Sur la théorie de la diffusion pour l'équation de Klein-Gordon dans la métrique de Kerr:
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| Veröffentlicht: |
Warszawa
Polska Akad. Nauk, Inst. Matematyczny
2003
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Titel: Sur la théorie de la diffusion pour l'équation de Klein-Gordon dans la métrique de Kerr
Autor: Häfner, Dietrich
Jahr: 2003
TABLE DES MATIERES
1. Introduction.5
2. Le cadre hilbertieri.7
2.1. Une equation des ondes abstraite.8
2.2. La theorie de Mourre.9
2.2.1. Rappels.9
2.2.2. Une extension abstraite de la theorie de Mourre. 10
3. Le cadre geometrique.14
3.1. Classes de symboles.Id
3.2. Hamiltonien separable.14
3.3. Hamiltonien perturbe.15
3.4. Hamiltoniens asymptotiques.16
4. Etude des hamiltoniens A, hu ct dc leurs espaces de Sobolev associes.17
4.1. Resultats techniques.17
4.2. Absence de valeurs propres.20
4.3. Estimations de resolvante.21
4.1. Description du domaine dc h.23
5. Estimation de Mourre.25
5.1. Resultats techniques.25
5.2. Operateur coujugue pour h.27
5.3. Estimation de Mourre pour h.29
5.4. Operateur conjugue pour L.-33
5.5. Estimation de Mourre pour L.34
5.6. Estimation de Mourre pour hu.36
5.7. Estimation de Mourre pour Lu.37
6. Comparaison avee la dynamique separable.38
6.1. Resultats techniques.38
0.2. Operateurs d'onde.41
7. Projections asymptotiques.42
7.1. Resultats techniques.43
7.2. Projections asymptotiques pour L,Lq,Lu.45
7.3. Projections asymptotiques pour R,Rq,Ru.46
8. Completude asymptotique.47
8.1. Dynamiques asymptotiques pour Lq.47
8.2. Dynamiques asymptotiques pour Rq.48
8.3. Dynamiques asymptotiques pour L.50
8.4. Dynamiques asymptotiques pour .°0
8.5. Dynamique de Dollard.51
9. Application a la metrique de Kerr.
9.1. La metrique de Kerr.°^
9.2. L'cquation de Klein-Gordon .53
9.3. Dynamiques asymptotiques.
[3]
4
Table des matieres
9.4. Resultats d'existence el d'unicite. 55
9.5. Restriction sur i'cspace de solutions. 51
9.6. Discussion physique. 54
9.7. Verification des hypotheses. 65
9.8. Jlemarque sur les notations. 69
9.9. Espaces d'encrgic. 69
9.10. Opcrateurs ct dynamiqucs associees. 74
9.11. Absence de valeurs propres. 77
9.12. Opcrateurs d'onde. "9
9.13. Completude asyniptotique. 80
9.14. Les profils. 81
A. Quclques Jemmcs conccrnant le probleme non separable. 85
A.l. Rcmarques preliminaircs. 85
A.2. Demonstration des Lemines 5.4.1 et 5.4.2. 86
A.3. Quelques commutateurs. . 61
A.4. Lemmes de comparaison. 64
B. Quelques lenuncs conccrnant le probleme separable. 68
C. Calcul pseudodiffercnticl.160
References.161
Abstract
Within certain spaces of positive energy solutions, we show asymptotic completeness for the
Klein-Gordon equation in the Kerr metric. We compare the Klein-Gordon dynamics with the
free dynamics near the horizon of the black hole and with a modified dynamics of Dollard type
at infinity.
2000 Mathematics Subject Classification; 35L05, 35P25, 35Q75, 58J45, 58J50.
Key words and phrases: scattering theory, Kerr metric, Klein-Gordon equation, asymptotic
completeness.
Received 18.2.2002. |
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