers - 3. Integritätsringe mit ggT - 4. Charakterisierung faktorieller Ringe. Zerlegungssatz für noethersche Ringe Kapitel 4 Der ir-adische Algorithmus Einleitung § 1 y-adische und Cantorsche Darstellung natürlicher Zahlen.......139 0. Historisches Präludium - 1. Existenz und Eindeutigkeit der ¿/-adischen Darstellung 2. Rechnen im ¿/-adischen System - 3. Cantorsche Darstellung natürlicher Zahlen S 2 ty-adische Darstellung rationaler Zahlen...............148 1. y-adischer Algorithmus - 2. Endliche ¿/-adische Darstellungen - 3. Periodische (/-adiscile Darstellungen § 3 Periodizitätssätze. Satz von Fermat-Euler.............158 1. Kriterien für reine Periodizität - 2. Charakterisierung von Vorperioden und Perioden - 3. Zyklische Ziffernverschiebung - 4. Satz von Fermat-Euler íj 4 (Anhang) y-adische Entwicklung als Approximationsverfahren.....168 1 . Approximationskriterium - 2. Konstruktion von Brüchen zu y-periodischen Folgen 3. 0-adische Entwicklungen und unendliche Reihen Kapitel 5 Kongruenzen und Restklassenringe Einleitung § 1 Kongruenzenrechnung......................179 1. Kongruenzrelation. Elementares Rechnen mit Kongruenzen 2. Kongruenzen zu verschiedenen Moduln - 3. Neuner- und Elferprobe - Inhaltsverzeichnis 11 4. Der Satz von Fermat-Euler als Kongruenzsatz - 5. Anwendung des Satzes von Fermat-Euler in der Kryptographie §2 Satz von Wilson. Chinesischer Restsatz...............192 1. Lineare Kongruenzen - 2. Der Satz von Wilson - 3. Ein Satz von Euler - 4. Chinesischer Restsatz § 3 Restklassenringe und Polynomkongruenzen.............201 1. Restklassenringe - 2. Primideale und maximale Ideale - 3. Polynomkongruenzen und Polynomgleichungen - 4. Satz von Lagrange Kapitel 6 Prime Restklassengruppen Einleitung § 1 Elementare Gruppentheorie....................213 1. Gruppenbegriff. Beispiele aus der Zahlentheorie - 2. Untergruppen, Kongruenz, Ordnung einer Gruppe - 3. Ordnung eines Gruppenelementes - 4. Verallgemeinerungen der Sätze von Fermat-Euler und Wilson § 2 Zyklische prime Restklassengruppen................223 1. Allgemeines Zyklizitätskriterium - 2. Existenz von Primitivwurzeln zu Primzahlen - 3. Zyklizität der Gruppen Z„ - 4. Kleine Primitivwurzeln zu /> 5. Zyklizität der Gruppen Żfp„ - 6. Bestimmung aller zyklischen Gruppen Ж* Kapitel 7 Theorie der quadratischen Reste Einleitung § 1 Quadratische Reste .......................237 1. Quadratische Reste modulo einer beliebigen Zahl m > 1 - 2. Quadratische Reste modulo Primzahlpotenzen - 3. Quadratische Reste modulo einer ungeraden Primzahl - 4. Legendresches Restsymbol - 5. Gaußsches Lemma § 2 Quadratisches Reziprozitätsgesetz.................248 1. Formulierung des Reziprozitätsgesetzes. Beispiele - 2. Beweis des Reziprozitätsgesetzes - 3*. Analytischer Beweis des Reziprozitätsgesetzes nach Eisenstein - 4. Das Reziprozitätsgesetz für das Jacobische Restsymbol - 5. Anwendungen des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes Literatur............................... 266 Namenverzeichnis........................... 267 Sachverzeichnis ............................ 269 Symbolverzeichnis........................... 274
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