Availability: Höhere Mathematik für Ingenieure | Technische Universität München

Höhere Mathematik für Ingenieure: 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen

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Main Authors:	Burg, Klemens 1934- (Author), Haf, Herbert 1938- (Author), Wille, Friedrich 1925-2015 (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Wiesbaden Springer Vieweg 2002 Stuttgart Teubner [früher] 2002
Edition:	4., durchges. und erw. Aufl.
Series:	Studium
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adam_text	Titel: Bd. 3. Höhere Mathematik für Ingenieure. Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Int Autor: Jahr: 2002 Inhalt I Gewohnliche Differentialgleichungen..................... 1 1 Einfiihrung in die Gewohnlichen Differentialgleichungen......... 1 1.1 Was ist eine Differentialgleichung? .................. 1 1.1.1 Differentialgleichungen als Modelle fur technisch-physikalische Problem..................................................................j 1.1.2 Definition einer gewohnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung . 9 1.2 Differentialgleichungen 1-ter Ordnung........................................11 1.2.1 Geometrische Interpretation. Folgerungen..............................11 1.2.2 Grundprobleme..........................................................14 1.2.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz........................................16 1.2.4 Anwendungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes..................25 1.2.5 Elementare Losungsmethoden............................................30 1.2.6 Numerische Behandlung..................................................45 1.2.7 Beispiele mit Mathematica..............................................55 1.3 DGln hoherer Ordnung und Systeme 1-ter Ordnung..........................64 1.3.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatze........................................69 1.3.2 Abhangigkeit von Anfangsdaten und Parametem......................71 1.3.3 Elementare Losungsmethoden bei nichtlinearen Differential- gleichungen 2-ter Ordnung..............................................75 1.4 Ebene autonome Systeme (Einfiihrung)........................................93 1.4.1 Fortsetzbarkeit der Losungen von Anfangswertproblemen....... 93 1.4.2 Phasenebene, Orbits und Gleichgewichtspunkte............ 99 1.4.3 Lineare autonome Systeme.......................109 1.4.4 Ebene nichtlineare autonome Systeme.................112 2 Lineare Differentialgleichungen.........................125 2.1 Losungsverhalten...............................126 2.1.1 Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Systemen 1-ter Ordnung. . . 127 2.1.2 Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungen n-ter Ordnung..............................129 2.2 Homogene lineare Systeme 1-ter Ordnung..................130 2.2.1 Fundamentalsystem...........................130 2.2.2 Wronski-Determinante..........................133 2.3 Inhomogene lineare Systeme 1-ter Ordnung.................135 2.3.1 Inhomogene Systeme und Superposition................135 2.3.2 Spezielle Losungen und Variation der Konstanten...........137 2.4 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung................140 2.4.1 Fundamentalsystem und Wronski-Determinante............140 2.4.2 Reduktionsprinzip............................143 2.4.3 Variation der Konstanten........................146 2.5 Beispiele mit Mathematica..........................148 VIII Inhalt 3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten........153 3.1 Lineare Differentialgleichungen hoherer Ordnung..............154 3.1.1 Homogene Differentialgleichungen und Konstruktion eines Fundamentalsystems..........................154 3.1.2 Inhomogene Differentialgleichungen und Grundziige der Operatorenmethode..............................161 3.1.3 Inhomogene Differentialgleichungen und Grundlosungsverfahren . 168 3.1.4 Anwendungen.............................171 3.2 Lineare Systeme 1-terOrdnung........................187 3.2.1 Eigenwerte und -vektoren bei symmetrischen Matrizen........187 3.2.2 Systeme mit symmetrischen Matrizen.................188 3.2.3 Hauptvektoren. Jordansche Normalform................191 3.2.4 Systeme mit beliebigen Matrizen....................193 3.2.5 Systeme und Matrix-Funktionen....................199 3.2.6 Zuriickfuhrung auf Differentialgleichungen hoherer Ordnung. Systeme hoherer Ordnung.......................205 3.2.7 Anwendungen.............................207 3.3 Beispiele mit Mathematica..........................218 4 Potenzreihenansatze und Anwendungen....................225 4.1 Potenzreihenansatze..............................225 4.1.1 Differentialgleichungen mit regularen Koeffizienten.........225 4.1.2 HermitescheDifferentialgleichung...................229 4.2 Verallgemeinerte Potenzreihenansatze....................234 4.2.1 Differentialgleichungen mit singularen Koeffizienten.........234 4.2.2 Besselsche Differentialgleichung....................236 5 Rand- und Eigenwertprobleme. Anwendungen................243 5.1 Rand-und Eigenwertprobleme........................245 5.1.1 Beispiele zur Orientierung.......................245 5.1.2 Randwertprobleme...........................247 5.1.3 Eigenwertprobleme...........................248 5.2 Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung.............250 5.2.1 Die schwingende Saite.........................250 5.2.2 Physikalische Interpretation...........................255 5.3 Anwendung auf ein nichtlineares Problem (Stabknickung)..........256 5.3.1 Aufgabenstellung............................257 5.3.2 Das linearisierte Problem.......................258 5.3.3 Das nichtlineare Problem. Verzweigungslosungen..........260 II Distributionen.................................266 6 Verallgemeinerung des klassischen Funktionsbegriffs.............266 6.1 Motivierung und Definition..........................266 6.1.1 EinfiihrendeBetrachtungen.......................266 6.1.2 DerGrundraum Cq(R )........................269 6.1.3 Distributionen (im weiteren Sinn)...................273 Inhalt IX 6.2 DistributionenalsErweiterungderklassischenFunktionen..........275 6.2.1 Stetige Funktionen und Distributionen.................275 6.2.2 Die Diracsche Delta-Funktion.....................276 7 Rechnen mit Distributionen. Anwendungen..................279 7.1 Rechnen mit Distributionen..........................279 7.1.1 Grundoperationen............................279 7.1.2 Differentiation. Beispiele........................280 7.2 Anwendungen.................................284 7.2.1 Grundlosung der Warmeleitungsgleichung...............284 7.2.2 Ein Differentialgleichungsproblem...................287 III Integraltransformationen.............................291 8 Fouriertransformation..............................295 8.1 Motivierung und Definition..........................295 8.1.1 Einfuhrende Betrachtungen.......................295 8.1.2 Definition der Fouriertransformation. Beispiele............301 8.2 Umkehrung der Fouriertransformation....................305 8.2.1 Umkehrsatz im Raum 6........................305 8.2.2 Umkehrsatz fur stiickweise glatte Funktionen.............309 8.2.3 Eindeutigkeit der Umkehrung.....................312 8.3 Eigenschaften der Fouriertransformation...................312 8.3.1 Linearitat................................313 8.3.2 Verschiebungssatz...........................313 8.3.3 Faltungsprodukt.............................314 8.3.4 Differentiation.............................317 8.3.5 Fouriertransformation und temperierte Distributionen........320 8.3.6 Fouriertransformation kausaler Funktionen und Hilberttransfor- mation.................................322 8.4 Anwendungen aufpartielleDifferentialgleichungsprobleme.........327 8.4.1 Warmeleitungsgleichung........................327 8.4.2 Potentialgleichung...........................330 8.5 Diskrete Fouriertransformation........................333 8.5.1 Diskrete Fouriertransformation DFT..................334 8.5.2 Schnelle Fouriertransformation FFT..................340 8.5.3 FFT und DFT mit Mathematica....................340 9 Laplacetransformation..............................345 9.1 Motivierung und Definition..........................345 9.1.1 Zusammenhang zur Fouriertransformation...............345 9.1.2 Definition der Laplacetransformation.................346 9.2 Umkehrung der Laplacetransformation....................349 9.2.1 Umkehrsatz und Identitatssatz.....................349 9.2.2 Berechnung der Inversen........................351 X Inhalt 9.3 EigenschaftenderLaplacetransformation..................353 9.3.1 Linearitat................................353 9.3.2 Verschiebungssatze. Streckungssatz..................354 9.3.3 Faltungsprodukt.............................355 9.3.4 Differentiation.............................357 9.3.5 Integration...............................360 9.3.6 Laplacetransformation und periodische Funktionen..........361 9.4 Anwendungen auf gewohnliche lineare Differentialgleichungen......366 9.4.1 Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten........366 9.4.2 Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten.........370 9.4.3 Differentialgleichungen mit unstetigen Inhomogenitaten.......372 10 3-Transformation.................................376 10.1 Motivierung und Definition..........................376 10.1.1 Einfuhrende Betrachtungen......................376 10.1.2 D-Transformation und Zusammenhang zur Laplace-Transforma- tion...................................377 10.1.3 Definition der 3-Transformation....................380 10.2 Eigenschaften der 3-Transformation.....................382 10.2.1 Grundlegende Operationen. Rechenregeln..............382 10.2.2 Umkehrung der 3-Transformation..................386 10.3 Anwendungen................................390 10.3.1 Lineare Differenzengleichungen...................390 10.3.2 Impulsgesteuerte Systeme.......................394 Anhang...........................................401 Symbole..........................................421 Literaturverzeichnis....................................424 Sachverzeichnis.........................................
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