Algebra in der Sekundarstufe:
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| New Title: | Weigand, Hans-Georg Didaktik der Algebar |
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Einleitung.........................................................................................................1
I
1 Das Gerüst des Lehrgangs.........................................................................5
2 Zur historischen Entwicklung des Algebraunterrichts...............................8
3 Zur Begründung des Lehrgangs...............................................................14
3.1 Bildungsziele....................................................................................14
3.2 Das Problem der Gültigkeit..............................................................15
3.3 Das Problem der Angemessenheit....................................................16
3.4 Das Problem des Wertes...................................................................17
II
1 Zahlen in algebraischer Sicht...................................................................21
1.1 Algebraisches Verständnis der Zahlen.............................................21
1.2
1.3 Zahl und Wirklichkeit.......................................................................24
2 Zum Lernen des Zahlbegriffs.....................,.............................................24
2.1 Lernen durch Erweiterung................................................................25
2.2 Lernen in Stufen................................................................................26
2.3 Regellernen.......................................................................................28
2.4 Zur Rolle des Verknüpfungsbegriffs................................................31
3 Natürliche Zahlen im Unterricht..............................................................32
3.1 Rechenoperationen und ihre Beziehungen.......................................32
3.2 Kopfrechnen - Schriftliches Rechnen - Taschenrechner.................35
3.3 Rechenoperationen als Verknüpfungen............................................37
3.4 Natürliche Zahlen als Maßzahlen von Größen.................................39
4 Bruchzahlen im Unterricht.......................................................................41
4.1 Das Problem der Reihenfolge der Erweiterungen............................41
4.2 Zugänge............................................................................................42
4.3 Bruchrechnung..................................................................................46
4.4 Verknüpfungseigenschaften..............................................................50
4.5 Dezimaldarstellung...........................................................................51
4.6 Bruchrechnung und Taschenrechner................................................53
4.7 Strukturelle Vertierung.....................................................................56
VI
5 Rationale Zahlen im Unterricht...............................................................57
5.1 Modelle.............................................................................................58
5.2 Über den Status der Vorzeichenregeln.............................................58
5.3 Zugänge zu den Regeln.....................................................................60
5.4 Das Problem der Regelformulierung................................................62
5.5 Das Problem der Differenzierung.....................................................63
5.6 Verknüpfungseigenschaften..............................................................64
6 Reelle Zahlen im Unterricht.....................................................................66
6.1 Die Entdeckung irrationaler Zahlen..................................................66
6.2 Das Problem der Numerik................................................................68
6.3 Das Problem der Verknüpfungseigenschaften..................................72
III
1 Die Formelsprache...................................................................................77
1.1 Die Formelsprache als formale Sprache...........................................78
1.2 Die Variablen....................................................................................79
1.3 Zahlen und Größen...........................................................................81
1.4 Modellbildung mit
1.5 Deutung von Termumformungen.....................................................85
2 Schwierigkeiten beim Lernen der Formelsprache...................................86
2.1 Regeln und Regelhierarchien erfassen..............................................86
2.2 Über Termumformungen sprechen...................................................88
2.3 Üben von Termumformungen..........................................................91
2.4 Über den Umgang mit Fehlern bei Termumformungen...................92
2.5 Fehleranalysen..................................................................................94
3 Über das Lehren der Formelsprache........................................................95
3.1 Vom Wert der Formelsprache...........................................................95
3.2 Der Computer als Werkzeug für die Formelsprache........................97
3.3 Ziele beim Lehren der Formelsprache..............................................98
3.4 Denken und Umformen....................................................................99
3.5 Zum Lernen der Formelsprache......................................................101
4 Die Formelsprache im Unterricht..........................................................103
4.1 Intuitiver Umgang mit Variablen und
4.2 Termberechnungen mit dem Taschenrechner.................................106
4.3 Reflexionen über die Formelsprache..............................................110
4.4 Erarbeitung der Termumformungen...............................................113
4.5 Nutzung der Formelsprache............................................................118
4.6 Erweiterung der Formelsprache......................................................120
4.7 Neue Formelsprachen.....................................................................124
4.8 Der Computer als
Inhalt
IV
1 Zum Begriff der Funktion......................................................................131
1.1 Entwicklung des Funktionsbegriffs................................................131
1.2 Funktionseigenschaften..................................................................133
1.3 Funktionstypen................................................................................134
1.4 Modellbildung mit Funktionen.......................................................135
2 Zum Lehren des Funktionsbegriffs........................................................136
2.1 Der Funktionsbegriff als Unterrichtsgegenstand............................136
2.2 Funktionales Denken......................................................................139
2.3 Umwelterschließung mit Funktionen..............................................141
2.4 Taschenrechner und Funktionen.....................................................147
2.5 Der Computer als Werkzeug für Funktionen..................................152
2.6 Diskussion der Werkzeuge.............................................................155
2.7 Lernmodelle für den Funktionsbegriff............................................158
3 Der Funktionsbegriff im Unterricht.......................................................162
3.1 Rollen des Funktionsbegriffs..........................................................162
3.2 Vermittlung von Granderfahrungen...............................................163
3.3 Entdeckung von Funktionseigenschaften.......................................167
3.4 Aufdecken von Zusammenhängen..................................................176
3.5 Entdeckung neuer Funktionstypen..................................................178
3.6 Das Problem der Umkehrfunktion..................................................185
3.7 Funktionen und Relationen.............................................................186
3.8 Mit Funktionen operieren...............................................................188
3.9 Von den Funktionen zu den Folgen................................................189
3.10 Erweiterungen...............................................................................198
3.11 Funktionen und Verknüpfungen...................................................205
3.12 Relationen zwischen Funktionen..................................................206
V
1 Gleichungen im Wandel........................................................................211
1.1 Entwicklung der Gleichungslehre in der Schule.............................212
1.2 Gleichungen als Werkzeuge...........................................................216
1.3 Zum Umgang mit Schwierigkeiten und Fehlern.............................217
2 Gleichungen in den Themensträngen der Algebra.................................218
2.1 Zahlen und Gleichungen.................................................................219
2.2
2.3 Funktionen und Gleichungen..........................................................220
2.4 Kurven und Gleichungen................................................................222
3 Über das Lernen des Umgangs mit Gleichungen..................................225
3.1 Zum Lernen von Algorithmen für Gleichungen.............................225
3.2 Über Gleichungen und Umformungen reden..................................227
VIII Inhalt
3.3 Das Problem der Sachaufgaben......................................................229
4 Gleichungen im Unterricht....................................................................233
4.1 Entwicklung des Themenstrangs....................................................233
4.2 Gleichungen und Ungleichungen in N............................................234
4.3 Gleichungen in
4.4 Gleichungen in
4.5 Das Lösen von Gleichungen in
4.6 Gleichungstypen in
4.7 Gleichungstypen in
4.8 Taschenrechner und Gleichungen...................................................262
VI
1 Sätze im Algebraunterricht....................................................................268
1.1 Regeln - Formeln - Sätze...............................................................268
1.2 Die Entdeckung des binomischen Satzes........................................270
1.3 Das Finden einer Summenformel...................................................272
1.4 Existenzsätze...................................................................................275
1.5 Beweisen im Algebraunterricht......................................................277
1.6 Beweisen lehren..............................................................................279
2 Begriffsbildung im Algebraunterricht....................................................280
2.1 Begriffsbildung...............................................................................280
2.2 Lernen durch Definitionen..............................................................282
2.3 Begriff und Problem.......................................................................284
2.4 Paradoxien bei algebraischen Begriffen.........................................285
3 Algebra als Theorie im Unterricht.........................................................288
3.1 Bezugstheorien................................................................................288
3.2 Theoretisches Beziehungsgefüge....................................................289
3.3 Gruppe als algebraische Struktur....................................................290
Literatur......................................................................................................297
Sachwörter...................................................................................................309
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