Gemischt-ganzzahlige Optimierung: Modellierung in der Praxis: mit Fallstudien aus Chemie, Energiewirtschaft, Metallgewerbe, Produktion und Logistik
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Inhaltsverzeichnis xi
Abbildungsverzeichnis xvii
1 Einführung: Modelle, Modellbildung und Optimierung 1
1.1 Was ist gemischt ganzzahlige Optimierung? 1
1.2 Zur Geschichte der gemischt ganzzahligen Optimierung 3
1.3 Zur Bedeutung von Modellen 5
1.4 Die Kunst der Modellierung 9
1.5 Variablen, Indizes und Indexmengen 9
1.6 Nebenbedingungen, Beschränkungen und Constraints 12
1.7 Die Zielfunktion 13
1.8 Definition gemischt ganzzahliger Optimierungsprobleme 14
1.9 Konventionen und Abkürzungen 15
2 Einführende motivierende Beispiele 17
2.1 Beispiel: Lineare Optimierung Verleihung von Booten 17
2.2 Beispiele: Gemischt ganzzahlige lineare Optimierung 20
2.2.1 Beispiel 1: Von Kühen und Schweinen 21
2.2.2 Beispiel 2 : Ein Projektplanungssystem 22
2.2.3 Beispiel 3 : Ein Produktionsplanungssystem 22
2.2.4 Beispiel 4 : Optimale Depotwahl Ein Standort.planungsmodell . . 23
2.2.5 Beispiel 5 : Optimale Produktverteilung 24
2.2.6 Beispiel 6 : Modellierung logischer Bedingungen 25
2.2.7 Beispiel 7 : Optimale Einbruchstrategie Ein Rucksackproblem . . 25
2.3 Beispiel: Nichtlineare Optimierung Ein Mischungsproblem 27
2.4 Es muss nicht immer Optimierung sein 28
3 Optimierung in der Praxis 31
3.1 Vorteile durch den Einsatz Mathematischer Optimierung 31
3.2 Die Struktur von Optimierungsprojekten 32
3.2.1 Kontraktierungsphase und Trainingsphase 32
3.2.2 Strukturierung und Beschaffung der Daten 32
3.2.3 Modellformulierung und Modellierungssprachen 33
3.2.4 Problemgröße, Komplexität und algorithmische Aspekte 35
3.2.5 Ergebnisse der Optimierung und ihre Interpretation 36
Duale Variablen und Schattenpreise 37
Reduzierte Kosten 38
3.2.6 Implementierung und Modellvalidierung Vom Modell zum Einsatz 38
3.2.7 Benutzerinterface Tabellenkalkulation und Datenbanken 39
3.2.8 Kommunikation mit dem Auftraggeber 40
3.2.9 Die Lebensdauer eines Modells 40
xii Inhaltsverzeichnis
3.3 Kommerzielle Supply Chain Management und Optimierung 41
3.3.1 Supply Chain Management und Supply Chain Optimierung .... 41
3.3.2 APS Advanced Planning Systems 43
Strategisch, taktisch operatives Einsatzgebiet 45
Lebensdauer des Optimierungsmodells 46
Benutzerschnittstelle 46
3.3.3 SAP APO als Beispiel für ein APS 47
3.4 Optimierung und Integration in der Industrie 49
3.5 Optimierung in kleinen und mittelständischen Firmen 51
4 Grundlagen der Mathematischen Lösungstechniken 52
4.1 Lineare Optimierung Lineare Programmierung 52
4.1.1 Das Simplexverfahren — Ein kurzer Überblick 53
4.1.2 IPM — Ein kurzer Überblick 53
4.1.3 Lineare Programmierung als Unterproblem 54
4.2 Elementare Erläuterung des Simplexverfahrens 55
4.2.1 Standardformulierung linearer Optimierungsprobleme 55
4.2.2 Schlupf und Ãœberschussvariablen 56
4.2.3 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme und Optimierung ... 57
4.2.4 Simplexverfahren und Bootsverleihproblem 58
4.3 Lineare gemischt ganzzahlige Optimierung 63
4.3.1 Elementare Einführung des Branch Bound Verfahrens 65
4.3.2 Branch Bound (B B) mit LP Relaxierung 68
Knotenwahl 71
Variablenwahl 73
Das B B Verfahren im Ãœberblick, Abbruchkriterien 73
Konvexe Hülle und Lösungsverhalten des B B Verfahrens 75
4.3.3 Schnittebenenverfahren und Branch Cut 76
4.3.4 Branch Price: Optimierung mit Spaltenerzeugung 77
4.3.5 L Klassen Enumeration 78
4.4 Nichtlineare, kontinuierliche Optimierung 85
4.4.1 Einige Grundlagen zur unbeschränkten Optimierung 85
4.4.2 Beschränkte Optimierung Grundlagen und einige Theoreme ... 89
4.4.3 Reduzierte Gradienten Verfahren 91
4.4.4 Sequentielle Quadratische Programmierung 94
4.4.5 Innere Punkte Methoden 95
4.5 Gemischt ganzzahlige nichtlineare Optimierung 95
4.5.1 Einführende Bemerkungen 95
4.5.2 Exakte Verfahren zur Lösung von konvexen MINLP Problemen . . 96
4.6 Globale Optimierung 98
5 Die Kunst guter Modellierung 102
5.1 Modellierung logischer Zusammenhänge 102
5.1.1 Ganzzahlige Variablen und logische Bedingungen 103 ,
5.1.2 Transformation logischer Aussagen in arithmetische Ausdrücke . . 104
5.1.3 Logische Ausdrücke mit zwei Argumenten 104
5.1.4 Multivariate logische Ausdrücke 106
5.1.5 Das Erfüllbarkeitsproblem 108
5.2 Logische Bedingungen auf Nebenbedingungen 109
xiii
5.2.1 Logische Bedingungen auf einzelne Variablen 109
5.2.2 Logische Bedingungen auf Nebenbedingungen 110
5.2.3 Disjunktive Mengen von Implikationen 112
5.3 Modellierung von Nicht Null Variablen 113
5.4 Modellierung von Mengen paarweise verschiedener Werte 115
5.5 Modellierung von Betragstermen 116
5.6 Behandlung und Transformation nichtlinearer Probleme 117
5.6.1 Nichtlineare binäre Optimierungsprobleme 118
5.6.2 Quadratische Optimierungsprobleme in binären Variablen 119
5.6.3 Behandlung von stückweise linearen Punktionen 120
5.6.4 Produkte von Binärvariablen 122
5.6.5 Produkte binärer und einer kontinuierlichen Variablen 122
5.7 Strukturierte Mengen Special Ordered Sets 123
5.7.1 Strukturierte Variablenmengen vom Typ 1 (SOS 1 Mengen) .... 123
5.7.2 Strukturierte Variablenmengen vom Typ 2 (SOS 2 Mengen) .... 125
5.7.3 Strukturierte Variablenmengen Verknüpfte Mengen 127
5.7.4 Strukturierte Variablenmengen Familien von SOS Mengen .... 129
5.8 Verbesserte Modellformulierungen: Logische Ungleichungen 130
5.9 Verbesserte Modellformulierungen: Spezielle Schnitte 131
5.9.1 Schnitte für ganzzahlige und semi kontinuierliche Variablen .... 131
5.9.2 Elimination unerwünschter Kombinationen von Binärvariablen . . 132
5.10 Preprocessing 133
5.10.1 Presolve 133
Arithmetische Tests 133
Verschärfung von Schranken 135
5.10.2 Disaggregation von Nebenbedingungen 136
5.10.3 Koeffizientenreduktion 137
5.10.4 Erzeugung von Clique Ungleichungen 139
5.10.5 Erzeugung von Cover Ungleichungen 139
5.11 Effiziente Lösung von LP Problemen 141
5.11.1 Warmstarts 141
5.11.2 Effiziente Skalierung 141
5.12 Effiziente Modellierung Gute Modellierungspraxis 142
5.13 Verzweigungsstrategien im Branch Boimd Verfahren 145
5.13.1 Zielfunktion und Wahl des Akzeptanzwertes 146
5.13.2 Verzweigungsheuristiken im B B Verfahren 146
Variablenwahl und Knotenwahl 146
5.13.3 Verzweigungsregeln für strukturierte Variablenmengen 147
5.13.4 Verzweigung auf halbstetigen und partiell ganzzahligen Variablen . 148
6 Lineare Optimierung in der Praxis 150
6.1 Produktionsplanung für einen Chemiereaktor 150
6.2 Verschnittprobleme 152
6.2.1 Beispiel: Ein Verschnittproblem in der Papierindustrie 152
6.2.2 Beispiel: Ein ganzzahliges Verschnittproblem 154
6.3 Ein scheinbar nichtlineares Mischungsproblem 155
6.3.1 Formulierung des direkten Problems 155
6.3.2 Formulierung des inversen Problems 157
xiv Inhaltsverzeichnis
6.3.3 Analyse und Reformulierung des Modells 158
6.4 Multi kriterielle Optimierung und Goal Programming 160
6.4.1 Multi kriterielle Optimierung 160
6.4.2 Ziel Programmierung Goal Programming 160
6.4.3 Goal Programming und weiche Nebenbedingungen 163
6.5 Grenzen Linearer Programmierung 164
6.5.1 Zielfunktion 164
6.5.2 Linearität in den Nebenbedingungen 165
6.5.3 Harte und weiche Nebenbedingungen 165
6.5.4 Konsistente und verfügbare Daten 165
6.6 Post Optimale Analyse 166
6.6.1 Untersuchung von Unzulässigkeiten 166
6.6.2 Sensitivitätsanalyse und Ranging bei LP Problemen 167
6.6.3 Parametrische Optimierung 169
6.6.4 Sensitivitätsanalyse in ganzzahligen Optimierungsproblemen . . . 170
7 Gemischt ganzzahlige lineare Optimierung in der Praxis 171
7.1 Modellieren will gelernt sein Aufbau von Erfahrung 171
7.2 Ein Standortplanungsproblem 171
7.3 Optimierung im Verkehr Einsatzplanung für Busfahrer 173
7.4 Drei instruktive praktische Probleme 175
7.4.1 Optimierung in der Energiewirtschaft Vertragsallokation 175
7.4.2 Optimale Produktion von Barren in der Metallindustrie 177
7.4.3 Projekt Portfolio Optimierung und Projektplanung 178
7.5 Ein Projekt Ressourcen Planer 180
7.6 Routenplanung mit Zeitfenstern 182
8 Nichtlineare Optimierung in der Praxis 187
8.1 Rekursion und sequentielle lineare Programmierung 187
8.1.1 Rekursion 188
8.1.2 Das „Pooling Problem und Distributive Rekursion 189
8.2 Quadratische Programmierung 192
9 Gemischt ganzzahlige nichtlineare Optimierung in der Praxis 196
9.1 Eine Integrierte Standortanalyse 196
9.1.1 Das Mathematische Modell 197
Variablen 198
Nebenbedingungen 198
Zielfunktion 200
9.1.2 Lösungsweg „Homotopie Verfahren und Ergebnisse 201
9.2 Simultanes Prozessdesign und Produktionsplanung 202
9.2.1 Mathematische Formulierung des Modells 202
Massenbilanzierung der Reaktoren 203
Reaktionärsten und Gewichtsanteile 204
Diskrete Strukturen im Modell 206
Die Zielfunktion 206
9.2.2 Lösungsansatz 207
9.2.3 Validierung und Implementierung 207
9.2.4 Ergebnisse und Vorteile für den Kunden 208
XV
10 Globale Optimierung in der Praxis 210
10.1 Energieminimale Molekülkonfiguration 210
10.2 Ein Verschnittproblem 213
10.3 Optimale Verkaufsstrategien 217
11 Schlussbetrachtungen und Ausblick 221
11.1 Lernenswertes aus den Fallstudien 221
11.2 Parallele Optimierung 221
11.3 Zukünftige Entwicklungen 222
11.3.1 Simultane operative Planung und Design Optimierung 225
11.3.2 Simultane operative Planung und strategische Optimierung .... 225
11.4 Mathematische Optimierung für eine bessere Welt 226
A Mathematische Beschreibung der Optimierungsverfahren 232
A.l Eine tiefere Betrachtung des Simplexverfahrens 232
A.l.l Das Simplexverfahren — Eine detaillierte Beschreibung 232
A.1.2 Die Berechnung von Startlösungen 237
A.1.3 LP Probleme mit oberen Schranken 238
A.1.4 Das duale Simplexverfahren 242
A.2 Dualitätstheorie 243
A.2.1 Konstruktion des dualen Problems in der linearen Programmierung 243
A.2.2 Interpretation des dualen Problems 245
A.2.3 Dualität und Komplementarität 246
A.3 Innere Punkte Methoden — Eine detaillierte Beschreibung 248
Primal duale Innere Punkte Methoden 250
Prädiktor Korrektor Schritt 252
Zur Berechnung zulässiger Startpunkte 253
Die Berechnung des Homotopieparameters 253
Abbruchkriterium 254
Identifizierung einer Basis und Cross Over 254
Innere Punkte Methoden versus Simplexverfahren 255
A.4 Gemischt ganzzahlige nichtlineare Optimierung 255
A.4.1 Ein Äussere Approximation Verfahren für konvexe Probleme . . . 255
A.4.2 Natürliche polyedrische Repräsentation 256
A.4.3 Äußere Approximation und MILP Masterprobleme 257
A.4.4 Formulierung des Masterproblems 257
A.4.5 Schranken 259
A.4.6 Unzulässige Teilprobleme 260
A.4.7 Zusammenfassung des Äussere Approximation Verfahrens 261
A.4.8 Optimalität 262
A.4.9 Erweiterung des Äussere Approximation Verfahrens 263
Einbeziehung von Gleichungen 263
Behandlung nichtkonvexer MINLP Probleme 264
B Glossar 266
Literaturverzeichnis 271
Index 285
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