Repetitorium Funktionentheorie: mit über 200 ausführlich bearbeiteten Prüfungsaufgaben
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| Vorheriger Titel: | Herz, Andreas Repetitorium der Funktionentheorie |
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Deutsch |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg
2003
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| Ausgabe: | 2., überarb. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Reelle und komplexe Analysis
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Inhaltsverzeichnis
Kapitell
Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie......
ι
§0 Die komplexen Zahlen........... 1
Aufgaben zu SO............ 7
§1 Reelle Differenzierbarkeit - Komplexe Differenzierbarkeit...... 12
Aufgaben zu §1............ 18
§2 Holomorphie............. 21
Aufgaben zu §2............ 22
§3 Rxidamentale Eigenschaften holomorpher Funktionen...... 25
Aufgaben zu §3............ 27
§4 Biholomorphe Abbildungen.......... 35
Aufgaben zu §4............ 37
§5 Harmonische Funktionen........... 41
Aufgaben zu §5............ 42
Kapiteln
Folgen und Reihen von Punkten und Funktionen..... 45
§1 Konvergenzbegriffe und -kriterien......... 45
Aufgaben zu §1............ 51
§2 Vertauschungssatze bei kompakter Konvergenz....... 56
Aufgaben zu §2............ 58
§3 Potenzreihen. ............ 65
Aufgaben zu §3............ 68
§4 Laurentretien............ 72
Aufgaben zu §4............ 74
Kapitel
III
Elementare holomorphe Funktionen.
Erweiterung des Holomorphiebegriffs....... 77
§1 Porynorne und rationale Funktionen......... 77
Aufgaben zu §1............ 80
§2 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktionen....... 83
Aufgaben zu §2............ 86
§3 Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen........ 89
Aufgaben zu §3............ 94
§4 Erweiterung des Holomorphiebegriffs......... 97
Aufgaben zu §4............ 105
Inhaltsverzeichnis
Kapitel
IV
Konforme Abbildungen...........109
51 Winkel- und Orientierungstreue. Der Riemannsche Abbildungssatz.....109
Aufgaben zu §1............113
§2 Gebrochen lineare Transformationen (Möbiustransformationen).....116
Aufgaben zu §2............119
§3
Uste
der wichtigsten konformen Abbildungen........131
Aufgaben zu §3............150
Kapitel
V
Integration komplexer Funktionen.
Integralsãtze
.....163
§1
Integrabegrffle
in der Funktionentheorie........163
Aufgaben zu §1............166
§2 Hotomorphie und Integrabilität..........168
Aufgaben zu §2............170
S3 Der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.......175
Aufgaben zu S3............179
§4 Parameterintegrale............185
Aufgaben zu $4............186
Kapitel
VI
Reihen- und Produktentwicklungen
holomorpher und meromorpher Funktionen......189
§1 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisscheiben nach Taylor . . . .189
Aufgaben zu
SI
............195
§2 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisringen nach Laurent . . . .201
Aufgaben zu §2............203
S3 Nullstellen und isolierte Singularitäten.........207
Aufgaben zu S3............211
$4 Nullstellen und isolierte Singularitäten im Punkt <*>.......219
Aufgaben zu S4............223
$5 Meromorphe Funktionen...........229
Aufgaben zu §5 ......... . 234
§6 Der Satz von Mittag-Leffler und der WeierstraBsche Produktsatz.....238
Aufgaben zu 56............243
Kapitel
VII
Das Residuenkalkul...........253
§1 Der Residuensatz............253
Aufgaben zu
SI
. :..........255
§2 Berechnung spezieller Integrale..........263
Aufgaben zu 52............266
53 Der Residuensatz für den Punkt 00.........278
Aufgaben zu 53 . . . . . . . . . , 280
_______________________________________________________________________________Xl
Zusammenfassungen und Übersichten.......285
Teil
A
: Zusammenfassung aller Holomorphie- und Bihrtomorphiecharakteristka . . . 286
Teil
В
: Charakterisierung einfach zusammenhängender Gebiete.....288
Teil
С
: Gegenüberstellung von Potenz- und Laurentreihe......289
Teil
D
: Gegenüberstellung von Taylor- und Laurententwicklung.....290
Teil
E
: Übersicht über dte wichtigsten holomorphen Funktionen.....292
Anhang
A
Topologische
und ordnungstheoretische Grundbegriffe . . . .296
1.
Topologische
Grundbegriffe...........296
2. Ordnungstheoretische Grundbegriffe..........300
AnhangB
Wege und Gebiete in der Funktionentheorie......
302
1. Wege in der Zahlenebene
С
...........302
2. Gebiete In der Zahlenebene
С
..........304
3. Zusammenfassung ............ 306
Anhange
Erläuterungen zu häufig auftretenden Formulierungen . . . .307
Symbolverzeichnis...........312
Literaturverzeichnis...........315
Verzeichnis der Examensaufgaben
aus der Bayerischen Ersten Staatsprüfung.......31
β
Sachverzeichnis............
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