Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: 2 Lineare Wirtschaftsalgebra
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
München
Vahlen
2005
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| Ausgabe: | 5., verb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Vahlens Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort V
Symbolverzeichnis XV
Kapitel 1 Vektoren
1.1 Begriffliche Einführung 1
1.2 Ordnungsrelationen 5
1.3 Vektoroperationen 7
1.3.1 Addition von Vektoren 8
1.3.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ... 9
1.4 Vektorraum und geometrische Interpretation 11
1.4.1 Vektorraum 11
1.4.2 Geometrische Darstellung von Vektoren 13
1.5 Eigenschaften von Vektoren 16
1.5.1 Linearkombination von Vektoren 16
1.5.2 Lineare Abhängigkeit/Lineare Unabhängigkeit ... 19
1.5.3 Unterräume und geometrische Interpretation der
linearen Abhängigkeit 22
1.5.4 Dimension und Basis eines Vektorraumes 24
1.5.5 Einheitsvektoren und Koordinaten von Vektoren . . 27
1.6 Skalares Produkt von Vektoren 31
1.6.1 Definition des skalaren Produktes 32
1.6.2 Geometrische Interpretation des skalaren Produktes 35
Aufgaben zum Kapitel 1 37
Kapitel 2 Matrizen
2.1 Begriffliche Einführung 42
2.2 Ordnungsrelationen 46
2.3 Spezielle Matrizen 48
2.3.1 Quadratische Matrizen 49
2.3.2 Diagonalmatrizen 50
2.3.3 Einheitsmatrizen 50
2.3.4 Transponierte Matrizen 51
2.3.5 Symmetrische Matrizen 53
2.3.6 Dreiecksmatrizen 54
2.3.7 Untermatrizen 54
2.3.8 Blockstrukturen 56
2.4 Matrizenoperationen 57
2.4.1 Multiplikation mit einem Skalar 58
X Inhaltsverzeichnis
2.4.2 Addition von Matrizen 59
2.4.3 Multiplikation von Matrizen 61
2.4.4 Dyadisches Produkt 74
2.5 Ökonomische Anwendungen von Matrizen 75
2.5.1 Materialverflechtung 75
2.5.2 Technologische Matrix 77
2.5.3 Matrixdarstellung einer Input Output Tabelle ... 80
2.5.4 Netzwerk Matrizen 81
2.6 Lineare Abbildungen und Matrizen 84
2.7 Rang einer Matrix 88
Aufgaben zum Kapitel 2 92
Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme
3.1 Einführung 98
3.2 Lösung linearer Gleichungssysteme 102
3.2.1 Lösung einer linearen Gleichung 102
3.2.2 Lösung eines Gleichungssystems 104
3.2.3 Gleichungsoperationen 108
3.3 Gaußscher Algorithmus 112
3.3.1 Algorithmen als Lösungsverfahren 112
3.3.2 Prinzipieller Lösungsweg 114
3.3.3 Rechentableau 117
3.3.4 Algorithmus der Gaußschen Elimination 121
3.3.5 Simultane Elimination und Substitution 125
3.3.6 Aufwandsabschätzung von Algorithmen 127
3.3.7 Teilweise Elimination und Substitution oder vollstän¬
dige Elimination? 130
3.4 Lineare Abhängigkeit/Lineare Unabhängigkeit 133
3.4.1 Lineare Abhängigkeit von Gleichungen 134
3.4.2 Lineare Unabhängigkeit von Gleichungen 136
3.4.3 Widersprüchliche Gleichungen 138
3.4.4 Konsequenzen der linearen Abhängigkeit 139
3.4.5 Lösbarkeit von Gleichungssystemen 145
3.5 Berechnung des Ranges einer Matrix 146
3.6 Praxisrelevanz linearer Gleichungssysteme 148
3.6.1 Eigenschaften von Modellen der Praxis 148
3.6.2 Ökonomische Anwendungen linearer Gleichungs¬
systeme 150
3.6.2.1 Input/Output Analyse 150
3.6.2.2 Stationärer Zustand eines MaWcouprozesses . 153
3.6.2.3 Teilbedarfsrechnung durch Stücklisten¬
auflösung 158
3.6.2.4 Innerbetriebliche Kosten und Leistungs¬
verrechnung 163
Aufgaben zum Kapitel 3 168
Inhaltsverzeichnis XI
Kapitel 4 Unterbestimmte Gleichungssysteme
4.1 Einführung 175
4.2 Modellierung eines Kuppelproduktionsprozesses 177
4.3 Basis eines unterbestimmten Gleichungssystems 181
4.4 Pivotalgorithmen zur Berechnung verschiedener Basislösun¬
gen 186
4.4.1 Elementarer Basistausch 186
4.4.2 Verkürztes Tableau 189
4.5 Homogene Gleichungssysteme 193
4.5.1 Allgemeine Lösung eines homogenen Gleichungs¬
systems 194
4.5.2 Allgemeine Lösung eines inhomogenen Gleichungs¬
systems 197
Aufgaben zum Kapitel 4 199
Kapitel 5 Matrixinversion
5.1 Die Inverse einer Matrix 203
5.2 Zusammenhang zwischen der Lösung eines linearen
Gleichungssystems und der Inversen der Koeffizientenmatrix 206
5.2.1 Die Berechnung der Inversen 207
5.2.2 Pivotierung außerhalb der Hauptdiagonalen . . . .211
5.2.3 Existenz der Inversen 214
5.3 Ökonomische Bedeutung der Inversen 216
5.3.1 Stücklistenauflösung durch Matrixinversion . . . .216
5.3.2 Bedarfsrechnung 219
5.4 Pivotalgorithmen zur Matrixinversion 226
5.4.1 Berechnung der Inversen ohne Einheitsmatrix . . . 226
5.4.2 Impliziter Spaltentausch 229
5.4.3 Korrekte Zeilen und Spaltenanordnung 229
5.4.4 Algorithmus 230
5.5 Matrizengleichungen 233
Aufgaben zum Kapitel 5 239
Kapitel 6 Determinanten
6.1 Begriffliche Einführung 243
6.2 Eigenschaften von Determinanten 248
6.3 Die Berechnung einer Determinante 255
6.3.1 Adjunkte und adjungierte Matrix 256
6.3.2 Der Entwicklungssatz von Laplace 259
6.3.3 Determinantenberechnung durch Triangulieren . . . 263
6.3.4 Hauptabschnittsdeterminanten 266
6.4 Anwendungen von Determinanten 269
6.4.1 Cramersche Regel 270
6.4.2 Darstellung der Inversen einer Matrix 271
Aufgaben zum Kapitel 6 272
XII Inhaltsverzeichnis
Kapitel 7 Quadratische Formen und Eigenwertprobleme
7.1 Quadratische Formen 276
7.1.1 Definition quadratischer Formen 277
7.1.2 Definitheit quadratischer Formen mit zwei Variablen 278
7.1.3 Quadratische Formen und Matrizen 282
7.1.4 Quadratische Formen mit drei Variablen 285
7.1.5 Quadratische Formen mit n Variablen 290
7.1.6 Quadratische Formen mit einer homogenen linearen
Nebenbedingung 292
7.1.7 Quadratische Formen mit n Variablen und m homo¬
genen linearen Nebenbedingungen 294
7.2 Extremwertprobleme mit mehreren Variablen 297
7.2.1 Extremwerte einer Funktion mit zwei Variablen. . . 297
7.2.2 Extremwerte einer Funktion mit n Variablen .... 301
7.2.3 Extremwerte einer Funktion mit zwei Variablen unter
einer Nebenbedingung 305
7.2.4 Extremwerte einer Funktion mit n Variablen unter
einer Nebenbedingung 312
7.2.5 Extremwerte einer Funktion mit n Variablen unter
m Nebenbedingungen 313
7.3 Ähnliche Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren 315
7.3.1 Ähnliche Matrizen 316
7.3.2 Eigenwerte 319
7.3.3 Eigenvektoren 323
7.3.4 Eigenwerte und Definitheit 331
Aufgaben zum Kapitel 7 334
Kapitel 8 Lineare Planungsrechnung
8.1 Begriffliche Einführung 337
8.2 Das Standardproblem der linearen Planungsrechnung . . 339
8.2.1 Formulierung der Grundaufgabe 340
8.2.2 Berücksichtigung von Ungleichungen 340
8.2.3 Berücksichtigung von Vorzeichenbeschränkungen . . 342
8.3 Anwendungsbeispiele der linearen Planungsrechnung . . . 342
8.3.1 Das optimale Produktionsprogramm 343
8.3.2 Die optimale Mischung 345
8.3.3 Der optimale Transportplan 347
8.4 Graphische Lösung 349
8.4.1 Struktur des Problems 350
8.4.2 Ein Lösungsvorschlag 353
8.5 Grundlagen des Simplexverfahrens 355
8.5.1 Charakterisierung der Rand und Eckpunkte . . . .355
8.5.2 Eckpunkte als Basislösungen 357
8.5.3 Generierung alternativer Basislösungen 358
8.5.4 Bewertung alternativer Basislösungen 360
Inhaltsverzeichnis XIII
8.6 Das Simplexverfahren 361
8.6.1 Das Simplextableau 361
8.6.2 Das Optimalitätskriterium 363
8.6.3 Lösungsverbesserung 365
8.6.4 Unbeschränkte Lösung 369
8.6.5 Der Standardalgorithmus des Simplexverfahrens . .371
8.6.6 Minimierung 376
8.7 Erweiterung des Simplexverfahrens 380
8.7.1 Zur Geometrie eines allgemeinen LP Problems . . . 380
8.7.2 Gleichungen als Nebenbedingungen 382
8.7.3 Größer Gleich Beziehungen als Nebenbedingungen . 383
8.7.4 Die drei Phasen des Simplexverfahrens 387
8.8 Abschließende Bemerkungen 391
8.8.1 Effizienz des Simplexverfahrens 391
8.8.2 Praxis der linearen Planungsrechnung 393
Aufgaben zum Kapitel 8 394
Lösungen der Aufgaben 399
Literaturverzeichnis 455
Personen und Sachverzeichnis 459
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